在二维空间中，旋转和平移变换可以通过2×2的旋转矩阵和2×3的变换矩阵来表示。
二维旋转矩阵用于表示一个点或向量在二维平面上的旋转。对于绕原点逆时针旋转θ角的变换，其旋转矩阵为：
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R = | cosθ -sinθ | | |
| sinθ cosθ | |
如果有一个二维点P(x, y)，则旋转后的点P'(x’, y’)可以通过矩阵乘法得到：
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| x' | | cosθ -sinθ | | x | | |
| y' | = | sinθ cosθ | | y | |
计算后得到：
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x' = x * cosθ - y * sinθ | |
y' = x * sinθ + y * cosθ |
二维平移矩阵则用于表示一个点或向量在二维平面上的平移。平移矩阵是一个3×3的矩阵，它可以在旋转矩阵的基础上增加平移向量。平移矩阵的形式如下：
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T = | 1 0 tx | | |
| 0 1 ty | | |
| 0 0 1 | |
其中，tx和ty分别表示在x轴和y轴上的平移距离。为了使用平移矩阵，我们通常将二维点P(x, y)扩展为齐次坐标形式P_h(x, y, 1)。然后，通过矩阵乘法应用平移矩阵：
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| x' | | 1 0 tx | | x | | |
| y' | = | 0 1 ty | | y | | |
| 1 | | 0 0 1 | | 1 | |
计算后得到：
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x' = x + tx | |
y' = y + ty |
复合变换（即先进行旋转再进行平移）则需要将旋转矩阵和平移矩阵结合起来。这通常通过将旋转矩阵与平移矩阵相乘来实现，形成一个总的变换矩阵。注意，矩阵乘法不满足交换律，因此变换的顺序很重要。先旋转后平移的复合变换矩阵形式如下：
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M = T * R = | cosθ -sinθ tx | | |
| sinθ cosθ ty | | |
| 0 0 1 | |
然后，对于二维点P(x, y)，其经过旋转和平移后的新位置P'(x’, y’)可以通过以下方式计算：
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| x' | | cosθ -sinθ tx | | x | | |
| y' | = | sinθ cosθ ty | | y | | |
| 1 | | 0 0 1 | | 1 | |
计算后得到变换后的坐标(x’, y’)。