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二叉树顺序存储在 物理 上是一个 数组,在 逻辑 上是一棵 二叉树

我们这篇博客学习的堆就是使用 顺序存储 来实现。

二、堆的概念和结构

概念:如果有一个关键码的集合 K = {k0 , k1 , k2 , … , kn-1} ,把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一 个一维数组中 ,并满足: Ki <= K2i+1 且 Ki= K2i+1 且 Ki >=K2i+2) i = 0 , 1 , 2… ,则称为小堆 ( 或大堆) 。(即双亲比孩子的数值小(大)——小(大)堆)将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆,根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆分为 大堆小堆

  • 大堆:树中所有父亲节点数据大于等于孩子节点数据
  • 小堆:树中所有父亲节点数据小于等于孩子节点数据

堆的性质:

  • 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值
  • 堆是一棵完全二叉树

说了这么多,其实判断是否为堆最好的方式就是 画图,画出堆构成的完全二叉树,看其是否符合性质。

三、堆的实现

实现堆之前,我们需要了解一下概念:左孩子下标为奇数,右孩子下标为偶数

根据概念推导:

左孩子下标 = 2 * 双亲下标 + 1

右孩子下标 = 2 * 双亲下标 + 2

双亲下标 = (孩子下标 – 1) / 2 —— 这个式子是向下取整的,左右孩子都适用

1、结构的定义

堆是完全二叉树,其存储结构是顺序存储。那就和顺序表一样,将数据存在数组中,给定size 记录堆中元素个数,capacity 记录堆的最大容量。

typedef int HPDataType;typedef struct Heap{HPDataType* a; // 存储数据的空间int size; // 大小int capacity; // 容量}HP;

本篇博客默认实现的是 小堆

2、接口总览

void HeapPrint(HP* php); // 打印void HeapInit(HP* php); // 初始化void HeapDestroy(HP* php); // 销毁void HeapPush(HP* php, HPDataType x); // 堆尾插入数据void HeapPop(HP* php); // 删除堆顶数据HPDataType HeapTop(HP* php); // 取堆顶数据int HeapSize(HP* hp); // 计算大小bool HeapEmpty(HP* hp); // 判空void AdjustUp(HPDataType* a, int child); // 向上调整void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent); // 向下调整

3、初始化

堆的初始化和顺序表是一样的,因为我们用的就是顺序存储:

void HeapInit(HP* php){assert(php);php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;}

4、销毁

堆的销毁只要释放空间,然后把 sizecapacity 置0就可以。

void HeapDestroy(HP* php){assert(php);free(php->a);php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;}

5、插入

堆的插入就是在 数组尾部 的插入,就是 数组 的 尾插

堆插入数据只会在尾部,所以无需封装接口用来扩容,直接判断是否要扩容就可以。

堆在插入数据后,需要保持堆的结构,之前是小/大堆,在插入数据后也应该是小/大堆。当插入数据后,如果破坏了结构,就需要 向上调整

void HeapPush(HP* php, HPDataType x){assert(php);// 检查容量if (php->size == php->capacity){int newcapacity = php->capacity == 0 " />

  1. 插入数据 小于 它的 祖先(从根到该节点所经分支上的所有节点,就是它的父亲,爷爷等),插入后,不为小堆,此时需要将 插入数据需要向上调整,直到它为小堆:

理清了这两个情况,再梳理一下细节:

向上调整,肯定是以 孩子为基准孩子调整到堆顶就代表着向上调整结束了。如果使用父亲为基准的话,是非正常结束的(孩子调整到0没有结束,而是通过比较值后,break退出的)。

而中间的过程就是判断孩子是否小于父亲,如果小于就交换它们的值,然后将孩子迭代为父亲,再重新计算父亲,继续调整上方;如果孩子大于等于父亲,就退出,无需调整。

通过不断向上调整元素,就可以构建出来 小堆

void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2){assert(p1 && p2);HPDataType tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;}void AdjustUp(HPDataType* a, int child){assert(a);// 求父亲int parent = (child - 1) / 2;// 默认小堆while (child > 0){        // 如果孩子小于父亲,调整if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]); // 交换child = parent; // 孩子迭代为父亲parent = (child - 1) / 2; // 重新计算父亲}else{break;}}}

建大堆 只要修改一下条件:

if (a[child]) > a[parent]

7、删除

堆的 删除 为删除 堆顶的数据

对于删除来说,有两个方案:

