重点章节：

导数/微分/积分

梯度

泰勒展开公式

第一课 求极限

求极限-函数

例一：试求 limx−>3( x2+ 3 )= 3 2+2=12 例二：试求 limx−>0s i n x=sin0=0例一：试求 \mathop{lim}_{x->3}{(x^2+3)}=3^2+2=12\\ 例二：试求 \mathop{lim}_{x->0}{sinx}=sin0=0 例一：试求limx−>3​(x2+3)=32+2=12例二：试求limx−>0​sinx=sin0=0

常见的求导

∞/∞型

0/0型

1∞型

记住这个公式即可。

xy=(elnx)y

0·∞型

将其转换为0/0或者∞/∞型

左右极限

试证明 limx−>01 x是否存在试证明 \mathop{lim}_{x->0}{\frac{1}{x}}是否存在 试证明limx−>0​x1​是否存在

做题步骤:
①求函数的左极限

②求函数的右极限
③若左极限=右极限=不为oo的数,则函数极限存在，且函数极限=左极限=右极限;

若为其他情况,则函数极限不存在/函数没有极限

limx−> 0 −1 x=−∞，limx−> 0 +1 x=+∞ 所以极限不存在\mathop{lim}_{x->0^-}{\frac{1}{x}}=-∞，\\ \mathop{lim}_{x->0^+}{\frac{1}{x}}=+∞\\ 所以极限不存在 limx−>0−​x1​=−∞，limx−>0+​x1​=+∞所以极限不存在

已知f’(X0)=” />

求极限-数列

1/3 分析an的取值范围

2/3 证明an的极限存在

3/3 夹逼定理

第二课《连续、间断点》

函数连续不连续是要看区间的

1/3 证明f(x)在某点连续

例一：试证明f(x)= {sinxx,x>01,x≤0 在x=0处连续例一：试证明f(x)= \begin{cases} \frac{sinx}{x},x>0 \\ 1,x≤0 \end{cases} 在x=0处连续 例一：试证明f(x)={xsinx​,x>01,x≤0​在x=0处连续

做题步骤：

①f(0)=1limx−> 0 −f ( x )= limx−> 0 − 1=1，limx−> 0 +f ( x )= limx−> 0 +sinxx= limx−> 0 +x x= limx−> 0 + 1=1 ②∵f（0）= limx−> 0 −f ( x )= limx−> 0 +f ( x )成立 ∴f(x)在x=0处连续①f(0)=1 \\ \mathop{lim}_{x->0^-}{f(x)}=\mathop{lim}_{x->0^-}1=1，\\ \mathop{lim}_{x->0^+}{f(x)}=\mathop{lim}_{x->0^+}{\frac{sinx}{x}}=\mathop{lim}_{x->0^+}{{\frac{x}{x}}}=\mathop{lim}_{x->0^+}1=1\\ ②∵f（0）=\mathop{lim}_{x->0^-}{f(x)}=\mathop{lim}_{x->0^+}{f(x)}成立\\ ∴f(x)在x=0处连续 ①f(0)=1limx−>0−​f(x)=limx−>0−​1=1，limx−>0+​f(x)=limx−>0+​xsinx​=limx−>0+​xx​=limx−>0+​1=1②∵f（0）=limx−>0−​f(x)=limx−>0+​f(x)成立∴f(x)在x=0处连续

2/3 已知f(x)在某点连续,求未知数

例二：若函数f(x)= {sinxax ,x>01,x≤0 在x=0处连续,试求a例二：若函数f(x)= \begin{cases} \frac{sinx}{ax},x>0 \\ 1,x≤0 \end{cases} 在x=0处连续,试求a 例二：若函数f(x)={axsinx​,x>01,x≤0​在x=0处连续,试求a

