二叉树

  • 一.树的概念及结构
    • 1.1树的概念
    • 1.2相关概念
  • 2.二叉树的概念及结构
    • 2.1 概念
    • 2.2 特殊的二叉树
  • 3.二叉树的遍历
    • 3.1 前序、中序以及后序遍历
    • 3.2 层序遍历
    • 3.3 判断二叉树是否是完全二叉树
    • 3.4 二叉树的高度
    • 3.5 二叉树的叶子节点个数
    • 3.6 二叉树的第k层的节点个数
    • 3.7 二叉树销毁
    • 3.7 二叉树查找值为x的结点

一.树的概念及结构

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

  1. 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
  2. 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
  3. 因此，树是递归定义的。

1.2相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点；具有相同父节点的节点互称为兄弟节点 如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

2.二叉树的概念及结构

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

  1. 为空
  2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成


  1. 二叉树不存在度大于2的结点
  2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

2.2 特殊的二叉树

  1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1 ，则它就是满二叉树。
  2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。


3.二叉树的遍历

3.1 前序、中序以及后序遍历

  1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
  2. 中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。
  3. 后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。
void PrevOrder(BTNode* root) {//前序if (root == NULL) {printf("NULL ");return;}printf("%d ", root->val);PrevOrder(root->left);PrevOrder(root->right);}void InOrder(BTNode* root)//中序{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}InOrder(root->left);printf("%d ", root->val);InOrder(root->right);}void PostOrder(BTNode* root)//后序{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}PostOrder(root->left);PostOrder(root->right);printf("%d ", root->val);}

3.2 层序遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

void LevelOrder(BTNode* root){Que q;QueueInit(&q);if (root)QueuePush(&q, root);while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);printf("%d ", front->val);if (front->left)QueuePush(&q, front->left);if (front->right)QueuePush(&q, front->right);QueuePop(&q);}printf("\n");QueueDestroy(&q);}

3.3 判断二叉树是否是完全二叉树

int TreeComplete(BTNode* root){Que q;QueueInit(&q);if (root)QueuePush(&q, root);while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);if (front == NULL)break;QueuePush(&q, front->left);QueuePush(&q, front->right);QueuePop(&q);}while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (front != NULL){QueueDestroy(&q);return false;}}QueueDestroy(&q);return true;}

3.4 二叉树的高度

int TreeHeight(BTNode* root){if (root == NULL)return 0;return fmax(TreeHeight(root->left), TreeHeight(root->right)) + 1;}

3.5 二叉树的叶子节点个数

int TreeLeafSize(BTNode* root){if (root == NULL)return 0;if (root->left == NULL && root->right == NULL){return 1;}return TreeLeafSize(root->left) + TreeLeafSize(root->right);}

3.6 二叉树的第k层的节点个数

int TreeKLevel(BTNode* root, int k){assert(k > 0);if (root == NULL)return 0;if (k == 1){return 1;}return TreeKLevel(root->left, k - 1)+ TreeKLevel(root->right, k - 1);}

3.7 二叉树销毁

void TreeDestroy(BTNode* root){if (root == NULL){return;}TreeDestroy(root->left);TreeDestroy(root->right);free(root);//root = NULL;}

3.7 二叉树查找值为x的结点

BTNode* TreeFind(BTNode* root, int x){if (root == NULL)return NULL;if (root->val == x)return root;BTNode* ret = NULL;ret = TreeFind(root->left, x);if (ret)return ret;ret = TreeFind(root->right, x);if (ret)return ret;return NULL;}