本文写了具有普遍适用性的卡尔曼滤波(Kalman filter)算法程序包，输入参数即可进行运算。

算法可参考资料：

算法推导：

​​​​​​卡尔曼滤波的理解、推导和应用

卡尔曼滤波

参数理解：

卡尔曼滤波的理解以及参数调整

手把手教你学-卡尔曼滤波（附代码）

其中，为仪器观测到的状态值

输入参数：

状态矩阵x

状态转移矩阵A

输入控制矩阵B

外界对系统作用矩阵u

初始误差协方差矩阵P

预测噪声协方差矩阵Q

观测矩阵H

观测噪声协方差矩阵R

（可通过调整三个协方差矩阵大小来调整降噪效果）

可复制算法包：

def Kalmanfilter(x):# 需预先定义以下变量：# 状态转移矩阵A# 输入控制矩阵B# 外界对系统作用矩阵u# 误差协方差矩阵P# 预测噪声协方差矩阵Q# 观测矩阵H# 观测噪声协方差矩阵R# import numpy as npxr = np.shape(x)[0] # 调用状态矩阵行数xc = np.shape(x)[1] # 调用状态矩阵列数X_mat = x.copy()# 初始化记录系统优化状态值的矩阵(浅拷贝）X = x.T[0].T# 抽取预测优化值的初始状态值Z = H * xglobal P#初始设置为全局变量Pfor i in range(1,xc):# 预测X_predict = A * X # 估算状态变量if B!=0:X_predict = A * X + B * u.T[i-1].TP_predict = A * P * A.T + Q # 估算状态误差协方差# 校正K = P_predict * H.T / (H * P_predict * H.T + R)# 更新卡尔曼增益X = X_predict + K * (Z.T[i].T - H * X_predict)# 更新预测优化值P = (np.eye(xr) - K * H) * P_predict# 更新状态误差协方差# 记录系统的预测优化值for j in range(xr):X_mat[j, i] = X[j, 0]Z_mat = H * X_matreturn Z_matkf = Kalmanfilter(x)

案例：对均加速直线运动的位置进行降噪处理，加速度为1，初始时间为0，初始位置为0，观测时间为7秒，每0.1秒观测一次，设误差为白噪声N(0,1)

方法1

设置时间跳跃系统：(s为位置，v为速度)

状态矩阵x：

状态转移矩阵A：

控制矩阵B:

外界对系统作用矩阵u：

初始误差协方差矩阵P:

预测噪声协方差矩阵Q：

观测矩阵H：

观测噪声协方差矩阵R:

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdelta_t = 0.1 # 每秒钟采一次样end_t = 7 # 时间长度time_t = end_t * 10 # 采样次数t = np.arange(0, end_t, delta_t)# 设置时间数组v_var = 1 # 测量噪声的方差v_noise = np.round(np.random.normal(0, v_var, time_t), 2)# 定义测量噪声a=1 #加速度vn=np.add((1 / 2*a * t ** 2) , v_noise) # 定义仪器测量的位置v=a*t#定义速度数组x = np.mat([vn,v])# 定义状态矩阵xc = np.shape(x)[1] #调用状态矩阵列数u1=np.linspace(a,a,xc)u = np.mat([u1,u1]) # 定义外界对系统作用矩阵A = np.mat([[1, delta_t], [0, 1]])# 定义状态转移矩阵B = [[1 / 2 * (delta_t ** 2),0],[0,delta_t]]# 定义输入控制矩阵P = np.mat([[1, 0], [0, 1]])# 定义初始状态协方差矩阵Q = np.mat([[0.001, 0], [0, 0.001]])# 定义状态转移(预测噪声)协方差矩阵H = np.mat([1, 0])# 定义观测矩阵R = np.mat([1]) # 定义观测噪声协方差矩阵def Kalmanfilter(x):# 需预先定义以下变量：# 状态转移矩阵A# 输入控制矩阵B# 外界对系统作用矩阵u# 误差协方差矩阵P# 预测噪声协方差矩阵Q# 观测矩阵H# 观测噪声协方差矩阵R# import numpy as npxr = np.shape(x)[0] # 调用状态矩阵行数xc = np.shape(x)[1] # 调用状态矩阵列数X_mat = x.copy()# 初始化记录系统优化状态值的矩阵(浅拷贝）X = x.T[0].T# 抽取预测优化值的初始状态值Z = H * xglobal P#初始设置为全局变量Pfor i in range(1,xc):# 预测X_predict = A * X # 估算状态变量if B!=0:X_predict = A * X + B * u.T[i-1].TP_predict = A * P * A.T + Q # 估算状态误差协方差# 校正K = P_predict * H.T / (H * P_predict * H.T + R)# 更新卡尔曼增益X = X_predict + K * (Z.T[i].T - H * X_predict)# 更新预测优化值P = (np.eye(xr) - K * H) * P_predict# 更新状态误差协方差# 记录系统的预测优化值for j in range(xr):X_mat[j, i] = X[j, 0]Z_mat = H * X_matreturn Z_matkf=Kalmanfilter(x)plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']# 设置正常显示中文plt.plot(t,np.array(kf)[0], "g", label='预测优化值')plt.plot(t,np.array(x[0])[0], "r--", label='测量值')plt.xlabel("时间") # 设置X轴的名字plt.ylabel("位移") # 设置Y轴的名字plt.title("卡尔曼滤波示意图") # 设置标题plt.legend() # 设置图例plt.show() # 显示图表

