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二叉排序树
二叉排序树的查找
二叉排序树的插入
二叉排序树的删除
查找时间效率分析
二叉排序树
二叉排序树,又称二叉查找树(BST,Binary Search Tree)一棵二叉树或者是空二叉树,或者是具有如下性质的二叉树:
左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字;
右子树上所有结点的关键字均大于根结点的关键字。左子树和右子树又各是一棵二叉排序树
左子树结点值<根结点值<右子树结点值
进行中序遍历可以得到一个递增的有序序列
二叉排序树的查找
若树非空,目标值与根结点的值比较:
若相等,则查找成功;
若小于根结点,则在左子树上查找,否则在右子树上查找。若查找成功,返回结点指针:查找失败返回NULL
代码
//二叉排序树结点typedef struct BSTNode{int key;struct BSTNode *lchild ,*rchild; }BSTNode,*BSTtree;//在二叉排序树中找到值为key的结点 ,时间复杂度最后 O(1)BSTNode *BST_Search(BSTree T,int key){while(T!=NULL &&key != T->key ){ //若树空或等于根结点,循环结束if(key key) T = T -> lchild; //小于,左子树查找else T = T -> rchild; //大于,右子树查找}return T;} //在二叉排序树中找到值为key的结点--递归实现 ,时间复杂度最坏O(h) h 是树的高度BSTNode *BST_Search(BSTree T,int key){if(T = NULL) return NULL; //查找失败 if(key == T->key) return T; //查找成功 else if (key lchild) return BSTSearch(T->lchild,key); //在左子树中查找else return BSTSearch(T->rchild,key); }
二叉排序树的插入
若原二叉排序树为空,则直接插入结点;否则,
若关键字k小于根结点值,则插入到左子树,
若关键字k大于根结点值,则插入到右子树
代码
最坏时间复杂度O(h) ,树的高度
//在二叉排序树插入关键字为k的新结点(递归实现)int BST_Insert(BSTree &T, int k){if(T==NULL){ //原树为空,新插入的结点为根结点 T=(BSTree)malloc(sizeof(BSTNode) ); T->key = k; T->lchild = T->rchild = NULL; return 1; //返回1,插入成功} else if(k==T->key) //树中存在相同关键字的结点,插入失败 return 0; else if(kkey) //插入到T的左子树 return BST_Insert(T-lchild,k); else //插入到T的右子树 return BST_Insert(T->rchild,k);}
二叉排序树的构造
//按照str[]中的关键字序列建立二叉排序树void Creat_BST(BSTree &T,int str[],int n){T = NULL; //初始时T为空树int i = 0;while (i < n){ //依次将每个关键字插入到二叉排序树中 BST_Insert(T,str[i]);i++;} }
二叉排序树的删除
先搜索找到目标结点:
1、若被删除结点z是叶结点,则直接删除,不会破坏二叉排序树的性质。
2、若结点z只有一棵左子树或右子树,则让z的子树成为z父结点的子树,替代z的位置。
3、若结点z有左、右两棵子树,则令z的直接后继(或直接前驱)替代z,然后从二叉排序树中删去这个直接后继(或直接前驱),这样就转换成了第一或第二种情况。
例子
对于上述2,如果要删除60,我们发现它只有一个右子树,所以只需要把63替换到它位置就行
对于第三个,删除60这个结点我们发现,60有左右子树,所以我们可以先利用中序排序找到第一个访问的结点(其实就是最小的结点)然后删除50,想办法把60替换上去,其实就是删除60,删除60,我们发现它只有右子树,按照上面的方法(删除只有一棵左子树或右子树的方法),即可做到,如下图
也可以用当前左子树中最大的值,即是30,所以我们把60替换掉,取代60的位置就行,道理如
上。
查找时间效率分析
查找长度——在查找运算中,需要对比关键字的次数称为查找长度,反应查找操作时间复杂度
查找成功的平均查找长度
查找失败的平均查找长度