文章目录

  • 前言
  • 一、递归是什么？
  • 二、简单入门
    • 1.简单求阶乘
    • 2.一个简单的斐波那契数列递归实现
  • 二、汉诺塔问题
  • 总结

前言

一、递归是什么？

数学上一个数列显式公式是 an = n 它的递推公式就是 an = an-1 +1
编程上的递归简单来讲就是自己调用自己，下面我将展示一些递归应用的案例。

二、简单入门

1.简单求阶乘

要计算 f(x) = x！普通写法就是用for循环递减相乘，如下：

int main(){int x = 4;int i;int sum = 1;for (i = x; i > 0; i--){sum *= i;}printf("%d",sum);return 0;}

如果用递归写法，就得推出递推公式，不难得出阶乘的递推公式为 f(x) = x * f(x-1) 且f(1)=1 因为得定义递归的初始，所以我们特判x=1时，给出f(x)的值为1.以下为递归算法的实现：

int f(int x){if (x == 1)//相当于数列中a1=1{return 1;}return x * f(x - 1);//递推公式}int main(){int x = 4;//计算4的阶乘4！=1*2*3*4printf("%d", f(x));return 0;}

递归的过程如下

需要注意这里总共开了4个内存空间，直到递归到f(1)返回具体值1时，才从4内存空间开始销毁同时返回值。而在现实具体应用中通常会递归更多次，假设int变量占一个内存空间，本来实现这个功能只用1个int就可以完成，但你使用了俩个int，这时候函数体占用空间就是2，递归100次就占用了200个空间，而别人的优化代码只用了100个空间，递归次数越大，你浪费的空间就越多，所以尽量不要定义过多变量造成内存浪费或内存溢出。

2.一个简单的斐波那契数列递归实现

Fibonacci数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n – 1)+F(n – 2)（n ≥ 3，n ∈ N*） 。

代码实现如下

int f(int x){if (x == 1 || x == 2)return 1;return f(x - 1) + f(x - 2);//递推公式}int main(){int x, result;scanf("%d", &x);result = f(x);printf("%d\n", result);}

但是这样写会占用更多的内存消耗更多的性能，为什么呢？
return F(n – 1)+F(n – 2)是调用了俩f(x)，相当于于1生2，2变4，4变8，这是指数级的增长！最后相当于调用了 2n 2^n2n个f(x)！而且(n – 1)+F(n – 2)中间还有+的运算符，是要运算的。如果要求的n值非常大的话，可能需要同时保存成千上百个调用记录，很容易发生”栈溢出”错误。

所以得对这个递归进行优化，使用尾递归。

int f(int x,int i,int j){if (x == 1)//修改：感谢OneWan指出错误return i;return f(x-1,j,j+i);//递推公式}int main(){int x, result;scanf("%d", &x);result = f(x,1,1);printf("%d\n", result);}

大致就是下面的流程

f(x-1,j,j+i)就只调用一个f(x)了，这样就不会出现函数裂开变俩个，俩个变四个的情况了。而j+i就实现了前俩个f(x)的相加了。这样就支持的递归次数就大大的增加了。

二、汉诺塔问题

汉诺塔（Tower of Hanoi），又称河内塔，是一个源于印度古老传说的益智玩具。大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着64片黄金圆盘。大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。（源自百度百科）

目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并仍保持原有顺序叠好。
操作规则：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、B、C任一杆上。

求解汉诺塔问题需要把大问题分成若干个小问题
问:把大象放入冰箱,需要几步。
答:需要3步,把冰箱门打开,把大象放进去,让后把门关上。

当我们想将64个圆盘从A柱移动到C柱上，我们可以将其分为三个步骤：
步骤1、通过一种符合要求的方式将A柱上63个圆盘从A移动到B（我们不要关心这个方式具体是什么）
步骤2、经过步骤1之后A柱上只剩下一个圆盘，我们将这个圆盘从A移动到C（我们所要关心的只有最后将1个圆盘从A移动到C）
步骤3、经过步骤1和步骤2之后，B柱上有了63个圆盘，C上有1个圆盘，我们再通过某种方式将B柱上63个圆盘从B移动到C（同样也不要关心这个具体的方式是什么）
经过了步骤1、 2 、3之后，我们就将所有的圆盘从A移动到了C

移动64个圆盘需要3个步骤，关键就是步骤1和3，这个我们不需要具体的实现，步骤1要把63个圆盘从A移动到B，就得先将62个圆盘从A柱移动到C柱，再将1个圆盘从A柱移动到B柱，最后将62个圆盘从C柱移动到B柱。实际上跟步骤1，2，3一样的移动法则。如此，我们就可以使用递归来解决这个问题了。
所以只需特列出最初的3步的过程就可以解决此问题

最后可以得到 递推公式f(n) = f(n-1) + f(n-1) + 1
代码如下

int f(int x){if (1 == x)return 1;elsereturn 2 * f(x - 1) + 1;}int main(){int x, result;scanf("%d", &x);result = f(x);printf("%d\n", result);return 0;}

详情可见李永乐老师视频

总结

递归的三要素
第一要素：明确函数实现目的
第二要素：寻找递归结束条件（斐波那契数列中的第一，二项）
第三要素：找出函数的等价关系式（阶乘中满足f(x) = x * f(x-1)）