线性代数笔记18–行列式公式、代数余子式

1. 行列式公式推导

二阶行列式推导
[abcd] = [ a 0 c d ]+ [ 0 b c d ] = [ a 0 0 d ]+ [ a 0 c 0 ]+ [ 0 b c 0 ]+ [ 0 b 0 d ] = [ a 0 0 d ]− [ b 0 0 c ] =ad−bc\begin{align} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} a & 0 \\ c & d \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 & b \\ c & d \end{bmatrix}\nonumber \\ &= \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 & b \\ c & 0 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 & b \\ 0 & d \end{bmatrix} \nonumber\\ &=\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} b & 0 \\ 0 & c \end{bmatrix} \nonumber\\ &= ad -bc\nonumber \end{align} [ac​bd​]​=[ac​0d​]+[0c​bd​]=[a0​0d​]+[ac​00​]+[0c​b0​]+[00​bd​]=[a0​0d​]−[b0​0c​]=ad−bc​

三阶行列式推导

[ a b c d e f g h i ]= [ a 0 0 d e f g h i ]+ [ 0 b 0 d e f g h i ]+ [ 0 0 c d e f g h i ] = [ a 0 0 0 e 0 g h i ]+ [ a 0 0 0 0 f g h i ]+ [ 0 b 0 d 0 0 g h i ]+ [ 0 b 0 0 0 f g h i ]+ [ 0 0 c d 0 0 g h i ]+ [ 0 0 c 0 e 0 g h i ] = [ a 0 0 0 e 0 0 0 i ]+ [ a 0 0 0 0 f 0 h 0 ]+ [ 0 b 0 d 0 0 0 0 i ]+ [ 0 b 0 0 0 f g 0 0 ]+ [ 0 0 c d 0 0 0 h 0 ]+ [ 0 0 c 0 e 0 g 0 0 ] =aei+bfg+cdh−ahf−bdi−ceg\begin{bmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a & 0 & 0\\ d & e & f\\ g & h & i\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 & b & 0\\ d & e & f\\ g & h & i\\ \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 0 & 0 & c\\ d & e & f\\ g & h & i\\ \end{bmatrix}\\ =\begin{bmatrix} a & 0 & 0\\ 0 & e & 0\\ g & h & i\\ \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} a & 0 & 0\\ 0 & 0 & f\\ g & h & i\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 & b & 0\\ d & 0 & 0\\ g & h & i\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 & b & 0\\ 0 & 0 & f\\ g & h & i\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 & 0 & c\\ d & 0 & 0\\ g & h & i\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 & 0 & c\\ 0 & e & 0\\ g & h & i\\ \end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix} a & 0 & 0\\ 0 & e & 0\\ 0 & 0 & i\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} a & 0 & 0\\ 0 & 0 & f\\ 0 & h & 0\\ \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 0 & b & 0\\ d & 0 & 0\\ 0 & 0 & i\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 & b & 0\\ 0 & 0 & f\\ g & 0 & 0\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 & 0 & c\\ d & 0 & 0\\ 0 & h & 0\\ \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 0 & 0 & c\\ 0 & e & 0\\ g & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \\= aei+bfg+cdh-ahf-bdi-ceg ​adg​beh​cfi​ ​= ​adg​0eh​0fi​ ​+ ​0dg​beh​0fi​ ​+ ​0dg​0eh​cfi​ ​= ​a0g​0eh​00i​ ​+ ​a0g​00h​0fi​ ​+ ​0dg​b0h​00i​ ​+ ​00g​b0h​0fi​ ​+ ​0dg​00h​c0i​ ​+ ​00g​0eh​c0i​ ​= ​a00​0e0​00i​ ​+ ​a00​00h​0f0​ ​+ ​0d0​b00​00i​ ​+ ​00g​b00​0f0​ ​+ ​0d0​00h​c00​ ​+ ​00g​0e0​c00​ ​=aei+bfg+cdh−ahf−bdi−ceg

行列式公式
detA= ∑j 1, j 2, j 3 ispermutaion ± a 1 j 1a 2 j 2 … a n j n∀ j t1 , j t2 ∧ t 1≠ t 2⇒ j t1 ≠ j t2 det\ A=\sum_{j_1,j_2,j_3\quad is\ permutaion}\pm a_{1j_1}a_{2j_2}…a_{nj_n}\\ \forall j_{t_1},j_{t_2} \wedge t_1 \ne t_2 \Rightarrow j_{t_1} \ne j_{t_2} detA=j1​,j2​,j3​ispermutaion∑​±a1j1​​a2j2​​…anjn​​∀jt1​​,jt2​​∧t1​=t2​⇒jt1​​=jt2​​

即选取的列坐标不重复，构成了一个排列。
所以非0项共有$n!$项。

余子式
M ij :方阵去掉i行j列后的方阵的行列式M_{ij}:方阵去掉i行j列后的方阵的行列式 Mij​:方阵去掉i行j列后的方阵的行列式
代数余子式
A ij :(−1 ) i+jM ij A_{ij}:(-1)^{i+j}M_{ij} Aij​:(−1)i+jMij​

方阵行列式：
detA= ∑ 1 n A ik ,1≤i≤ndet\ A=\sum_{1}^{n}A_{ik}, 1 \le i \le n detA=1∑n​Aik​,1≤i≤n

2. 三对角线矩阵

[1100111001110011]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{bmatrix} ​1100​1110​0111​0011​ ​

∣ A1∣ = 1|A_1|=1∣A1​∣=1
∣ A2∣ = 0|A_2|=0∣A2​∣=0
∣ A3∣ = − − 1|A_3|=–1∣A3​∣=−−1
∣ A4∣ = − 1|A_4|=-1∣A4​∣=−1
∣ A5∣ = − 0|A_5|=-0∣A5​∣=−0
∣ A6∣ = 1|A_6|=1∣A6​∣=1

周期为6

An A_nAn​的意思是以$1,1$为起始点的向右向下扩展$k$个单位的矩阵。

如
A 3= [ 1 1 0 1 1 1 0 1 1 ]A_3= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\1 & 1 & 1 \\0 & 1 & 1 \end{bmatrix} A3​= ​110​111​011​ ​