文章目录

  • 一、树型结构
  • 二、二叉树
    • 2.1概念
    • 2.2两种特殊的二叉树
    • 2.3二叉树的性质
    • 2.4二叉树的存储
    • 2.5二叉树的遍历
  • 三、二叉树的基本操作
    • 3.1获取树中节点的个数
    • 3.2获取叶子节点的个数
    • 3.3获取第K层节点的个数
    • 3.4获取二叉树的高度
    • 3.5检测值为value的元素是否存在
    • 3.6判断一棵树是不是完全二叉树

一、树型结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
1.有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
2.除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <=m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
3.树是递归定义的

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构


结点的度： 一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6
树的度： 一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6
叶子结点或终端结点： 度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶结点
双亲结点或父结点： 若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点： 一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
根结点： 一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
结点的层次： 从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度或深度： 树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4

以下概念了解即可：
非终端结点或分支结点： 度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支结点
兄弟结点： 具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
堂兄弟结点： 双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
结点的祖先： 从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙： 以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林： 由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

二、二叉树

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
1.或者为空
2.或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

上图是一棵二叉树其中用蓝色框起来的是根结点的左子树，用绿色框起来的是根结点的右子树
从上图也可以看出：
1.二叉树不存在度大于2的结点
2.二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

2.2两种特殊的二叉树

1.满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵
二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
2.完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n
个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树

2.3二叉树的性质

1.若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有
2^i-1(i>0)个结点
2.若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2^k-1 (k>=0)
3.对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
4.具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log2(n+1) 上取整
5.对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

2.4二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式：

// 孩子表示法class Node { int val; // 数据域 Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树 Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树}// 孩子双亲表示法class Node { int val; // 数据域 Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树 Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树 Node parent; // 当前节点的根节点}

2.5二叉树的遍历

所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结
点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)
二叉树的遍历方式有前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历：
前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点
层序遍历： 设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层
上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历

以下是四种遍历方式的具体实现：
对一棵空树我们不需要遍历
前序遍历：

public void preOrder(TreeNode root) {if(root == null) {return;}System.out.print(root.val+" ");preOrder(root.left);preOrder(root.right);}

中序遍历：

public void inOrder(TreeNode root) {if(root == null) {return;}inOrder(root.left);System.out.print(root.val+" ");inOrder(root.right);}

后序遍历：

public void postOrder(TreeNode root) { if(root == null) { return; } postOrder(root.left); postOrder(root.right); System.out.print(root.val+" ");}

层序遍历：

void levelOrder(TreeNode root) {if(root == null) {return;}Queue<TreeNode> queue = new LinkedList();queue.offer(root);while (!queue.isEmpty()) {TreeNode cur = queue.poll();System.out.print(cur.val+" ");if(cur.left != null) {queue.offer(cur.left);}if(cur.right != null) {queue.offer(cur.right);}}}

测试：

以上的测试结果就是对下图的遍历

三、二叉树的基本操作

3.1获取树中节点的个数

在获取树中节点的个数中，我们可以使用遍历的方式做，也可以使用子问题的方式做
遍历的方式：

public static int nodeSize;void size(TreeNode root) {if(root == null) {return;}nodeSize++;size(root.left);size(root.right);}

子问题的方式：
树中的节点个数=左子树的节点个数+右子树的节点个数+根节点

int size2(TreeNode root) {if(root == null) {return 0;}int tmp = size2(root.left) + size2(root.right)+1;return tmp;}

3.2获取叶子节点的个数

叶子节点个数=左子树的叶子节点个数+右子树的节点个数

int getLeafNodeCount(TreeNode root) {if(root == null) {return 0;}if(root.left == null&&root.right == null) {return 1;}return getLeafNodeCount(root.left) +getLeafNodeCount(root.right);}

3.3获取第K层节点的个数

第K层的节点个数=左子树的第K-1层节点个数+右子树的第K-1层节点个数

int getKLevelNodeCount(TreeNode root, int k) {if(root == null) {return 0;}if(k == 1) {return 1;}return getKLevelNodeCount(root.left,k-1) +getKLevelNodeCount(root.right,k-1);}

3.4获取二叉树的高度

二叉树的高度=左子树的高度和右子树的高度的最大值+1

int getHeight(TreeNode root) {if(root == null) {return 0;}int leftHeight = getHeight(root.left);int rightHeight = getHeight(root.right);return Math.max(leftHeight,rightHeight)+1;}

3.5检测值为value的元素是否存在

这里我们先判断根节点是不是我们要找的值，再从左子树和右子树当中去找

TreeNode find(TreeNode root, char val) {if(root == null) {return null;}if(root.val == val) {return root;}TreeNode leftval = find(root.left,val);if(leftval != null) {return leftval;}TreeNode rightval = find(root.right,val);if(rightval != null) {return rightval;}return null;}

3.6判断一棵树是不是完全二叉树

在判断一棵树是不是完全二叉树时我们是使用队列来存储树中的元素的

public boolean isCompleteTree(TreeNode root) {if(root == null) {return true;}Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.offer(root);while (!queue.isEmpty()) {TreeNode cur = queue.poll();if(cur != null) {queue.offer(cur.left);queue.offer(cur.right);}else {//结束之后遍历队列剩下的所有元素 是不是都是nullbreak;}}// 遍历队列剩下的所有元素 是不是都是nullwhile (!queue.isEmpty()) {TreeNode cur = queue.poll();if(cur != null) {return false;}}return true;}