目录

  • 对角化矩阵 Diagonalizing a matrix S−1AS = Λ
  • 矩阵的幂 Powers of A
  • 重特征值 Repeated eigenvalues
  • 差分方程 Difference equations u k+1 u_{k+1} uk+1​=A u ku_k uk​
    • 斐波那契数列 Fibonacci sequence

本讲中将学习如何对角化含有 n 个线性无关特征向量的矩阵，以及对角化是怎样简化计算的。

对角化矩阵 Diagonalizing a matrix S−1AS = Λ

如果矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量，将它们作为列向量可以组成一个可逆方阵 S，并且有：

这里的矩阵 Λ 为对角阵，它的非零元素就是矩阵 A 的特征值。因为矩阵 S 中的列向量线性无关，因此逆矩阵 S-1存在。在等式两侧左乘逆矩阵，得到 S-1AS=Λ。同样地，A=SΛS-1。

对于消元法而言，矩阵有 LU 分解，对于施密特正交法，矩阵有 QR 分解，而上面的推导是一种新的矩阵分解。

矩阵的幂 Powers of A

特征值给矩阵的幂计算提供了方法。
如果 Ax=λx，则有 A2 A^2A2x=λAx= λ2 λ^2λ2x。说明矩阵 A2 A^2A2 有着和 A 一样的特征向量，而特征值为 λ2 λ^2λ2。我们将写成对角化形式则有： A2 A^2A2=SΛ S − 1 S^{-1}S−1SΛ S − 1 S^{-1}S−1=S Λ2 Λ^2Λ2 S − 1 S^{-1}S−1。做相同的处理还可以得到： Ak A^kAk =S Λk Λ^kΛk S − 1 S^{-1}S−1。这说明 Ak A^kAk 有着和 A 一样的特征向量，而特征值为 λk λ^kλk。

如果矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量，如果所有的特征值均满足 ∣ λi∣\begin{vmatrix} λ_i \end{vmatrix} ​λi​​ ​ <1 。则 k→∞时， Ak A^kAk→0。

重特征值 Repeated eigenvalues

如果矩阵 A 没有重特征值，则其一定具有 n 个线性无关的特征向量。
如果矩阵 A 有重特征值，它有可能具有 n 个线性无关的特征向量，也可能没有。比如单位阵的特征值为重特征值 1，但是其具有 n 个线性无关的特征向量。

差分方程 Difference equations u k + 1 u_{k+1}uk+1​=A uk u_kuk​

从给定的一个向量 u0 出发，我们可以通过对前一项乘以矩阵 A 得到下一项的方式，得到一个向量序列： u k + 1 u_{k+1}uk+1​=A uk u_kuk​.

这里的 u k + 1 u_{k+1}uk+1​=A uk u_kuk​可以是一个一阶差分方程，而 uk u_kuk​= Aku0 A^ku_0Aku0​就是方程的解。但这种简洁形式并没有给出足够的信息，我们需要通过特征向量和矩阵的幂运算给出真实解的结构。

斐波那契数列 Fibonacci sequence

斐波那契数列为 0,1,1,2,3,5,8,13……其通项公式为 Fk+2=Fk+1+Fk。求 F100 ？ 如果我们以矩阵的方式来理解数列，则矩阵的特征值可以告诉我们数列中数值的增长速度。
为了凑成矩阵形式，需要用一个比较巧妙的技巧。令 uk u_kuk​ = [ a b ]\begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix}[ab​] ，则有：
F k+2 = F k+1 + F kF k+1 = F k+1 \begin{align*} &F_{k+2} = F_{k+1} + F_{k}\\ &F_{k+1} = F_{k+1} \end{align*} ​Fk+2​=Fk+1​+Fk​Fk+1​=Fk+1​​
写成矩阵形式为
u k+1 = [ 1 1 1 0 ] u ku_{k+1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} u_k uk+1​=[11​10​]uk​
观察矩阵 A= [ 1 1 1 0 ]\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1& 0 \end{bmatrix}[11​10​]的特征值和特征向量，因为其为对称矩阵，特征值为实数，且特征向量正交。