小波变换
一维小波变换
因为存在 L2( R ) = V j 0⊕ W j 0⊕ W j0+ 1⊕ ⋯L^{2}(\boldsymbol{R})=V_{j_{0}}\oplus W_{j_{0}}\oplus W_{j_{0}+1}\oplus\cdotsL2(R)=Vj0⊕Wj0⊕Wj0+1⊕⋯，所以存在 f ( x )f(x)f(x)可以在子空间 V j 0 V_{j_0}Vj0中用尺度函数展开和在子空间 W j 0W j 0+1 , ⋯W_{j_0}W_{j_{0+1}},\cdotsWj0Wj0+1,⋯中用某些数量的小波函数展开来表示。即
f(x)= ∑ k c j0 (k) φj 0,k (x)+ ∑ j= j 0∞ ∑ k d j(k) ψ j,k (x)f(x)=\sum_{k}c_{j_0}(k)\varphi_{j_0,k}(x)+\sum_{j=j_{0}}^{\infty}\sum_{k}d_{j}(k)\psi_{j,k}(x) f(x)=k∑cj0(k)φj0,k(x)+j=j0∑∞k∑dj(k)ψj,k(x)
其中 j0 j_0j0 是任意的开始尺度， c j 0( k )c_{j_0}(k)cj0(k)通常称为近似和或尺度系数， dj( k )d_j(k)dj(k)称为细节和或小波系数。
由于双正交的性质可得
c j0 (k)=⟨f(x), φj 0,k (x)⟩=∫f(x) φj 0,k (x)dxd j(k)=⟨f(x), ψ j,k (x)⟩=∫f(x) ψ j,k (x)dxc_{j_0}(k)=\Big\langle f(x),\varphi_{j_0,k}(x)\Big\rangle=\int f(x)\varphi_{j_0,k}(x)\mathrm{d}x\\ d_{j}(k)=\Big\langle f(x),\psi_{j,k}(x)\Big\rangle=\int f(x)\psi_{j,k}(x)\mathrm{d}x cj0(k)=⟨f(x),φj0,k(x)⟩=∫f(x)φj0,k(x)dxdj(k)=⟨f(x),ψj,k(x)⟩=∫f(x)ψj,k(x)dx
转换成离散形式可得
W φ( j 0,k) = 1 M∑ nf(n) φj 0,k (n) W ψ(j,k) = 1 M∑ nf(n) ψ j,k (n), j≥ j 0\begin{aligned} W_{\varphi}(j_{0},k)&=\frac{1}{\sqrt{M}}\sum_{n}f(n)\varphi_{j_{0},k}(n)\\ W_{\psi}(j,k)&=\frac{1}{\sqrt{M}}\sum_{n}f(n)\psi_{j,k}(n),\quad j\geq j_{0} \end{aligned} Wφ(j0,k)Wψ(j,k)=M1n∑f(n)φj0,k(n)=M1n∑f(n)ψj,k(n),j≥j0
其中 φ j0, k( n )\varphi_{j_0,k}(n)φj0,k(n) 和 ψ j , k( n )\psi_{j,k}(n)ψj,k(n)是基函数 φ j0, k( x )\varphi_{j_0,k}(x)φj0,k(x) 和 ψ j , k( x )\psi_{j,k}(x)ψj,k(x) 的取样形式。
由此可得
f(n)= 1 M∑ k W φ( j 0,k) φj 0,k (n)+ 1 M∑ j= j 0∞ ∑ k W ψ(j,k) ψ j,k (n)f(n)=\frac{1}{\sqrt{M}}\sum_{k}W_{\varphi}(j_{0},k)\varphi_{j_{0},k}(n)+\frac{1}{\sqrt{M}}\sum_{j=j_{0}}^{\infty}\sum_{k}W_{\psi}(j,k)\psi_{j,k}(n) f(n)=M1k∑Wφ(j0,k)φj0,k(n)+M1j=j0∑∞k∑Wψ(j,k)ψj,k(n)
