今日主要总结一下动态规划完全背包的一道题目，337. 打家劫舍 III

题目：337. 打家劫舍 III

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题目描述：
小偷又发现了一个新的可行窃的地区。这个地区只有一个入口，我们称之为 root 。

除了 root 之外，每栋房子有且只有一个“父“房子与之相连。一番侦察之后，聪明的小偷意识到“这个地方的所有房屋的排列类似于一棵二叉树”。 如果 两个直接相连的房子在同一天晚上被打劫 ，房屋将自动报警。

给定二叉树的 root 。返回 在不触动警报的情况下 ，小偷能够盗取的最高金额 。

示例 1:

输入: root = [3,2,3,null,3,null,1]
输出: 7
解释: 小偷一晚能够盗取的最高金额 3 + 3 + 1 = 7

示例 2:

输入: root = [3,4,5,1,3,null,1]
输出: 9
解释: 小偷一晚能够盗取的最高金额 4 + 5 = 9

提示：

树的节点数在 [1, 104] 范围内
0 <= Node.val <= 104

本题重难点

这道题目和一文搞懂动态规划之198. 打家劫舍问题，一文搞懂动态规划之213. 打家劫舍 II问题也是如出一辙，只不过这个换成了树。

如果对树的遍历不够熟悉的话，那本题就有难度了。

对于树的话，首先就要想到遍历方式，前中后序（深度优先搜索）还是层序遍历（广度优先搜索）。

本题一定是要后序遍历，因为通过递归函数的返回值来做下一步计算。

与一文搞懂动态规划之198. 打家劫舍问题，一文搞懂动态规划之213. 打家劫舍 II问题一样，关键是要讨论当前节点抢还是不抢。

如果抢了当前节点，两个孩子就不能动，如果没抢当前节点，就可以考虑抢左右孩子（注意这里说的是“考虑”, 而不是一定抢！！！）

动态规划其实就是使用状态转移容器来记录状态的变化，这里可以使用一个长度为2的数组，记录当前节点偷与不偷所得到的的最大金钱。

这道题目算是树形dp的入门题目，因为是在树上进行状态转移，我们在讲解二叉树的时候说过递归三部曲，那么下面我以递归三部曲为框架，其中融合动规五部曲的内容来进行讲解。

  1. 确定递归函数的参数和返回值
    这里我们要求一个节点 偷与不偷的两个状态所得到的金钱，那么返回值就是一个长度为2的数组。
    参数为当前节点，代码如下：
vector<int> robTree(TreeNode* cur) {

其实这里的返回数组就是dp数组。

所以dp数组（dp table）以及下标的含义：下标为0记录不偷该节点所得到的的最大金钱，下标为1记录偷该节点所得到的的最大金钱。

所以本题dp数组就是一个长度为2的数组！

那么有同学可能疑惑，长度为2的数组怎么标记树中每个节点的状态呢？
别忘了在递归的过程中，系统栈会保存每一层递归的参数。

  1. 确定终止条件
    在遍历的过程中，如果遇到空节点的话，很明显，无论偷还是不偷都是0，所以就返回
if (cur == NULL) return vector<int>{0, 0};
  1. 确定遍历顺序
    首先明确的是使用后序遍历。 因为通过递归函数的返回值来做下一步计算。
    通过递归左节点，得到左节点偷与不偷的金钱。
    通过递归右节点，得到右节点偷与不偷的金钱。
    代码如下：
// 下标0：不偷，下标1：偷vector<int> left = robTree(cur->left); // 左vector<int> right = robTree(cur->right); // 右// 中
  1. 确定单层递归的逻辑
    如果是偷当前节点，那么左右孩子就不能偷，val1 = cur->val + left[0] + right[0]; （如果对下标含义不理解就在回顾一下dp数组的含义）
    如果不偷当前节点，那么左右孩子就可以偷，至于到底偷不偷一定是选一个最大的，所以：val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);
    最后当前节点的状态就是{val2, val1}; 即：{不偷当前节点得到的最大金钱，偷当前节点得到的最大金钱}
    代码如下：
vector<int> left = robTree(cur->left); // 左vector<int> right = robTree(cur->right); // 右// 偷curint val1 = cur->val + left[0] + right[0];// 不偷curint val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);return {val2, val1};
  1. 举例推导dp数组

以示例1为例，dp数组状态如下：（注意用后序遍历的方式推导）

最后头结点就是 取下标0 和 下标1的最大值就是偷得的最大金钱！

C++代码

class Solution {public:vector<int> robTree(TreeNode* cur){if(!cur) return vector<int>{0, 0};vector<int>leftdp = robTree(cur->left);vector<int>rightdp = robTree(cur->right); int dp0 = max(leftdp[0], leftdp[1]) + max(rightdp[0], rightdp[1]);int dp1 = cur->val + leftdp[0] + rightdp[0];return vector<int>{dp0, dp1};}int rob(TreeNode* root) {vector<int> res = robTree(root);return max(res[0], res[1]);}};

总结

动态规划
英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。
动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的

对于动态规划问题，可以拆解为如下五步曲，这五步都搞清楚了，才能说把动态规划真的掌握了！

  1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
  2. 确定递推公式
  3. dp数组如何初始化
  4. 确定遍历顺序
  5. 举例推导dp数组

这篇文章主要总结了一些动态规划解决337. 打家劫舍 III问题，依然是使用动规五部曲，做每道动态规划题目这五步都要弄清楚才能更清楚的理解题目！

这道题是树形DP的入门题目，通过这道题目大家应该也了解了，所谓树形DP就是在树上进行递归公式的推导。

所以树形DP也没有那么神秘！

只不过平时我们习惯了在一维数组或者二维数组上推导公式，一下子换成了树，就需要对树的遍历方式足够了解！

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