作者： 迷茫的启明星
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【数据结构】带你学会二叉树的链式存储的前中后序遍历，遍历推导及利用队列实现二叉树的层次遍历。
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持续更新中~
前言
前面一篇讲述了树，包括树的定义·相关概念和树的存储结构等，今天将讲述二叉树的的理论及相关应用·堆排序·TOPK问题。
1.二叉树简介
1.1二叉树定义
一棵二叉树是结点的一个有限集合，
该集合或者为空，
或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
二叉树的特点：
- 二叉树是每个结点最多有两个子树的树结构。
- 即二叉树不允许存在度⼤于2的树。
- 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。
1.2现实中的二叉树
在普通人眼中，可能会说这树真标准，都分两个叉，
而在程序员眼中这就是一棵完美的二叉树，
经历·职业·价值等等不同，
导致不同人的眼中就是不同的世界，
每个人都活在自己的世界里，
我们终其一生都在扩大自己无知的边界（像一个圆）。
回到正题
1.3数据结构中的二叉树
它有五种最基本的形态：
二叉树可以是空集
根可以有空的左子树或者右子树
左右子树都是空。只有左子树或者右子树的叫做斜树
1.4特殊的二叉树
满二叉树：
一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。
也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是满二叉树。( k ≥ 1)
也可以这么理解，在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子结点都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。
看你觉得哪种方式更好理解就用哪种~~~
举例：
特点：
- 所有的叶子节点都在最后一层
- 所有的分支节点都有两个孩子
完全二叉树
完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。
对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。
要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
特点：
- 所有的叶结点都出现在第k层或k－1层
- 若任一结点，如果其右子树的最⼤层次为i，则其左子树的最⼤层次为i或i＋1
- 前N-1层都是满的
- 最后一层不满，但是最后一层从左到右是连续的
引言：
那么10亿个节点的完全二叉树是多少层？
2^h -1=10^9
结果h约为29.9，故完全二叉树应有30层。
是不是很夸张，才30层就是10亿了，这就是指数的力量。
下面将系统的讲述二叉树的性质。
1.5二叉树的性质
- 性质1：
若规定根节点的层数为1,在二叉树的第i层上的结点最多为2^(i-1) 个。
- 性质2：
若规定根节点的层数为1，深度为h的二叉树至多有2^h -1个结点。
- 性质3：
在一棵二叉树中，叶结点(度为0)的数目永远比度为2的结点数目多一个。
a. 总节点数为各类节点之和：n = n0+ n1 + n2
b. 总节点数为所有子节点数加一：n = n1 + 2*n2 + 1
故：n = n + 1
- 性质4：
若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log₂(n+1)
练习题：
1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）A 不存在这样的二叉树B 200C 198D 1992.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）A nB n+1C n-1D n/23.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）A 11B 10C 8D 12解析：1.B性质3度为0的数目永远比度为2的结点数目多一个2.A性质3a. 总节点数为各类节点之和：n = n0+ n1 + n2b. 总节点数为所有子节点数加一：n = n1 + 2*n2 + 1假设 度为0，节点数为x0度为1，节点数为x1度为2，节点数为x2x0+x1+x2=2n而x2=x0-1故2*x0+x1-1=2n2^n为2的倍数，故x1-1也应该等于2的几次方，故x1等于1，即得度为0节点(叶子节点)个数为n3.B设高度为h2^(h-1)-1<531<2^h-1代入选项得h为101.6 注意
这里我们不会去实现二叉树顺序存储和链式存储
因为普通二叉树增删改查没有什么价值，用来存储数据又太复杂了
它的价值体现在在它的基础之上，利用它的性质解决一些问题
比如说：TOPK问题，堆排序，搜索二叉树查找等等
我们学习二叉树不关注增删改查，而关注递归遍历结构，
1.是为了后面学习更有用的树打基础，
2.很多OJ题的结构是普通二叉树。
2. 二叉树的顺序存储
2.1 概念
顺序结构存储就是使用数组来存储。
一般使用数组只适合表示完全二叉树，
因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，