方法2

设置时间跳跃系统：(s为位置，v为速度)

状态矩阵x：

状态转移矩阵A：

控制矩阵B:

外界对系统作用矩阵u：

初始误差协方差矩阵P:

预测噪声协方差矩阵Q：

观测矩阵H：

观测噪声协方差矩阵R:

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdelta_t = 0.1 # 每秒钟采一次样end_t = 7 # 时间长度time_t = end_t * 10 # 采样次数t = np.arange(0, end_t, delta_t)# 设置时间数组v_var = 1 # 测量噪声的方差v_noise = np.round(np.random.normal(0, v_var, time_t), 2)# 定义测量噪声a=1 #加速度vn=np.add((1 / 2*a * t ** 2) , v_noise) # 定义仪器测量的位置v=a*t#定义速度数组a1=np.linspace(a,a,time_t)x = np.mat([vn,v,a1]) # 定义状态矩阵u = 0 # 定义外界对系统作用矩阵A = np.mat([[1, delta_t, 1/2*delta_t], [0, 1, delta_t], [0, 0, 1]])# 定义状态转移矩阵B = 0 # 定义输入控制矩阵P = np.mat([[1, 0,0], [0, 1,0],[0,0,1]])# 定义初始状态协方差矩阵Q = np.mat([[0.001, 0,0], [0, 0.001,0],[0,0,0.001]])# 定义状态转移(预测噪声)协方差矩阵H = np.mat([1, 0, 0]) # 定义观测矩阵R = np.mat([1]) # 定义观测噪声协方差矩阵def Kalmanfilter(x):# 需预先定义以下变量：# 状态转移矩阵A# 输入控制矩阵B# 外界对系统作用矩阵u# 误差协方差矩阵P# 预测噪声协方差矩阵Q# 观测矩阵H# 观测噪声协方差矩阵R# import numpy as npxr = np.shape(x)[0] # 调用状态矩阵行数xc = np.shape(x)[1] # 调用状态矩阵列数X_mat = x.copy()# 初始化记录系统优化状态值的矩阵(浅拷贝）X = x.T[0].T# 抽取预测优化值的初始状态值Z = H * xglobal P#初始设置为全局变量Pfor i in range(1,xc):# 预测X_predict = A * X # 估算状态变量if B!=0:X_predict = A * X + B * u.T[i-1].TP_predict = A * P * A.T + Q # 估算状态误差协方差# 校正K = P_predict * H.T / (H * P_predict * H.T + R)# 更新卡尔曼增益X = X_predict + K * (Z.T[i].T - H * X_predict)# 更新预测优化值P = (np.eye(xr) - K * H) * P_predict# 更新状态误差协方差# 记录系统的预测优化值for j in range(xr):X_mat[j, i] = X[j, 0]Z_mat = H * X_matreturn Z_matkf=Kalmanfilter(x)plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']# 设置正常显示中文plt.plot(t,np.array(kf)[0], "g", label='预测优化值')plt.plot(t,np.array(x[0])[0], "r--", label='测量值')plt.xlabel("时间")# 设置X轴的名字plt.ylabel("位移")# 设置Y轴的名字plt.title("卡尔曼滤波示意图")# 设置标题plt.legend()# 设置图例plt.show()# 显示图表

在合适的协方差矩阵大小设置之下，卡尔曼滤波算法可得到需要的降噪效果，美！！