通常 j0= 0j_0=0j0=0， MMM为2 的幂(即 M = 2j)M=2^{j})M=2j)
而对于哈尔小波，离散的尺度和小波函数与 M × MM\times MM×M哈尔矩阵的行相对应，其中最小尺度为0，最大尺度为 j − 1j-1j−1
快速小波变换
对于图像的多分辨率变换
φ(x)= ∑ n h φ(n) 2φ(2x−n)\varphi(x)=\sum_{n}h_{\varphi}(n)\sqrt{2}\varphi(2x-n) φ(x)=n∑hφ(n)2φ(2x−n)
并进行尺度化与平移操作，可得
φ( 2 jx−k) = ∑ n h φ(n) 2φ ( 2 ( 2jx − k ) − n ) = ∑ m h φ(n) 2φ( 2 j+1 x−2k−n)\begin{aligned} \varphi(2^{j}x-k) &=\sum_{n}h_{\varphi}(n)\sqrt{2}\varphi\left(2(2^{j}x-k)-n\right)\\ &=\sum_{m}h_{\varphi}(n)\sqrt{2}\varphi(2^{j+1}x-2k-n) \end{aligned} φ(2jx−k)=n∑hφ(n)2φ(2(2jx−k)−n)=m∑hφ(n)2φ(2j+1x−2k−n)
令 m = 2 k + nm=2k+nm=2k+n，可得
φ( 2 jx−k) = ∑ n h φ(n) 2φ ( 2 ( 2jx − k ) − n ) = ∑ m h φ(n) 2φ( 2 j+1 x−2k−n) = ∑ m h φ(m−2k) 2φ( 2 j+1 x−m)\begin{aligned} \begin{aligned} \varphi(2^{j}x-k) & =\sum_{n}h_{\varphi}(n)\sqrt{2}\varphi\left(2(2^{j}x-k)-n\right)\\ &=\sum_{m}h_{\varphi}(n)\sqrt{2}\varphi(2^{j+1}x-2k-n) \\ &=\sum_{m}h_{\varphi}(m-2k)\sqrt{2}\varphi(2^{j+1}x-m) \end{aligned} \end{aligned} φ(2jx−k)=n∑hφ(n)2φ(2(2jx−k)−n)=m∑hφ(n)2φ(2j+1x−2k−n)=m∑hφ(m−2k)2φ(2j+1x−m)
同理对于小波函数存在
ψ( 2 jx−k)= ∑ m h ψ(m−2k) 2φ( 2 j+1 x−m)\psi(2^{j}x-k)=\sum_{m}h_{\psi}(m-2k)\sqrt{2}\varphi(2^{j+1}x-m) ψ(2jx−k)=m∑hψ(m−2k)2φ(2j+1x−m)
其中将 ψ j , k( x ) = 2 j / 2ψ ( 2jx − k )\psi_{j,k}(x)=2^{j/2}\psi(2^{j}x-k)ψj,k(x)=2j/2ψ(2jx−k)代入 dj( k ) = ⟨ f ( x ) , ψ j , k( x ) ⟩ = ∫ f ( x ) ψ j , k( x ) d xd_{j}(k)=\Big\langle f(x),\psi_{j,k}(x)\Big\rangle=\int f(x)\psi_{j,k}(x)\mathrm{d}xdj(k)=⟨f(x),ψj,k(x)⟩=∫f(x)ψj,k(x)dx可得
d j(k)=∫f(x) 2 j/2 ψ( 2 jx−k)dxd_{j}(k)=\int f(x)2^{j/2}\psi(2^{j}x-k)\mathrm{d}x dj(k)=∫f(x)2j/2ψ(2jx−k)dx
又因为 ψ ( 2jx − k ) = ∑mhψ( m − 2 k ) 2φ ( 2 j + 1x − m )\psi(2^{j}x-k)=\sum_{m}h_{\psi}(m-2k)\sqrt{2}\varphi(2^{j+1}x-m)ψ(2jx−k)=∑mhψ(m−2k)2φ(2j+1x−m)
所以存在
