今日主要总结一下动态规划0-1背包的一道题目，494. 目标和问题

题目：494. 目标和

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题目描述：
给你一个整数数组 nums 和一个整数 target 。

向数组中的每个整数前添加 ‘+’ 或 ‘-’ ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：

例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 ‘+’ ，在 1 之前添加 ‘-’ ，然后串联起来得到表达式 “+2-1” 。
返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

示例 1：

输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 – 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 – 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 – 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 – 1 = 3

示例 2：

输入：nums = [1], target = 1
输出：1

提示：

1 <= nums.length <= 20
0 <= nums[i] <= 1000
0 <= sum(nums[i]) <= 1000
-1000 <= target <= 1000

本题重难点

这道题目咋眼一看和动态规划背包啥的也没啥关系。

大家在做这道题之前最好看一下一文搞懂纯0-1背包问题我对0-1背包的基础理论知识有详细的讲解，本道题其实就是0-1 背包问题的应用，而这道题的难点主要在于怎么把494. 目标和问题抽象成一个0-1 背包问题。

本题要如何使表达式结果为target呢？

假设整数前添加 ‘+’号的总和为x，那么整数前添加 ‘-‘号对应的总和就是sum – x。

所以我们要求的是 x – (sum – x) = target

x = (target + sum) / 2

此时问题就转化为，装满容量为x背包，有几种方法。**

这里的x，就是bagSize，也就是我们后面要求的背包容量。

大家看到(target + sum) / 2 应该担心计算的过程中向下取整有没有影响。

这么担心就对了，例如sum 是5，target是2的话其实就是无解的，所以：

当(target + sum) 不能整除2或者 target > sum时，都是没有无解的。

那么我们再回归到01背包问题，为什么是01背包呢？

因为每个物品（题目中的1）只用一次！

这次和之前遇到的背包问题不一样了，之前都是求容量为j的背包，最多能装多少。

本题则是装满有几种方法。其实这就是一个组合问题了。

  1. 确定dp数组以及下标的含义
    dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法
  2. 确定递推公式
    有哪些来源可以推出dp[j]呢？
    只要搞到nums[i]），凑成dp[j]就有dp[j – nums[i]] 种方法。

例如：dp[j]，j 为5，

已经有一个1（nums[i]） 的话，有 dp[4]种方法 凑成 容量为5的背包。
已经有一个2（nums[i]） 的话，有 dp[3]种方法 凑成 容量为5的背包。
已经有一个3（nums[i]） 的话，有 dp[2]中方法 凑成 容量为5的背包
已经有一个4（nums[i]） 的话，有 dp[1]中方法 凑成 容量为5的背包
已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]中方法 凑成 容量为5的背包
那么凑整dp[5]有多少方法呢，也就是把 所有的 dp[j – nums[i]] 累加起来。
所以求组合类问题的公式，都是类似这种：

dp[j] += dp[j - nums[i]]

这个公式在后面在讲解背包解决排列组合问题的时候还会用到！

  1. dp数组如何初始化
    从递归公式可以看出，在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递归结果将都是0。
    这里有录友可能认为从dp数组定义来说 dp[0] 应该是0，也有录友认为dp[0]应该是1。
    其实不要硬去解释它的含义，咱就把 dp[0]的情况带入本题看看就是应该等于多少。
    如果数组[0] ，target = 0，那么 bagSize = (target + sum) / 2 = 0。 dp[0]也应该是1， 也就是说给数组里的元素 0 前面无论放加法还是减法，都是 1 种方法。
    所以本题我们应该初始化 dp[0] 为 1。
    可能有同学想了，那 如果是 数组[0,0,0,0,0] target = 0 呢。
    其实 此时最终的dp[0] = 32，也就是这五个零 子集的所有组合情况，但此dp[0]非彼dp[0]，dp[0]能算出32，其基础是因为dp[0] = 1 累加起来的。
    dp[j]其他下标对应的数值也应该初始化为0，从递归公式也可以看出，dp[j]要保证是0的初始值，才能正确的由dp[j – nums[i]]推导出来。

  2. 确定遍历顺序
    我们在一文搞懂纯0-1背包问题讲过对于01背包问题一维dp的遍历，nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序。

  3. 举例推导dp数组

输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], target: 3

bagSize = (target + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4

dp数组状态变化如下：

C++代码

class Solution {public:int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {int sum = 0;for(auto& n : nums) sum += n;if(abs(target) > sum) return 0;if((target + sum) % 2 == 1) return 0;int bagSize = (target + sum) / 2;vector<int> dp(bagSize + 1, 0);dp[0] = 1;for(int i = 0; i < nums.size(); i++){for(int j = bagSize; j >= nums[i]; j--){dp[j] += dp[j - nums[i]];}}return dp[bagSize];}};

总结

动态规划
英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。
动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的

对于动态规划问题，可以拆解为如下五步曲，这五步都搞清楚了，才能说把动态规划真的掌握了！

  1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
  2. 确定递推公式
  3. dp数组如何初始化
  4. 确定遍历顺序
  5. 举例推导dp数组

这篇文章主要总结了一些动态规划解决494. 目标和问题，依然是使用动规五部曲，做每道动态规划题目这五步都要弄清楚才能更清楚的理解题目！

本题还是有点难度，大家也可以记住，在求装满背包有几种方法的情况下，递推公式一般为：

dp[j] += dp[j - nums[i]];

后面我们在讲解完全背包的时候，还会用到这个递推公式！

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