RSA加密算法Python实现

  • 1.RSA算法简介
  • 2.RSA算法涉及的数学知识
      • 2.1互素
      • 2.2 欧拉定理
      • 2.3求模逆元
      • 2.4 取模运算
      • 2.5 最大公因数
      • 2.6 最小公倍数
      • 2.7 欧几里得算法
      • 2.8 扩展欧几里得算法
  • 3.RSA算法数学实现
      • 3.1理论
      • 3.2实践
  • 4.RSA算法代码实现
      • 4.1RSA算法代码实现1
      • 4.1RSA算法代码实现2

1.RSA算法简介

1977年，三位数学家 Rivest、Shamir 和 Adleman 设计了一种算法，可以实现非对称加密。这种算法用他们三个人的名字命名，叫做RSA算法.RSA算法的特征如下:

  1. RSA算法是非对称加密算法，及算法的加密密钥与解密密钥不同
  2. RAS是基于大数分解问题实现的算法，
  3. RSA算法的密钥长度一般为1024位到2048位之间，密钥很长，加密较慢
  4. RSA算法一般用在数字签名比较多
  5. RSA还是分组密码算法，需要对明文进行一组一组加密

2.RSA算法涉及的数学知识

2.1互素

两个正整数，除了1之外没有其他公因子，我们称这两个数是互素的，（就是两个数除一外没有公约数，就是互素），如下是判断两个数是否互素的代码实现：

def prime(a, b):if a > b:mid = aa = bb = midmid = b % awhile mid:b = aa = midmid = b % aif a == 1:print('俩数互素')else:print('俩数不互素')if __name__ == '__main__':prime(8, 3)

2.2 欧拉定理

如果两个正整数a和n互素，则n的欧拉函数φ(n)可以让下面的式子成立

其中a上面的表达式为欧拉函数，欧拉函数的计算方法为，比如计算n的欧拉函数，就是找从1到n-1和n互素元素的个数，其中质数的欧拉函数值为n-1，判断一个数的欧拉函数值方法如下：

def prime(a, b):if a > b:mid = aa = bb = midmid = b % awhile mid:b = aa = midmid = b % aif a == 1:return Trueelse:return Falsedef oula(n):total = 0for i in range(1, n):if prime(i, n):total = total + 1return totalif __name__ == '__main__':print(oula(8))

2.3求模逆元

求模逆元就是贝祖等式，就是d*e = 1 (mod n),e,和 n知道了，求d

def invmod(e, m):"""求模逆元：知道x * e + y * m = g:param e::param m::return:"""g, d, y = exgcd(e, m)assert g == 1if d < 0:d += mreturn d

2.4 取模运算

取模运算就是取余数运算

model = a % b

2.5 最大公因数

求最大公因数一般使用欧几里得算法，欧几里得算法又称辗转相除法，是指用于计算两个非负整数a，b的最大公约数。应用领域有数学和计算机两个方面。计算公式gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。

  • 方法1
def gcd(a, b):"""求最大公约数:param a::param b::return:"""if a > b:mid = aa = bb = midy = b % awhile y:b = aa = yy = b % areturn b
  • 方法二
def gcd(a, b):"""求最大公约数:param a::param b::return:"""while b:a, b = b, a % breturn a

2.6 最小公倍数

最小公倍数是再最大公因数的基础上使用的，两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。整数a，b的最小公倍数记为[a，b]，同样的，a，b，c的最小公倍数记为[a，b，c]，多个整数的最小公倍数也有同样的记号。 与最小公倍数相对应的概念是最大公约数，a，b的最大公约数记为（a，b）。关于最小公倍数与最大公约数，我们有这样的定理：(a,b)x[a,b]=ab(a,b均为整数)。

  • 方法1
def lcm(a, b):"""求最大公倍数:param a::param b::return:"""divisor = gcd(a, b)multiple = (a * b) / divisorreturn multiple
  • 方法二
def lcm(a, b):"""求最大公倍数:param a::param b::return:"""return a // gcd(a, b) * b

2.7 欧几里得算法

欧几里得算法又称辗转相除法，是指用于计算两个非负整数a，b的最大公约数。应用领域有数学和计算机两个方面。计算公式gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。,上面说了

2.8 扩展欧几里得算法

求的a和b的最大公因数，求，x，y使得x * a + y * b= g(a,b)

def exgcd(a, b):# a：a和b的最大公因数old_s:old_t:old_s * a + old_t * b = a"""old_s, s = 1, 0old_t, t = 0, 1while b:q = a // bs, old_s = old_s - q * s, st, old_t = old_t - q * t, ta, b = b, a % breturn a, old_s, old_t

3.RSA算法数学实现

3.1理论

  1. 随意选择两个大的质数p和q，p不等于q，计算N = pq.
  2. 根据欧拉函数，求得φ(N)=φ§φ(q)=(p-1)(q-1)。这是一个公式如果N = pq，那么φ(N)=φ(p)φ(q)，又因为p和q都是素数，φ(p) = p-1，所以φ(N)=φ(p)φ(q)=(p-1)(q-1)
  3. 选择一个数e，使e大于1，并且e小于φ(N)，找一个数d，使得ed≡1(mod φ(N))，（e,n）为公钥，（d,e）为私钥
  4. 加密：m^e ≡ c (mod n)，其中c为密文，解密：c^d ≡ m (mod n)

加解密图解如下：

3.2实践

首先找两个数，及p和q，p和q一般非常大，这里方便计算，取比较小的值，假设：p ＝ 17，q ＝ 19(p,q互素)

