「自控原理」4.2 根轨迹法分析与校正

本节介绍利用根轨迹法分析系统性能发热方法
本节介绍根轨迹校正

文章目录

利用根轨迹分析系统性能
- 主导极点法
- 增加零极点对系统的影响
根轨迹校正
- 串连超前校正
- - 原理与步骤
  - 超前校正例题
- 串连滞后校正
- - - 附加开环偶极子的作用
  - 原理与步骤
  - 滞后校正例题

利用根轨迹分析系统性能

利用根轨迹分析系统性能，主要还是看系统性能与零极点之间的关系。
有一下几个基本步骤：

绘制系统根轨迹
根据题意确定闭环极点
确定闭环零点
保留主导极点，利用零点极点法估算系统性能

主导极点法

对于稳定的高阶系统，闭环极点离虚轴越远，对应的相应分量衰减越快。所以即使系统存在多个零极点，也可以简化掉这些衰减太快的。
如果距离虚轴最近的极点周围没有零点，而其他极点有远离虚轴，就称这个闭环极点为主导极点。可以用这个主导极点近似一个二阶系统
如果一个极点旁边很近就有零点，称这种情况为“偶极子”，这时零点和极点对系统带来的影响可以认为相互低效，因此这种偶极子也需要忽略。

来看这个例题（主要是第三问）：

画根轨迹啥的，不再赘述了

第一问求稳定状态下增益的取值范围

回顾一下，稳定充要条件所有极点都在虚轴左侧
欠阻尼表明极点不在实轴上也不在虚轴上

第二问让求某一个极点的具体参数。比较通用的方法就是当这个系统是二阶系统然后把极点设出来，再结合根轨迹的性质求点的座标。

第三问要求估算性能指标。首先找出极点所在，根据到虚轴的距离，把最近的那一个作为主导极点。然后就可以按照二阶系统来求解。这里是估算，就不需要考虑零点和非主导极点了。

增加零极点对系统的影响

增加开环零点：有利于系统稳定和动态品质
增加开环极点：不利于系统稳定和动态品质

通过这个例子感受一下：

增加一个开环零点：

增加一个开环极点：

再来看一个稍复杂一些的例子：

对比P和PD，增加开环零点之后根轨迹左移，动态性能提升。
对比P和PI，系统型别提高，跟踪输入的能力提高。
对比PD和PI，由于增加开环极点，动态性能变差。
对比PI和PID，再增加开环零点，同样根轨迹左移，动态性能提升。

根轨迹校正

利用根轨迹法校正系统，使原本不满足要求的系统现在满足要求。
利用根轨迹法设计串连校正装置的基本思路：根据要求，设计主导极点，通过校正装置，使根轨迹通过主导极点，并保证设计的主导极点可以看成主导极点。

串连超前校正

「建议先学习频域校正，再来看这个内容，理解会更深」

原理与步骤

原理

如果期望的主导极点位于未校正系统根轨迹的左边，可以使用超前校正。超前校正装置零点离虚轴近，起主导作用，使系统根轨迹左移。极点离虚轴远，避免影响性能。

在图中定义 $φ\varphi$ 和 $γ\gamma$ ，以及表示极点的时候定义的 $β\beta$ ，就可以用三角函数解出零点、极点的位置了。

给定一个 $φ\varphi$ ，零极点位置并不是完全确定的。这里介绍的是使超前校正装置零点极点距离最远（ $α\alpha$ 最大）的一种方法：

这样确定了 $γ\gamma$ ，就可以唯一确定出零极点的位置了。