  1. 直接头删
  2. 交换 堆顶堆底 元素,尾删堆底元素,将堆顶元素 向下调整。(堆底元素就是数组尾部的元素)。

我们先看看 方案一 可不可行:

首先,由于堆是顺序存储的,那么 头删就要挪动数据,时间复杂度就为O(N)。其次,这样会 完全打乱关系

举个例子,假设 15 和 18 在第二层原本是兄弟,但是由于头删,15到了堆顶,变成了 18 的父亲。关系就乱了,感情也就淡了(doge)。18 表示 我拿你当兄弟,你却想当我父亲。但是就这一对的话,还能忍忍,但是全部的父子关系都被破坏了,所以肯定不可行。

所以,方案一就被否决了,那就只能使用 方案二 了:

方案二的话就很好,删除元素前,交换了堆顶和堆底的元素,然后将堆底尾删,尾删的时间复杂度只有O(1)。通过向下调整对堆顶元素 下调 时,也不会破坏过多的关系。

void HeapPop(HP* php){assert(php);assert(php->size > 0); // 堆空不能删// 交换堆顶和最后一个节点的值Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);// 尾删php->size--;AdjustDown(php->a, php->size, 0); // 向下调整}

8、向下调整

向下调整的步骤为:

  1. 找到左右孩子中的 小孩子
  2. 判断 父亲 是否大于 小孩子,如果是则交换,不是则退出
  3. 交换后将 父亲迭代到大孩子的位置,重新计算孩子。

注意找最大孩子的时候,大孩子必须存在,小心越界。

向下调整的 循环条件孩子下标 < 堆的大小,如果继续调整就越界了。

void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2){assert(p1 && p2);HPDataType tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;}void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent){// 假设最小孩子int minchild = 2 * parent + 1;while (minchild < n){// 找最小孩子if (minchild + 1 < n && a[minchild + 1] < a[minchild]){minchild++;}        // 如果父亲大于孩子,调整if (a[parent] > a[minchild]){Swap(&a[parent], &a[minchild]); // 交换parent = minchild; // 迭代minchild = 2 * parent + 1;}else{break;}}}

调大堆 只要改变两个条件:

if (minchild + 1 < n && a[minchild + 1] > a[minchild]) // 找大孩子if (a[parent] < a[minchild]) // 如果父亲小于孩子,则交换

9、取堆顶数据

若堆非空,则取0下标位置数据:

HPDataType HeapTop(HP* php){assert(php);assert(php->size > 0);return php->a[0];}

10、计算堆大小

这就更简单了,直接返回 size

int HeapSize(HP* php){assert(php);return php->size;}

11、判空

只要 size == 0 ,堆就为空:

bool HeapEmpty(HP* php){assert(php);return php->size == 0;}

12、打印堆

void HeapPrint(HP* php){assert(php);for (int i = 0; i < php->size; i++){printf("%d ", php->a[i]);}printf("\n");}

四、完整代码

Heap.h

#pragma once#include #include #include #include typedef int HPDataType;typedef struct Heap{HPDataType* a;int size;int capacity;}HP;// 堆的构建void HeapCreate(HP* hp, HPDataType* a, int n);void HeapPrint(HP* php);void HeapInit(HP* php);void HeapDestroy(HP* php);// 保持他继续是一个堆 O(logN)void HeapPush(HP* php, HPDataType x);// 删除堆顶的数据,并且保持他继续是一个堆 O(logN)void HeapPop(HP* php);HPDataType HeapTop(HP* php);int HeapSize(HP* hp);// 堆的判空bool HeapEmpty(HP* hp);

Heap.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1 #include "Heap.h"void HeapPrint(HP* php){assert(php);for (int i = 0; i < php->size; i++){printf("%d ", php->a[i]);}printf("\n");}// 初始化 不开空间void HeapInit(HP* php){assert(php);php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;}// 销毁void HeapDestroy(HP* php){assert(php);free(php->a);php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;}void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2){assert(p1 && p2);HPDataType tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;}// 向上调整void AdjustUp(HPDataType* a, int child){assert(a);// 算父亲int parent = (child - 1) / 2;// 默认小堆while (child > 0){if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}}// 保持他继续是一个堆 O(logN)void HeapPush(HP* php, HPDataType x){assert(php);// 检查容量if (php->size == php->capacity){int newcapacity = php->capacity == 0 " />