做题步骤

①f(0)=1limx−> 0 −f ( x )= limx−> 0 − 1=1，limx−> 0 +f ( x )= limx−> 0 +sinxax = limx−> 0 +x ax = limx−> 0 +1 a= 1 a ②∵f(x)在x=0处连续,所以f（0）= limx−> 0 −f ( x )= limx−> 0 +f ( x )成立 ∴a=1①f(0)=1 \\ \mathop{lim}_{x->0^-}{f(x)}=\mathop{lim}_{x->0^-}1=1，\\ \mathop{lim}_{x->0^+}{f(x)}=\mathop{lim}_{x->0^+}{\frac{sinx}{ax}}=\mathop{lim}_{x->0^+}{{\frac{x}{ax}}}=\mathop{lim}_{x->0^+}\frac{1}{a}=\frac{1}{a}\\ ②∵f(x)在x=0处连续,所以f（0）=\mathop{lim}_{x->0^-}{f(x)}=\mathop{lim}_{x->0^+}{f(x)}成立\\ ∴a=1 ①f(0)=1limx−>0−​f(x)=limx−>0−​1=1，limx−>0+​f(x)=limx−>0+​axsinx​=limx−>0+​axx​=limx−>0+​a1​=a1​②∵f(x)在x=0处连续,所以f（0）=limx−>0−​f(x)=limx−>0+​f(x)成立∴a=1

3/3 间断点

例三：试判断f(x)= { −1,x<1x,x≥1 的间断点类型例三：试判断f(x)= \begin{cases} -1,x<1 \\ x,x≥1 \end{cases} 的间断点类型 例三：试判断f(x)={−1,x<1x,x≥1​的间断点类型

第一类：左右极限存在，这个点可以定义一个x让fx连续就是可去间断点，如果不可以那就是跳跃间断点。

第二类：像是1/x这个函数，x=0就是无穷间断点；fx不为0但是sin或cos后的数为0就是震荡间断点

看看有没有不为∞的值,能使sin、cos后面的式子为∞，且系数不为0。若有,这个点可直接命名为震荡间断点或第二类间断点(震荡)

间断点的概念

若y=f(x)在x= x 0处出现如下三种情况之一，则称 x 0为y=f(x)的间断点: (1)y=f(x)在点 x 0处无定义 (2)y=f(x)在点 x 0处有定义，但 limx−> x 0f ( x )不存在 (3)y=f(x)在点 x 0处有定义，但 limx−> x 0f ( x )存在，但 limx−> x 0f ( x )≠f( x 0) 据此，我们可以对间断点进行分类若y=f(x)在x=x_0处出现如下三种情况之一，则称x_0为y=f(x)的间断点:\\ (1)y=f(x)在点x_0处无定义\\ (2)y=f(x)在点x_0处有定义，但\mathop{lim}_{x->x_0}{f(x)}不存在\\ (3)y=f(x)在点x_0处有定义，但\mathop{lim}_{x->x_0}{f(x)}存在，但\mathop{lim}_{x->x_0}{f(x)}≠f(x_0)\\ 据此，我们可以对间断点进行分类 若y=f(x)在x=x0​处出现如下三种情况之一，则称x0​为y=f(x)的间断点:(1)y=f(x)在点x0​处无定义(2)y=f(x)在点x0​处有定义，但limx−>x0​​f(x)不存在(3)y=f(x)在点x0​处有定义，但limx−>x0​​f(x)存在，但limx−>x0​​f(x)=f(x0​)据此，我们可以对间断点进行分类

据此，我们可以对间断点进行分类

做题步骤

第三课《求导》

1/5 照公式求导

常见的求导

2/5 隐函数求导

例1.若y=y(x)由 y 3− x 2+y=0确定，则 y ′ = ， y ′′= 。例1.若y=y(x)由y^3-x^2+y=0确定，则y’=_，y”=_。 例1.若y=y(x)由y3−x2+y=0确定，则y′=，​y′′=。​

求y’’同理上面的步骤对y’求导

3/5 参数方程求导

例三：设 { x=1+ t 2y=cost ,则 y ′ = ， y ′′= 。例三：设 \begin{cases} x=1+t^2 \\ y=cost \end{cases} ,则y’=_，y”=_。 例三：设{x=1+t2y=cost​,则y′=，​y′′=。​