d j(k) =∫f(x) 2 j/2 [ ∑ m h ψ(m−2k) 2φ( 2 j+1 x−m)]dx = ∑ m h ψ(m−2k)[∫f(x) 2 (j+1)/2 φ( 2 j+1 x−m)dx] = ∑ m h ψ(m−2k) c j+1 (m)\begin{aligned} d_{j}(k) &=\int f(x)2^{j/2}\biggl[\sum_{m}h_{\psi}(m-2k)\sqrt{2}\varphi(2^{j+1}x-m)\biggr]\mathrm{d}x\\ &=\sum_{m}h_{\psi}(m-2k)\biggl[\int f(x)2^{(j+1)/2}\varphi(2^{j+1}x-m)\mathrm{d}x\biggr]\\ &=\sum_{m}h_{\psi}(m-2k)c_{j+1}(m) \end{aligned} dj(k)=∫f(x)2j/2[m∑hψ(m−2k)2φ(2j+1x−m)]dx=m∑hψ(m−2k)[∫f(x)2(j+1)/2φ(2j+1x−m)dx]=m∑hψ(m−2k)cj+1(m)
同理可得
c j(k)= ∑ m h φ(m−2k) c j+1 (m)c_{j}(k)=\sum_{m}h_{\varphi}(m-2k)c_{j+1}(m) cj(k)=m∑hφ(m−2k)cj+1(m)
即
W ψ(j,k) = ∑ m h ψ(m−2k) W φ(j+1,m) W φ(j,k) = ∑ m h φ(m−2k) W φ(j+1,m)\begin{aligned}W_{\psi}(j,k)&=\sum_{m}h_{\psi}(m-2k)W_{\varphi}(j+1,m)\\ W_{\varphi}(j,k)&=\sum_{m}h_{\varphi}(m-2k)W_{\varphi}(j+1,m)\end{aligned} Wψ(j,k)Wφ(j,k)=m∑hψ(m−2k)Wφ(j+1,m)=m∑hφ(m−2k)Wφ(j+1,m)
上式揭示了相邻尺度直接的离散小波变换(DWT)系数之间的关系，可以认为是 Wφ( j + 1 , m ) , Wψ( j + 1 , m )W_{\varphi}(j+1,m),W_{\psi}(j+1,m)Wφ(j+1,m),Wψ(j+1,m)分别与 hφ( − n ) , hψ( − n )h_{\varphi}(-n),h_{\psi}(-n)hφ(−n),hψ(−n)进行卷积操作并下采样得到的，于是可以写成
W ψ(j,k)= h ψ(−n)⋆ W ϕ(j+1,n) ∣ n=2k,k⩾0W φ(j,k)= h φ(−n)⋆ W φ(j+1,n) ∣ n=2k,k⩾0 W_{\psi}(j,k)=h_{\psi}(-n)\star W_{\phi}(j+1,n)\Big|_{n=2k,k\geqslant0}\\\\W_{\varphi}(j,k)=h_{\varphi}(-n)\star W_{\varphi}(j+1,n)\Big|_{n=2k,k\geqslant0} Wψ(j,k)=hψ(−n)⋆Wϕ(j+1,n) n=2k,k⩾0Wφ(j,k)=hφ(−n)⋆Wφ(j+1,n) n=2k,k⩾0
即如下图所示的结构
同时可以经过多次迭代分解，如下图是二级分解的结构
二维小波变换
为了将小波变换扩展到适应二维的图像，由此定义，存在尺度函数
φ(x,y)=φ(x)φ(y)\varphi(x,y)=\varphi(x)\varphi(y) φ(x,y)=φ(x)φ(y)
以及三个对方向敏感的小波函数
ψ H(x,y)=ψ(x)φ(y)ψ V(x,y)=φ(x)ψ(y)ψ D(x,y)=ψ(x)ψ(y)\begin{aligned} &\psi^{H}(x,y)=\psi(x)\varphi(y) \\ &\psi^{V}(x,y)=\varphi(x)\psi(y) \\ &\psi^{D}(x,y) =\psi(x)\psi(y) \end{aligned} ψH(x,y)=ψ(x)φ(y)ψV(x,y)=φ(x)ψ(y)ψD(x,y)=ψ(x)ψ(y)
