用sympy计算Pauli矩阵

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• • Pauli矩阵
  • sympy实现

Pauli矩阵

Pauli矩阵是3个$2\times 2$的矩阵，这三哥矩阵的行列式均为-1，一般以$\sigma$表示如下

σ x= [ 0 1 1 0 ]σ y= [ 0 −ii 0 ]σ z= [ 1 0 0 −1]\sigma_x=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\quad \sigma_y=\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}\quad \sigma_z=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix} σx​=[01​10​]σy​=[0i​−i0​]σz​=[10​0−1​]

在量子力学中，这三个矩阵分别表示自旋在三个坐标轴中的投影分量， σx, σy, σz \sigma_x, \sigma_y, \sigma_zσx​,σy​,σz​也可写为 σ1, σ2, σ3 \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3σ1​,σ2​,σ3​。

Pauli矩阵满足如下关系

• 对易计算 [ σ a, σ b]=2i ϵ abcσ c[\sigma_a, \sigma_b]=2i\epsilon_{abc}\sigma_c [σa​,σb​]=2iϵabc​σc​
• 反对易 { σ a, σ b}=2 δ ab I\{\sigma_a, \sigma_b\}=2\delta_{ab}I {σa​,σb​}=2δab​I
• 内积关系 σ a σ b=i ∑ c ϵ abcσ c+ δ ab I\sigma_a\sigma_b=i\sum_c\epsilon_{abc}\sigma_c+\delta_{ab}I σa​σb​=i∑c​ϵabc​σc​+δab​I

sympy实现

matrices中封装了msigma类，即Pauli矩阵的矩阵表示，示例如下

from sympy import print_latexfrom sympy.physics.matrices import msigmaprint_latex(msigma(1))

[0110]\left[\begin{matrix}0 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right] [01​10​]

此外，sympy中还封装了Pauli类，调用如下

from sympy.physics.paulialgebra import Paulifrom sympy import print_latexp1 = Pauli(1)print_latex(p1)

σ1 \sigma_{1}σ1​

quantum中提供了对易计算，测试如下

from sympy.physics.quantum import Commutatorp2 = Pauli(2)comm = Commutator(p1, p2) # [sigma1,sigma2]print_latex(comm.doit()) # 2*I*sigma3

即

[ σ 1, σ 2]=2i σ 3[\sigma_1, \sigma_2] = 2 i \sigma_{3} [σ1​,σ2​]=2iσ3​

内积的计算结果如下

p1*p1 # 1print_latex(p1*p2)

i σ 3i \sigma_{3} iσ3​