关于堆将在下一篇会进行粗略讲解，主要讲述堆排序。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
完全二叉树存储过程中的总结
二叉树存储过程中，假设parent是父节点在数组中的下标
那么左孩子leftchild=parent*2+1,右孩子rightchild=parent*2+2
假设孩子的下标是child，不管是左孩子还是右孩子
那么父节点parent=(child-1)/2
节点定义代码：
typedef int HPDataType;typedef struct Heap{HPDataType* a;int size;int capacity;}HP;
2.2 应用：堆
2.2.1 堆的概念及结构
数据结构和操作系统中都有堆，但是他们没有关系，是两个学科里面的不同物种，这里我们仅介绍数据结构里面的堆。
如果有一个关键码的集合K={k0,k1,k2,k3,……k(n-1)}
把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，
并满足：Ki<=K(2i+1)且Ki<=K(2i+2)，
或者说Ki>=K(2i+1)且Ki>=K(2i+2)，
i=0,1,2…,则称为小堆（或大堆）。
将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆
根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆
通俗易懂解释来说就是：
大堆：树中一个树及子树中，任何一个父亲都大于等于孩子
小堆：树中一个树及子树中，任何一个父亲都小于等于孩子
堆的逻辑结构是完全二叉树，是我们想象出来的
堆的物理结构则是数组，是实实在在内存中存储的结构
大堆图示：
小堆图示：
2.2.2 堆的应用
我们是怎么用的呢？
1. 堆的基本操作-数据的插入
- 假如我们在一个这样的大堆中插入 8
- 我们可以直接在数组的最后扩容再赋值即可
如图：
>
- 这样我们发现在大堆插入数据已经成功了，而且它还是个大堆。
但是如果这个数比较大，是60怎么办呢？
- 首先我们先插入数据
- 发现什么？这已经不是大堆了！大堆的定义是父亲节点比左右孩子节点都大
- 所以我们需要调整插入节点在堆中的位置
- 在此堆中，仅需向上调整，将56与60交换位置即可，然后70比60大故不变
如图：
如果这个数是75比最大的还要大怎么办？
- 继续向上调整，直至没有父亲节点比子节点小为止
75大于56 交换
75大于70 交换
经过这一系列操作·图示，你发现什么没有？
在大堆中插入一个数，而且还要最后仍为大堆：
- 在大堆中插入一个数，那个数就是孩子节点了
- 假如它比父亲节点小，则不改变
- 假如它比父亲节点大，就和父亲节点交换位置
- 直到父亲节点比它大为止
向上调整的代码怎么写呢？
我们仅需要通过循环判断子节点与其父节点的大小，子节点大则交换即可。
void AdjustUp(int* a,int child)//a是数组//child是刚插入的节点的位置，也就是最后一个节点{assert(a);int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){if (a[child] > a[parent]){HPDataType tmp = a[child];a[child] = a[parent];a[parent] = tmp;child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}}向上调整写完了，总的插入是怎么做的呢？
typedef int HPDataType;typedef struct Heap{HPDataType* a;int size;int capacity;}HP;void HeapPush(HP* hp, HPDataType x){assert(hp);if (hp->size == hp->capacity){size_t newCapacity = hp->capacity == 0 " />a = tmp;hp->capacity = newCapacity;}hp->a[hp->size] = x;hp->size++;AdjustUp(hp->a, hp->size - 1);//上面实现过的向上调整函数}这时候就能通过插入元素来建立大堆了
void HeapInit(HP* hp){assert(hp);hp->a = NULL;hp->size = hp->capacity = 0;}void HeapPrint(HP* hp){for (int i = 0; i size; ++i){printf("%d ", hp->a[i]);}printf("\n");}int main(){int a[] = { 70, 56, 30, 25, 15, 10, 75 };HP hp;HeapInit(&hp);for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(a[0]); ++i){HeapPush(&hp, a[i]);}HeapPrint(&hp);return 0;}小堆类似，就不过多赘述了。
2. 堆的基本操作-数据的删除
注：删除堆顶的数据
意义：上面我们了解了大堆，小堆的含义，
又通过堆的插入发现可通过堆选出最大值Or最小值，
那么每次只要我们取堆顶的元素就可以取出堆中的最大值or最小值。
注意：我们对堆进行操作时，通常不改变其原有的性质，最后大堆仍是大堆，小堆仍是小堆。
我们该怎么操作呢?