以上三个小波函数分别对应图像沿着列方向的变换、图像沿着行方向的变换、图像沿着对角线方向的变换
并存在
φ j,m,n (x,y)= 2 j/2 φ( 2 jx−m, 2 jy−n) ψ j,m,ni(x,y)= 2 j/2ψ i( 2 jx−m, 2 jy−n),i={H,V,D}\begin{array}{c}{{\varphi_{j,m,n}(x,y)=2^{j/2}\varphi(2^{j}x-m,2^{j}y-n)}}\\{{\psi_{j,m,n}^{i}(x,y)=2^{j/2}\psi^{i}(2^{j}x-m,2^{j}y-n),i=\bigl\{H,V,D\bigr\}}}\\\end{array} φj,m,n(x,y)=2j/2φ(2jx−m,2jy−n)ψj,m,ni(x,y)=2j/2ψi(2jx−m,2jy−n),i={H,V,D}
并可以推导出离散形式的小波变换
W φ( j 0,m,n) = 1M N∑ x=0M−1∑ y=0N−1 f(x,y) φj 0,m,n (x,y) W ψ i(j,m,n) = 1M N∑ x=0M−1∑ y=0N−1 f(x,y) ψ j,m,ni(x,y),i={H,V,D}\begin{aligned} W_{\varphi}(j_{0},m,n)&=\frac{1}{\sqrt{MN}}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)\varphi_{j_{0},m,n}(x,y)\\\\ W_{\psi}^{i}(j,m,n)&=\frac{1}{\sqrt{MN}}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)\psi_{j,m,n}^{i}(x,y),i=\{H,V,D\}\end{aligned} Wφ(j0,m,n)Wψi(j,m,n)=MN1x=0∑M−1y=0∑N−1f(x,y)φj0,m,n(x,y)=MN1x=0∑M−1y=0∑N−1f(x,y)ψj,m,ni(x,y),i={H,V,D}
其中 j0 j_0j0表示任意的开始尺度， Wφ( j0, m , n )W_{\varphi}(j_{0},m,n)Wφ(j0,m,n)表示在尺度为 j0 j_0j0时的近似， Wψi( j , m , n ) , i = { H , V , D }W_{\psi}^{i}(j,m,n),i=\{H,V,D\}Wψi(j,m,n),i={H,V,D}表示对尺度为 j0 j_0j0时的水平、垂直与对角线方向的细节
当 j0= 0 , M = N = 2j j_0=0,M=N=2^jj0=0,M=N=2j时，存在离散小波逆变换
f(x,y) = 1M N∑ m ∑ n W φ( j 0,m,n) φj 0,m,n (x,y) + 1M N∑ i=H.V.D∑ j= j 0∞ ∑ m ∑ n W ψ i(j,m,n) ψ j,m,ni(x,y)\begin{aligned} f(x,y)& =\frac{1}{\sqrt{MN}}\sum_{m}\sum_{n}W_{\varphi}(j_{0},m,n)\varphi_{j_{0},m,n}(x,y) \\ &+\frac{1}{\sqrt{MN}}\sum_{i=H.V.D}\sum_{j=j_{0}}^{\infty}\sum_{m}\sum_{n}W_{\psi}^{i}(j,m,n)\psi_{j,m,n}^{i}(x,y) \end{aligned} f(x,y)=MN1m∑n∑Wφ(j0,m,n)φj0,m,n(x,y)+MN1i=H.V.D∑j=j0∑∞m∑n∑Wψi(j,m,n)ψj,m,ni(x,y)
同理可以得到
小波分解过程如图所示
小波逆变换过程如图所示
其小波分解的结果如图所示
