本篇博客将详细介绍什么是数学建模。
文章目录
- 个人简介
- 什么是数学建模
- （一）引例：高中数学里的简单线性规划问题
- 数学建模的定义及用途
- 数学建模的定义
- 数学建模的用途
- 正确认识数学建模
个人简介
本人在本科阶段获得过国赛省一、mathorcup数学建模一等奖、五一杯数学建模一等奖、华数杯数学建模一等奖、亚太杯数学建模一等奖和两次美赛一等奖。自己在数学建模这条路上摸爬滚打了几年，现在想借助博客分享自己在数学建模上的一些经验，帮助小白更快地学习数学建模。
什么是数学建模
（一）引例：高中数学里的简单线性规划问题
在了解什么是数学建模之前，我们先来复习一下高中数学里的简单线下规划问题。
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题。
我们来看2018年理科数学全国I卷的一道题目：
一般而言，求解线性规划问题一共有四步：
1、列出线性约束条件，确定目标函数
2、画出可行域
3、在可行域中移动目标函数，找出最优解
4、求出最值
针对这个题，约束条件和目标函数如下：
根据约束条件画出可行域，具体如下图：
蓝色部分即为可行域。
在移动目标函数之前，现将目标函数化简成 y = k x + m zy=kx+mzy=kx+mz的形式，即 z = 3 x + 2 yz=3x+2yz=3x+2y换成 y = − 32x + 12zy=-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}zy=−23x+21z。已知题目中求 zzz的最大值，其实也就是求 y = − 32x + 12zy=-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}zy=−23x+21z这条直线在 yyy轴截距的最大值。
接下来令 z = 0z=0z=0，画出 y = − 32xy=-\frac{3}{2}xy=−23x的图像，如下图绿色系所示，可知当直线 y = − 32xy=-\frac{3}{2}xy=−23x向右移动到(2,0)点时与y轴截距最大，如下图粉色直线的位置，此时(2,0)即为最优解。
因此， z m a x= 3 ∗ 2 + 2 ∗ 0 = 6z_{max}=3*2+2*0=6zmax=3∗2+2∗0=6。
这道题到这里就做完了。介绍这道题的目的是让大家了解高中数学里的简单线性规划。下面再看一道高中数学里的简单线性规划的大题。
某工厂生产甲、乙两种产品，每生产1吨产品需要的电力、煤、劳动力及产值，如下表所示：
品种 电力（千度） 煤（吨） 劳动力（人） 产值（千元） 甲 4 3 5 7 乙 6 6 3 9 该厂的劳动力满员150人，根据限额每年用电不超过180千度，用煤每天不得超过150吨，问每天生成这两种产品各多少时，才能创造最大的经济效益。
按照前面的讲解，首先设每天生产甲产品 xxx吨，乙产品 yyy吨，可得产值 zzz千元。因此，目标函数为： z = 7 x + 9 yz=7x+9yz=7x+9y。按照题目要求，设置约束条件如下：
紧接着画出可行域，如下图所示：
因为 y = − 79x + 19zy=-\frac{7}{9}x+\frac{1}{9}zy=−97x+91z，所以画出直线 y = − 79xy=-\frac{7}{9}xy=−97x，并平移得到P点，此时 zzz最大。求出P点为( 1507 \frac{150}{7}7150, 1007 \frac{100}{7}7100)，因此每天生产甲产品 1507 \frac{150}{7}7150吨，乙产品 1007 \frac{100}{7}7100吨。
如果能看懂这个例子，那么就可以称自己数学建模入门了。
数学建模的定义及用途
数学建模的定义
为什么学到这就可以称自己数学建模入门了呢？我们先来看看数学建模的定义：
数学建模是指根据实际问题来建立数学模型，对数学模型进行求解，然后再根据结果解决实际问题。
我们再回到上面那个应用题，题目本身就是实际问题，而我们建立的模型就是数学模型，根据这个模型我们得到了最终的结果，这难道不是数学建模吗？
有数学建模基础的同学可能知道，上面这种题目就是数学建模里的优化问题，这部分将在后面的博客中详细讲解。
数学建模的用途
在各个学科和行业中，数学建模都扮演着重要的角色，帮助解决复杂的实际问题。例如：
1、环境科学：如预测天气、模拟气候变化、水资源管理等。
2、计算机科学：如优化算法、图像识别等。
3、交通运输：如交通流量预测、交通信号优化等。
4、金融领域：如股票价格预测、风险管理等。
5、医学：如疾病传播模型、药物效果评估等。
6、社会科学：如研究人类行为、社会网络分析等。
7、教育：如教学效果评估、排课问题等。
8、市场营销：如广告效果评估、市场份额预测等。
正确认识数学建模
数学模型一般是实际事物的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别，例如：
1、为了进行数学分析，问题通常需要被简化，舍弃一些次要的、难以处理的细节，以便应用数学方法求解。 现实世界的问题通常更为复杂，包含许多不确定性、非线性关系和随机因素，这些在数学建模中可能被简化或省略。
2、在数学建模中常常需要引入一些假设，以使问题变得更容易处理，同时也要考虑到数学模型的适用性。而实际问题通常受到各种现实约束，如资源限制、时间限制、技术可行性等，需要考虑多种因素。
3、模型的准确性受到模型假设和简化的影响，有时候可能只是对实际问题的近似。
本篇博客到此结束！