很多人第一想法就是把堆顶取出，这是数组存储对吧，直接后面覆盖前面的元素就行了。
可是这样会改变堆的原有性质，不再是大堆or小堆了，那下次如果再想取最大值Or最小值岂不是又要重新建大堆or小堆？
嗯，不妙。
所以有这么一种方法，先把堆顶的元素的值备份一下，再把最后一个元素赋给堆顶，然后向下调整
向下调整是怎么样的呢？
假如这是个大堆，现在要删除堆顶元素,
然后将最后一个元素赋给了堆顶,
我们要调整以后仍是大堆，
那么就看此时的堆顶元素与左右孩子的比较了，
举个例子：
有这样一个堆：
按照前面所说，将最后一个元素赋给了堆顶
此时已不是大堆了
就该向下调整
发现左右孩子都比10大，选择哪一个呢？
记住一个技巧，大堆换大孩子，小堆换小孩子
很简单嘛，这是大堆，如果和小孩子换了，那小孩子成了父亲，还是比大孩子小，仍然不是大堆
接着上面的图示
和大孩子交换
结果仍是大堆
代码怎么写呢？
向下调整函数：
void AdjustDown(int* a, int n, int parent){int child = parent * 2 + 1;while (child < n){// 选出左右孩子中大的那一个if (child + 1 < n && a[child + 1] a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);//交换值parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}}删除堆顶元素函数：
bool HeapEmpty(HP* hp){assert(hp);return hp->size == 0;}// 删除堆顶的数据void HeapPop(HP* hp){assert(hp);assert(!HeapEmpty(hp));Swap(&hp->a[0], &hp->a[hp->size - 1]);//交换堆顶与最后一个元素的值hp->size--;AdjustDown(hp->a, hp->size, 0);}讲到这里是不是觉得特别简单？
其实后面讲述的堆排序就是利用堆的性质进行排序的，取堆顶元素而已。
3.堆的应用-TOPK问题
在N个数中找出最大的前K个 or 在N个数中找出最小的前K个
N表示数目极多，一般认为K远小于N
有三种方法：
方式一：
将N个数排降序，前十个就是最大的。
最快的排序方法是快排，后面会专门讲解快排的，这里知道就好。
时间复杂度：O(N*logN)
太复杂了，如果数据非常多，存不下，就无法使用这个方法
方式二：
N个数依次插入大堆，Pop K次，每次取堆顶的数据。
时间复杂度为：O(N+logN*K)
这种方法也方法有一样的弊端，数据量太大，内存不够则无法计算。
拓展：建堆的时间复杂度怎么算？
因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，
此处为了简化使用满二叉树来证明
（时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果）：
则需要移动节点的移动步数为：
T(n)=20*(h-1)+21*(h-2)+22*(h-3)+23*(h-4)+……+2(h-3)*2+2(h-2)*1 Ⅰ
2*T(n)=21*(h-1)+22*(h-2)+23*(h-3)+24*(h-4)+……+2(h-2)*2+2(h-1)*1 Ⅱ
Ⅱ-Ⅰ错位相减：
T(n)=1-h+21+22+……+2^(h-1)
T(n)=20+21+22+……+2(h-1)-h
T(n)=2^h -1 -h
n=2^h -1 h=log2(n+1)
T(n)=n – log2(n+1)约等于n
因此，建堆的时间复杂度为O(N)
方式三：
假设N非常大，内存中存不下这些数，他们存在文件中的是K个数。
用前K个数建立一个K个数的小堆
剩下的N-K一个数依次跟堆顶的数据进行比较
如果比堆顶的数据大就替换堆顶的数据，再向下调整
最后堆里面K个数就是最大的那K个数。
时间复杂度：O(N*logK)
这是求最大的那K个数
求最小的那K个数则相反
用前K个数建立一个K个数的大堆
剩下的N-K一个数依次跟堆顶的数据进行比较
如果比堆顶的数据小就替换堆顶的数据，再向下调整
最后堆里面K个数就是最小的那K个数。
为什么呢？
求最大的前K个数就是要小堆，最小的前K个就是要用大堆来算？在求最大的前K个数时，
假如用大堆，且大堆堆顶元素就是最大值，那么后面的值就无法进入比较，
只有用小堆，堆顶元素是堆中最小元素，只要后来的元素大于堆顶就和舍去原堆顶，
将新的元素赋给堆顶，再向下调整，使其仍是小堆，
再循环往复直至所有的值比较完毕。求最小的前K个数类似
测试
Heap.c
#include "Heap.h"void Swap(HPDataType* px, HPDataType* py){HPDataType tmp = *px;*px = *py;*py = tmp;}void HeapInit(HP* hp){assert(hp);hp->a = NULL;hp->size = hp->capacity = 0;}void HeapDestroy(HP* hp){assert(hp);free(hp->a);hp->capacity = hp->size = 0;}void AdjustUp(int* a, int child){assert(a);int parent = (child - 1) / 2;//while (parent >= 0)while (child > 0){if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}}void HeapPrint(HP* hp){for (int i = 0; i size; ++i){printf("%d ", hp->a[i]);}printf("\n");}void HeapPush(HP* hp, HPDataType x){assert(hp);if (hp->size == hp->capacity){size_t newCapacity = hp->capacity == 0 " />a = tmp;hp->capacity = newCapacity;}hp->a[hp->size] = x;hp->size++;AdjustUp(hp->a, hp->size - 1);}bool HeapEmpty(HP* hp){assert(hp);return hp->size == 0;}int HeapSize(HP* hp){assert(hp);return hp->size;}HPDataType HeapTop(HP* hp){assert(hp);assert(!HeapEmpty(hp));return hp->a[0];}void AdjustDown(int* a, int n, int parent){int child = parent * 2 + 1;while (child < n){// 选出左右孩子中小的那一个if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child]){++child;}// 如果小的孩子小于父亲，则交换，并继续向下调整if (a[child] a[0], &hp->a[hp->size - 1]);hp->size--;AdjustDown(hp->a, hp->size, 0);}Heap.h
