三维的旋转平移矩阵形式

在三维空间中，一个物体或坐标系的旋转和平移可以通过一个4×4的变换矩阵来表示。这个矩阵通常被称为仿射变换矩阵或齐次变换矩阵。它结合了旋转矩阵和平移向量的功能，能够同时表示旋转和平移操作。

一个4×4的旋转平移矩阵通常具有以下形式：

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其中：

• R是一个3×3的旋转矩阵，表示物体在三维空间中的旋转。
• t是一个3×1的平移向量，表示物体在三维空间中的平移。
• 0是一个1×3的零向量。
• 右下角的1是一个标量。

一个完整的旋转平移矩阵例子如下：

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其中r11到r33是旋转矩阵的元素，tx,ty,tz是平移向量的分量。

要将一个点或向量通过旋转平移矩阵进行变换，可以使用矩阵乘法。对于三维空间中的点P = [x, y, z, 1]（注意，点需要扩展为齐次坐标形式，即增加一个额外的1作为第四分量），其变换后的位置P'可以通过以下方式计算：

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其中T是旋转平移矩阵，P'是变换后的齐次坐标。变换后的点坐标P'可以通过丢弃其齐次坐标（即最后一个分量）来得到其在三维空间中的实际位置。

例如，如果有一个点P = [1, 2, 3, 1]和一个旋转平移矩阵T，那么变换后的点P'可以通过以下计算得到：

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然后，P'的前三个分量构成了变换后的点在三维空间中的位置。

请注意，在实际应用中，旋转矩阵R通常是通过欧拉角、四元数或其他旋转表示方法转换而来的，而平移向量t则直接表示了平移的距离和方向。