今天不讲编程知识,谈谈与编程相关的数学。


本文使用数学符号:

⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁻ ⁿ ∵ ∴

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + – n 因为 所以

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: 题目

已知a是大于1的实数,且有a³+a⁻³=p,a³-a⁻³成立. (1)若p+q=4,求p-q的值; (2)当q²=2²ⁿ+2⁻²ⁿ-2(n>=1,且n是整数)时,比较p与(a³+1/4)的大小,并说明理由.

: 解题知识点

  • 整数指数幂的运算法则
//图片出处:义务教育教科书·数学八年级上册(人教版)https://www.zxx.edu.cn/tchMaterial/detail?contentType=assets_document&contentId=81264e9e-22bc-4289-8389-13b40433b5ba&catalogType=tchMaterial&subCatalog=dzjcP144
  • 平方差公式
    (a+b)(a-b)=a²-b²
  • 完全平方公式
    (a+b)²=a²+2ab+b²
  • 求差法(根据不等式的性质得来)
若A-B > 0,则A > B;若A-B = 0,则A = B;若A-B < 0,则A < B;

: 解题过程. 第一小题

题目刚上手,一看,简单!
a³+a⁻³=p``a³-a⁻³=q代入到p+q=4中,
得到2a³=4,所以a³=2
又因为a³=2,所以a⁻³=1/2,
所以p-q=2a⁻³=1,得出答案。

可能是由于这道题出现在一本难度系数较低的练习中,再加上如此容易的第一小题,我小看了这道题的难度…

. 第二小题

当q²=2²ⁿ+2⁻²ⁿ-2(n>=1,且n是整数)时,比较p与(a³+1/4)的大小,并说明理由.

题目拿上手,嗯,写的挺复杂,但实际应该比较简单,毕竟很多题都是这样滴。

:. 第一次尝试

根据已知,等式的左边可以用多项式a³-a⁻³代入,得到

    q²= (a³-a⁻³)²= a⁶ + a⁻⁶ -2∵ q²=2²ⁿ + 2⁻²ⁿ - 2∴ a⁶ + a⁻⁶ -2 = 2²ⁿ + 2⁻²ⁿ - 2∴ a⁶ + a⁻⁶ = 2²ⁿ + 2⁻²ⁿ

然后?

同时开方,是不是得到了a³-a⁻³ = 2ⁿ + 2⁻ⁿ?

等等,好像不对,这玩意是多项式,不能这么开方。

:. 第二次尝试

既然拆不行, 那看看等式的右边?

嗯,2²ⁿ + 2⁻²ⁿ - 2,这不妥妥的完全平方式嘛!

分解因式,得(2ⁿ - 2⁻ⁿ)²

∵ n >= 1∴ a³-a⁻³ = 2ⁿ - 2⁻ⁿ

可是思绪戛然而止,竟是停在了此处…
能否得到a=2,n=3呢?
可是如果a=4,n=6等式也成立呀…

:. 第三次尝试

一般这种大题第1小题与第2小题是有联系的,所以抬头看了看第1小题,又看了看已知。

知道了,如何转成需要的p?

让我们看看pq的关系:

a³+a⁻³ = pa³-a⁻³ = q

实在没办法,相加相减试试?

p + q = 2a³ (1)

p – q = 2a⁻³ (2)

我看向了等式的右边,*a⁻³=1,那么…

(1)*(2),得:
(p+q)(p-q) = 4

而根据平方差公式,(p+q)(p-q) = p² - q²,

∴ p² – q² = 4

有戏!
代成2²ⁿ+2⁻²ⁿ-2,刚才已经算过,2²ⁿ+2⁻²ⁿ-2就会等于(2ⁿ - 2⁻ⁿ)²,而我们知道,由完全平方公式可以推导出(a+b)²=(a-b)²+4ab,此处a2ⁿ,b2⁻ⁿ,ab=1,所以

p² = 4+(2ⁿ – 2⁻ⁿ)² = (2ⁿ + 2⁻ⁿ)²

到此,我们可以得到,

p = 2ⁿ + 2⁻ⁿq = 2ⁿ - 2⁻ⁿ

再看题目所求,1/4显然应该与2ⁿ比较,而不应与未知的比较,我们需要求2ⁿ的关系。

继续使用相加相减,

p+q = 2*2ⁿ

而前面算过p + q = 2a³,所以

a³ = 2ⁿ

到此,这道题也简单了:
比较两个数,用求差法,

a³+a⁻³-(a³+1/4)
= a⁻³-1/4
= 2⁻ⁿ-4⁻¹
= 2⁻ⁿ-2⁻²

因为n>=1且n为整数,所以:
当n等于1时,p<(a³+1/4);
当n等于2时,p=(a³+1/4);
当n为大于2的整数时,p>(a³+1/4).

至此,这道题终于解开。

: 结语

在真正解这道题之前,我从未想过他将花费我如此多的脑力。
所以,永远不要低估任何一个事物。

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Yuito,一个爱学习爱探讨,爱编程爱生活的人