参数方程求导公式

4/5 求极值、最值

例3.若y=y(x)由 y 3一 x 2+y=0确定,试求其极值,以及x∈[0,1]时的最值例3.若y=y(x)由y^3一x^2+y=0确定,试求其极值,以及x∈[0,1]时的最值 例3.若y=y(x)由y3一x2+y=0确定,试求其极值,以及x∈[0,1]时的最值

做题步骤

【知识点回忆】

y’’>0说明在这个点的一阶导数有从0开始增大的趋势，也就是说函数有增加的趋势【函数图像凹】

5/5 求凹凸区间与拐点

例4.求曲线y=ln( x 2+1)的凹凸区间和拐点例4.求曲线y=ln(x^2+1)的凹凸区间和拐点 例4.求曲线y=ln(x2+1)的凹凸区间和拐点

方法:求y”
凸区间:满足y”<0的区间

凹区间:满足y”>0的区间

拐点:凹凸区间交界的点

第四课《微分中值定理和导数的应用》

1/3 用罗尔中值定理证明等式

2/3 用拉格朗日中值定理证明关于f(x2)-f(x1)/[x2-x1]的不等式

3/3 求极值与最值

求函数f(x)=4 x 3−12 x 2+9x的极大值、极小值及在[0,1.5]内的最大值求函数f(x)=4x^3-12x^2+9x的极大值、极小值及在[0,1.5]内的最大值 求函数f(x)=4x3−12x2+9x的极大值、极小值及在[0,1.5]内的最大值


有一块边长为3的正方形铁片，在每一个角上各剪去一个边长为x的小正方形， 用剩下的部分做成开口盒子，当剪去小正方形的边长x为多大时，盒子的容积最大” />有一块边长为3的正方形铁片，在每一个角上各剪去一个边长为x的小正方形，用剩下的部分做成开口盒子，当剪去小正方形的边长x为多大时，盒子的容积最大?

第五课上《积分-不定积分》

1/6 直接套公式算不定积分


⑧ ∫ t a n x d x = ∫s i n x c o s xd x = ∫ 1 c o s xd ( − c o s x ) = − l n ∣ c o s x ∣ + C ⑨ ∫ c o t x d x = ∫ 1 t a n xd x = ∫c o s x s i n xd x = ∫ 1 s i n xd ( s i n x ) = l n ∣ s i n x ∣ + C ( t a n x )‘= s e c2x , t a n2x + 1 = s e c2x [ 十七 ] ∫d x a2+ x2 = ∫d x a2( 1 + ( x / a ) )2 = ∫d ( x / a ) a ( 1 + ( x / a ) )2 = 1aa r c t a n ( xa) + C [ 十六 ] ∫d xa 2− x 2 = ∫d x a1 − ( x / a )2= ∫d ( x / a ) 1−(x/a ) 2 = a r c s i n ( x / a ) + C [ 二十 ] 令 x = a t a n x 和 x = a s e c x 【具体参考张宇基础 30 讲 P 110 】⑧ \int tanx dx=\int \frac{sinx}{cosx} dx =\int \frac{1}{cosx} d(-cosx)=-ln|cosx|+C \\ ⑨ \int cotx dx=\int \frac{1}{tanx} dx =\int \frac{cosx}{sinx} dx=\int \frac{1}{sinx} d(sinx)=ln|sinx|+C \\ (tanx)^`=sec^2x,tan^2x+1=sec^2x \\ [十七] \int \frac{dx}{a^2+x^2}=\int \frac{dx}{a^2(1+(x/a))^2}=\int \frac{d(x/a)}{a(1+(x/a))^2}=\frac{1}{a}arctan(\frac{x}{a})+C \\ [十六] \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int \frac{dx}{a\sqrt{1-(x/a)^2}}=\int \frac{d(x/a)}{\sqrt{1-(x/a)^2}}=arcsin(x/a)+C \\ [二十] 令x=atanx和x=asecx\\ 【具体参考张宇基础30讲P110】⑧∫tanxdx=∫cosxsinx​dx=∫cosx1​d(−cosx)=−ln∣cosx∣+C⑨∫cotxdx=∫tanx1​dx=∫sinxcosx​dx=∫sinx1​d(sinx)=ln∣sinx∣+C(tanx)‘=sec2x,tan2x+1=sec2x[十七]∫a2+x2dx​=∫a2(1+(x/a))2dx​=∫a(1+(x/a))2d(x/a)​=a1​arctan(ax​)+C[十六]∫a2−x2 ​dx​=∫a1−(x/a)2 ​dx​=∫1−(x/a)2 ​d(x/a)​=arcsin(x/a)+C[二十]令x=atanx和x=asecx【具体参考张宇基础30讲P110】

