参数估计

参数估计：假设总体X～N（μ， σ 2 \sigma^2 σ2），μ和 σ 2 \sigma^2 σ2是未知参数， X 1 , X 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , X n X_1,X_2,\cdot\cdot\cdot,X_n X1​,X2​,⋅⋅⋅,Xn​是来自X的样本，样本值是 x 1 , x 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , x n x_1,x_2,\cdot\cdot\cdot,x_n x1​,x2​,⋅⋅⋅,xn​，要由样本值来确定μ和 σ 2 \sigma^2 σ2的估计值，这就是参数估计问题，参数估计分为点估计（Point Estimation）和区间估计（Interval Estimation）。

点估计

点估计：是指把总体的未知参数估计为某个确定的值或在某个确定的点上，所以点估计又称为定值估计。

设总体X的分布函数为F（x，θ），θ是未知参数， X 1 , X 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , X n X_1,X_2,\cdot\cdot\cdot,X_n X1​,X2​,⋅⋅⋅,Xn​是X的一样本，样本值为 x 1 , x 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , x n x_1,x_2,\cdot\cdot\cdot,x_n x1​,x2​,⋅⋅⋅,xn​，构造一个统计量（ X 1 , X 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , X n X_1,X_2,\cdot\cdot\cdot,X_n X1​,X2​,⋅⋅⋅,Xn​），用它的观察值（ x 1 , x 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , x n x_1,x_2,\cdot\cdot\cdot,x_n x1​,x2​,⋅⋅⋅,xn​）作为θ的估计值，这种问题称为点估计问题。习惯上称随机变量（ X 1 , X 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , X n X_1,X_2,\cdot\cdot\cdot,X_n X1​,X2​,⋅⋅⋅,Xn​）为θ的估计量，称（ x 1 , x 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , x n x_1,x_2,\cdot\cdot\cdot,x_n x1​,x2​,⋅⋅⋅,xn​）为估计值。

矩估计法

矩估计法： 矩是描述随机变量的最简单的数字特征，样本来自于总体，样本矩在一定程度上也反映了总体矩的特征，且在样本容量n增大的条件下，样本的k阶原点矩 A k = 1 n ∑ i = 1 n X i k A_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^k Ak​=n1​∑i=1n​Xik​ 依概 率 收 敛 到 总 体 X 的 k 阶 原 点 矩 μ k = E ( X k ) \mu_k=E(X^k) μk​=E(Xk) ， 即 A k ⟶ μ k ( n → ∞ ) , k = 1 , 2 , ⋯ A_k \longrightarrow\mu_k\quad(n\rightarrow\infty)\quad ,k=1,2,\cdots Ak​⟶