#pragma once#include #include #include #include // 大堆typedef int HPDataType;typedef struct Heap{HPDataType* a;int size;int capacity;}HP;void AdjustUp(int* a, int child);void AdjustDown(int* a, int n, int parent);void Swap(HPDataType* px, HPDataType* py);void HeapInit(HP* hp);void HeapDestroy(HP* hp);void HeapPush(HP* hp, HPDataType x);void HeapPop(HP* hp);HPDataType HeapTop(HP* hp);void HeapPrint(HP* hp);bool HeapEmpty(HP* hp);int HeapSize(HP* hp);Test.c
#include #include "Heap.h"// 在N个数找出最大的前K个or在N个数找出最小的前K个void PrintTopK(int* a, int n, int k){HP hp;HeapInit(&hp);// 创建一个K个数的小堆for (int i = 0; i < k; ++i){HeapPush(&hp, a[i]);}// 剩下的N-K个数跟堆顶的数据比较，比他大，就替换他进堆for (int i = k; i HeapTop(&hp)){hp.a[0] = a[i];AdjustDown(hp.a, hp.size, 0);}}HeapPrint(&hp);HeapDestroy(&hp);}void TestTopk(){//此处用1000000模拟数据量大的情况int n = 1000000;int* a = (int*)malloc(sizeof(int)*n);srand(time(0));for (size_t i = 0; i < n; ++i){a[i] = rand() % 1000000;}// 再去设置10个比100w大的数a[5] = 1000000 + 1;a[1231] = 1000000 + 2;a[5355] = 1000000 + 3;a[51] = 1000000 + 4;a[15] = 1000000 + 5;a[2335] = 1000000 + 6;a[9999] = 1000000 + 7;a[76] = 1000000 + 8;a[423] = 1000000 + 9;a[3144] = 1000000 + 10;PrintTopK(a, n, 10);}int main(){TestTopk();return 0;}运行结果：
4. 堆的应用-堆排序问题
什么是堆排序？
堆排序（英语:Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆排序可以理解为选择排序。
情景1：要求使用堆对数组进行升序排序
根据你看了以上内容，我想这对你来说并不是上面难题。
你可能会这么想：
- 先用数组的元素，使用前面实现的HeapPush函数，建立一个小堆
- 这样每次堆顶元素就是最小值
- 然后把堆顶元素存入另一个数组中
- 利用HeapPop函数删除堆顶元素
- 循环往复直至排序完毕
很好！思路是对的！那么代码怎么实现呢？
前文都是建立大堆，所以这里建小堆代码要进行微调：
把这种思路要实现的代码全部贴这了。
方便大家测试。
Heap.c
#include "Heap.h"void Swap(HPDataType* px, HPDataType* py){HPDataType tmp = *px;*px = *py;*py = tmp;}void HeapInit(HP* hp){assert(hp);hp->a = NULL;hp->size = hp->capacity = 0;}void HeapDestroy(HP* hp){assert(hp);free(hp->a);hp->capacity = hp->size = 0;}void AdjustUp(int* a, int child){assert(a);int parent = (child - 1) / 2;//while (parent >= 0)while (child > 0){if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}}void HeapPrint(HP* hp){for (int i = 0; i size; ++i){printf("%d ", hp->a[i]);}printf("\n");}void HeapPush(HP* hp, HPDataType x){assert(hp);if (hp->size == hp->capacity){size_t newCapacity = hp->capacity == 0 " />a = tmp;hp->capacity = newCapacity;}hp->a[hp->size] = x;hp->size++;AdjustUp(hp->a, hp->size - 1);}bool HeapEmpty(HP* hp){assert(hp);return hp->size == 0;}HPDataType HeapTop(HP* hp){assert(hp);assert(!HeapEmpty(hp));return hp->a[0];}void AdjustDown(int* a, int n, int parent){int child = parent * 2 + 1;while (child < n){// 选出左右孩子中小的那一个if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child]){++child;}// 如果小的孩子小于父亲，则交换，并继续向下调整if (a[child] a[0], &hp->a[hp->size - 1]);hp->size--;AdjustDown(hp->a, hp->size, 0);}Heap.h