2/6 设一部分再算的不定积分

换元法

【补充：凑微分法】

3/6 多项相加的不定积分

4/6 两项相乘的不定积分


【具体参考张宇基础 30 讲 P 112 】【具体参考张宇基础30讲P112】【具体参考张宇基础30讲P112】

5/6 sin、cos相乘的不定积分

c o s 2 x = c o s2x − s i n2x = 2 c o s2x − 1 = 1 − 2 s i n2xcos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2xcos2x=cos2x−sin2x=2cos2x−1=1−2sin2x

6/6 x2加减常数项的不定积分

第五课下《积分-定积分》

1/3 定积分计算

牛顿-莱布尼茨公式

2/3 用定积分求面积

3/3 用定积分求体积

第六课上《微分方程(上)》

1/5 符合y’ + P(x)y =Q(x)的格式，求通解

已知微分方程 y ′+xy=3x，求通解。 已知微分方程 y ′+y=3x，求通解。已知微分方程y’+xy=3x，求通解。\\ 已知微分方程y’+y =3x，求通解。 已知微分方程y′+xy=3x，求通解。已知微分方程y′+y=3x，求通解。

2/5 可将x、y拆到等号两边的题目，求通解

变量可分离型

3/5 有复合部分的题目，求通解

可化为变量可分离型

4/5 含y 、y’、y”、不含x的题目,求通解

二阶可降阶微分方程的求解==【缺X型】==

二阶常系数齐次线性微分方程的通解

5/5 含y 、y’、y”、也含x的题目,求通解

二阶常系数齐次线性微分方程的通解==【二阶齐次通解】==

二阶常系数非齐次线性微分方程的特解==【二阶非齐次特解】==

【二阶非齐次通解例题】

利用性质

重点补充

泰勒展开公式

一、定义:

​ 相比e* ,sin x,cos x, ln(1+x)这些函数，人们对幂函数更为熟悉，如果能把函数近似表达成多项式，并且函数和多项式之间的误差也可以表示，那么在求极限，不等式或其他题目中可能会使形式变得简单，容易计算。

泰勒公式一句话描述：就是**用多项式函数去逼近光滑函数**。

泰勒公式，也称泰勒展开式。是用一个函数在某点的信息，描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式可以利用这些导数值来做系数，构建一个多项式近似函数，求得在这一点的邻域中的值


来自于张宇基础30讲P87来自于张宇基础30讲P87 来自于张宇基础30讲P87

二、重要函数的泰勒公式


三、用处

①利用泰勒公式求极限

②常用的等价无穷小

梯度

参考资源：https://www.bilibili.com/video/BV1uZ4y1L7bB/” />1、方向导数

偏导数

①定义

②计算

③例题

2、梯度

​ 在一个数量场中，函数在给定点处沿不同的方向，其方向导数一般是不相同的，现在我们所关心的是沿哪一个方向其方向导数最大？最大值是多少？函数在点P沿哪一方向增加的速度最快？为此引进一个很重要的概念一一梯度