  1. n = p ＊ q ＝ 323
  2. φ(n) = (p-1) * (q-1) = 144
  3. 随机取一数e，使1 < e < φ(n)并且gcd(e,φ(n)) =1,e=5合适（还有很多数都合适，这里只取一个数）
  4. 取一数d，使得ed≡1(mod φ(n)),取d为29，所以公钥为(e,n)，私钥为（d,n）
  5. 加密：假设明文 ＝ 123，则 密文＝（123的5次方）mod 323=225
  6. 解密：明文＝（225的29次方）mod 323 =123，所以解密后的明文为123。

4.RSA算法代码实现

4.1RSA算法代码实现1

# 求两个数字的最大公约数（欧几里得算法）def gcd(a, b): if b == 0: return a else: return gcd(b, a % b)# 获取密钥def get_key(p, q): n = p * q fyn = (p - 1) * (q - 1) e = 2 while gcd(e, fyn) != 1: e = e + 1 d = 2 while (e*d) % fyn != 1: d = d + 1 return (n, e), (n, d)# 加密def encryption(x, pubkey): n = pubkey[0] e = pubkey[1] y = x ** e % n # 加密 return y# 解密def decryption(y, prikey): n = prikey[0] d = prikey[1] x = y ** d % n# 解密 return xif __name__ == '__main__': p = int(input("请给定第一个质数p的值：")) q = int(input("请给定第二个质数q的值：")) x = int(input("请给定要加密的消息x的值：")) # 生成公钥私钥 pubkey, prikey = get_key(p, q) print("加密前的消息是：", x) y = encryption(x, pubkey) print("加密后的消息是：", y) after_x = decryption(y, prikey) print("解密后的消息是：", after_x)

以上算法只能够实现整数加密，这个算法就是演示了RSA算法的原理

4.1RSA算法代码实现2

from random import randrangeimport mathdef prime(n): """ 判断一个数是不是素数 :param n: :return: BOOL """ mid = math.sqrt(n) mid = math.floor(mid) for item in range(2, mid): if n % item == 0: return False return Truedef generate_n_bit_odd(n: int): """ 生成大数,不确定是不是素数 :param n: :return:大数 """ assert n > 1 return randrange(2 ** (n - 1) + 1, 2 ** n, 2)first_50_primes = [3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73,79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127,131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179,181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233]def get_lowlevel_prime(n): """ 选择满足不能够整除前50个素数的大数，没找到就一直循环 :param n: :return: """ while True: c = generate_n_bit_odd(n) for divisor in first_50_primes: if c % divisor == 0 and divisor ** 2 <= c: break return cdef miller_rabin_primality_check(n, k=20): """ 米勒-拉宾素性检验 由于假设n是一个素数，n-1=a^s*d,s和d是常量，改变a的值，检测20次 :param n: :param k: :return: """ assert n > 3 if n % 2 == 0: return False # 找出n-1 = 2^s*d s, d = 0, n - 1 while d % 2 == 0: d >>= 1 s += 1 for _ in range(k): a = randrange(2, n - 1) x = pow(a, d, n) if x == 1 or x == n - 1: continue for _ in range(s): x = pow(x, 2, n) if x == n - 1: break else: return False return Truedef get_random_prime(num_bits): """ 获取大素数 :param num_bits: :return: """ while True: pp = get_lowlevel_prime(num_bits) if miller_rabin_primality_check(pp): return ppdef gcd(a, b): """ 求最大公约数 :param a: :param b: :return: """ while b: a, b = b, a % b return adef lcm(a, b): """ 求最大公倍数 :param a: :param b: :return: """ # divisor = gcd(a, b) # multiple = (a * b) / divisor # return multiple return a // gcd(a, b) * bdef exgcd(a, b): """ 扩展欧几里得算法 :param a: :param b: :return: a：a和b的最大公因数 old_s: old_t: old_s * a + old_t * b = a """ old_s, s = 1, 0 old_t, t = 0, 1 while b: q = a // b s, old_s = old_s - q * s, s t, old_t = old_t - q * t, t a, b = b, a % b return a, old_s, old_tdef invmod(e, m): """ 求模逆元：知道x * e + y * m = g :param e: :param m: :return: """ g, d, y = exgcd(e, m) assert g == 1 if d < 0: d += m return ddef uint_from_bytes(xbytes: bytes) -> int: """ 比特转换位整数 :param xbytes: :return: """ return int.from_bytes(xbytes, 'big')def uint_to_bytes(x: int) -> bytes: """ 整数转换成比特的时候，一个整数对应32位比特数 :param x: :return: """ if x == 0: return bytes(1) return x.to_bytes((x.bit_length() + 7) // 8, 'big')#做到尽量不补零RSA_DEFAULT_EXPONENT = 65537RSA_DEFAULT_MODULUS_LEN = 2048class RSA: """ RSA算法(self.n, self.e)加密密钥 (self.n, self.d)解密密钥 """ def __init__(self, key_length=RSA_DEFAULT_MODULUS_LEN,exponent=RSA_DEFAULT_EXPONENT): self.e = exponent t = 0 p = q = 2 # 找出一个e使1<e<(p-1)*(q-1) while gcd(self.e, t) != 1: p = get_random_prime(key_length // 2) q = get_random_prime(key_length // 2) t = lcm(p - 1, q - 1) self.n = p * q self.d = invmod(self.e, t) # 加密和解密使比特和整数之间的加解密 def encrypt(self, binary_data: bytes): int_data = uint_from_bytes(binary_data) return pow(int_data, self.e, self.n) def decrypt(self, encrypted_int_data: int): int_data = pow(encrypted_int_data, self.d, self.n) return uint_to_bytes(int_data)if __name__ == '__main__': alice = RSA(512, 3) msg = b'Textbook RSA in Python' ctxt = alice.encrypt(msg) m = alice.decrypt(ctxt) print(m) print(ctxt)

如下是结果运行图：