#pragma once#include #include #include #include // 大堆typedef int HPDataType;typedef struct Heap{HPDataType* a;int size;int capacity;}HP;void AdjustUp(int* a, int child);void AdjustDown(int* a, int n, int parent);void Swap(HPDataType* px, HPDataType* py);void HeapInit(HP* hp);void HeapDestroy(HP* hp);void HeapPush(HP* hp, HPDataType x);void HeapPop(HP* hp);HPDataType HeapTop(HP* hp);void HeapPrint(HP* hp);bool HeapEmpty(HP* hp);Test.c
void HeapSort(int* a, int n){HP hp;HeapInit(&hp);// 建议一个N个小堆for (int i = 0; i < n; ++i){HeapPush(&hp, a[i]);}// Pop N 次for (int i = 0; i < n; ++i){a[i] = HeapTop(&hp);HeapPop(&hp);}HeapDestroy(&hp);}int main(){int a[] = { 70, 56, 30, 25, 15, 10, 75, 33, 50, 69 };for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(a[0]); ++i){printf("%d ", a[i]);}printf("\n");HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(a[0]));for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(a[0]); ++i){printf("%d ", a[i]);}printf("\n");return 0;}情景2：难上加难使用堆的性质·不能用堆的结沟·不能开辟新的空间的堆排序
嗯，就这么实现了，是不是意犹未尽呢？别急，现在给这题加上一个前提，不能使用堆的结构，就是说不能像这样
typedef struct Heap{HPDataType* a;int size;int capacity;}HP;只能使用他的性质，而且不能再开辟其他的空间，空间复杂度为O(1)。
是不是难住你了？堆的性质·不能用堆的结沟·不能开辟新的空间~
给个提示吧：”数组是可以看作完全二叉树的，想想前面是怎么建堆的？“
恍然大悟了吧！
这里只需要使用AdjustUp函数，前文讲过这个函数的原理哦~
这里是这么想的：
- 把前i个数视作堆
- 每次插入一个数，循环向上调整，也就相当于建堆了
- 因为我们要升序排序，所以要把大的选出来与数组最后一位交换，是不是想起了，堆顶的删除？这也是巧妙利用了它的性质。
- 交换后，向下调整使它仍然是大堆，再次选出最大值，循环往复直至排序完成
是不是很妙！
不过建堆的方法还有一种就是向下调整
从最后一位节点(也就是数组最后一位)的父亲开始（也就是（n-1-1）/2）
倒着调整使其自己所在的子树成为大堆
然后再找前一个节点，同样调整使其自己所在的子树成为大堆
一直往前这样下去，使其总体最终成为大堆
当然，方法不止一种，但是思路大差不差，你也能尝试一下更多解法
代码实现，这里也做了修改，变成了调大堆，所以也附上源码：
void Swap(HPDataType* px, HPDataType* py){HPDataType tmp = *px;*px = *py;*py = tmp;}void AdjustUp(int* a, int child){assert(a);int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){if (a[child] > a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}}void AdjustDown(int* a, int n, int parent){int child = parent * 2 + 1;while (child < n){// 选出左右孩子中大的那一个if (child + 1 a[child]){++child;}// 如果大的孩子大于父亲，则交换，并继续向下调整if (a[child] > a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}}void HeapSort(int* a, int n){// 把a构建成大堆// 方法1：for (int i = 1; i = 0; --i)//{//AdjustDown(a, n, i);//}////// 依次选数，调堆//// O(N*logN)for (int end = n - 1; end > 0; --end){Swap(&a[end], &a[0]);// 再调堆，选出次小的数AdjustDown(a, end, 0);}}int main(){int a[] = { 70, 56, 30, 25, 15, 10, 75, 33, 50, 69 };for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(a[0]); ++i){printf("%d ", a[i]);}printf("\n");HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(a[0]));for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(a[0]); ++i){printf("%d ", a[i]);}printf("\n");return 0;}只要前面插入删除会了，后面也很好理解的对吧~
后记
那么这一篇到这里就结束了，主要讲述二叉树的的理论及相关应用·堆排序·TOPK问题。
下一篇将讲述二叉树链式存储，前中后序遍历，以及怎么根据前中，后中的遍历结果推出二叉树的结构，和层次遍历的实现，感谢支持，如果有什么问题，可在评论区提出！
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