复习——–范数

复习–范数

• 范数
• • 范数和赋范矢量空间的认识
  • 范数赋范矢量空间的数学定义
  • 向量范数的数学定义
  • 矩阵范数的数学定义
  • 函数范数的数学定义
  • 例子：

范数

范数和赋范矢量空间的认识

范数是一个具有“长度”概念的函数。在线性代数、范函分析及相关的数学领域里，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。定义范数的矢量空间就是赋范矢量空间。

范数赋范矢量空间的数学定义

$$f\in S若存在唯一实数\Vert \cdot \Vert$$满足

1. 正定性：$$f\ge 0,当且仅当f=0，\Vert f\Vert =0$$
2. 其次性：$$\forall a\in R，\Vert af\Vert =|a|\cdot \Vert f\Vert$$
3. 三角不等式：$$\Vert f+g\Vert \le \Vert f\Vert +\Vert g\Vert ，f,g\in S$$
   $$则称\Vert \cdot \Vert ，是线性空间S上的范数，线性空间S则称为赋范线性空间。$$

向量范数的数学定义

R n空间的向量范数∥⋅∥指的是一个 R n→R的函数，对任意的x,y∈ R n满足下列条件R^n 空间的向量范数 \lVert \cdot \rVert 指的是一个 R^n \to R 的函数，对任意的 x, y \in R^n 满足下列条件 Rn空间的向量范数∥⋅∥指的是一个Rn→R的函数，对任意的x,y∈Rn满足下列条件

1. $$\Vert x\Vert \ge 0,\Vert x\Vert =0当且仅当x=0（正定性）$$
2. $$\Vert ax\Vert =|a|\cdot \Vert x\Vert ，\forall a\in R（其次性）$$
3. $$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert （三角不等式）$$

集中常见的向量范数

1. 向量的 ∞ − 范数： ∥ x ∥∞=max ⁡ 1 ≤ i ≤ n∣ x i∣ 向量的\infty-范数：\lVert x \rVert_\infty = \operatorname*{max}_{1 \leq i \leq n}{\lvert x_i \rvert}向量的∞−范数：∥x∥∞​=1≤i≤nmax​∣xi​∣
2. 向量的 1 − 范数： ∥ x ∥i= ∑ i = 1n∣ x i∣ 向量的1- 范数：\lVert x \rVert_i = \sum_{i=1}^{n}{\lvert x_i \rvert}向量的1−范数：∥x∥i​=i=1∑n​∣xi​∣
3. 向量的 2 − 范数： ∥ x ∥2= ( ∑ i = 1nx2) 1 2 向量的2- 范数：\lVert x \rVert_2 = (\sum_{i=1}^{n}{x^2})^{\frac{1}{2}}向量的2−范数：∥x∥2​=(i=1∑n​x2)21​
4. 向量的 p − 范数： ∥ x ∥p= ( ∑ i = 1n∣x ∣ p) 1 p 向量的p- 范数：\lVert x \rVert_p = (\sum_{i=1}^{n}{\lvert x \rvert^p})^{\frac{1}{p}}向量的p−范数：∥x∥p​=(i=1∑n​∣x∣p)p1​

矩阵范数的数学定义

如果矩阵A∈ R m×n 的某个非负的实值函数∥⋅∥满足：如果矩阵 A \in R^{m \times n} 的某个非负的实值函数\lVert \cdot \rVert 满足： 如果矩阵A∈Rm×n的某个非负的实值函数∥⋅∥满足：

1. 正定性： $$\Vert A\Vert \ge 0,\Vert A\Vert =0但且仅当A=O$$
2. 其次性：$$\Vert aA\Vert =|a|\cdot \Vert A\Vert ，对任意的a\in R$$
3. 三角不等式：$$\Vert A+B\Vert \le \Vert A\Vert +\Vert B\Vert$$
4. 相容性：$$\Vert AB\Vert \le \Vert A\Vert \Vert B\Vert$$
   $$则称\Vert \cdot \Vert 是一个矩阵范数$$

函数范数的数学定义

$$在连续函数空间C[a,b]中范数的定义为：$$
$$在函数空间C[a,b]中，f\in C[a,b]，若存在唯一实数\Vert \cdot \Vert 满足：$$

1. 正定性：$$\Vert f\Vert \ge 0，当且仅当f=0时，\Vert f\Vert =0$$
2. 其次性：$$\forall a\in R，\Vert af\Vert =|a|\cdot \Vert f\Vert$$
3. 三角不等式：$$\Vert f+g\Vert \le \Vert f\Vert \cdot \Vert g\Vert ，f,g\in C[a,b]$$

常见的函数范数：

1. 函数的 ∞ − 范数： ∥ f ∥∞=max ⁡ a < x < b∣f(x)∣ 函数的\infty – 范数：\lVert f \rVert_\infty = \operatorname*{max}_{a < x <b}{\lvert f(x) \rvert}函数的∞−范数：∥f∥∞​=a<x<bmax​∣f(x)∣
2. 函数的 1 − 范数： ∥ f ∥1= ∫ab∣f(x)∣   dx 函数的1 – 范数： \lVert f \rVert_1 = \int_{a}^{b}{\lvert f(x) \rvert \,{\rm d}x}函数的1−范数：∥f∥1​=∫ab​∣f(x)∣dx
3. 函数的 2 − 范数： ∥ f ∥2= ∣ ∫ab f 2(x)   dx∣ 1 2 函数的2 – 范数：\lVert f \rVert_2 = \lvert \int_{a}^{b}{ f^2(x) \,{\rm d}x} \rvert^{\frac{1}{2}}函数的2−范数：∥f∥2​=∣∫ab​f2(x)dx∣21​

例子：