一、模糊关系的定义
1. 集合的直积
设有两个集合X，Y，X和Y的直积X×Y（笛卡尔积）定义为：
它是由序偶（x，y）的全体所构成的二维论域上的集合。一般来说X×Y≠Y×X。
2.模糊关系及模糊矩阵
设X、Y是两个非空集合，以直积X×Y为论域定义的模糊集合R称为X和Y的模糊关系，记为Rx×y。
（1）模糊关系Rx×y由其隶属函数μR(x,y)完全刻画，μR(x,y)表示了X中的元素x和Y中的元素y具有关系Rx×y的程度。
（2）当X和Y为有限离散集合时，设X={x1，x2，…，xn}，Y={y1，y2，…，ym}，则X和Y的模糊关系Rx×y可用n×m阶矩阵（模糊矩阵）表示，即
模糊矩阵是论域为直积X×Y的模糊集。
模糊关系和模糊矩阵举例如下
例：X={10，20，40，80}，Y={10，20，30，40}，“x远大于y”这一模糊关系的模糊关系矩阵为
结论：当x=40，y=20时，“x远大于y”的程度是0.8。
3. 模糊集合的直积
若有两个模糊集A和B，其论域分别X和Y，定义在积空间X×Y上的模糊集合A×B称为模糊集合A和B的直积，其隶属函数为：
模糊集合A和B的直积是积空间X×Y上的一个模糊关系。
二、模糊关系和模糊矩阵的合成运算
由于模糊关系和模糊矩阵是定义在直积空间的模糊集合，因此它遵从一般模糊集合（并、交、补等）的运算规则。（详见一）
1．模糊矩阵的合成运算
例子引入：已知模糊关系矩阵
总结来说，就是R1的行与R2的列放在一起比较，先求出最小的（从第二行等号到第三行等号），再求出最小之中最大的那个数字，作为最终结果（从第三行到第四行）。
2.合成运算和直积运算的关系
设A为论域X上的模糊集合，B为论域Y上的模糊集合。根据上述模糊集合的直积和模糊矩阵的合成的定义，当X和Y为离散论域时，A与B的直积（取小运算）为：
3．模糊关系的合成运算
设R1是X和Y的模糊关系，R2是Y和Z的模糊关系，R1和R2的合成R1○R2指的是X×Z上的一个模糊关系，其隶属函数为：
在上式中，“∨”表示取大运算，“∧”表示取小运算，因此称为取大-取小合成（max-min composition）。
PS:一个小形象的比喻，对于一个模糊关系，其对应的隶属度函数就相当于它的身份证。
当论域X、Y、Z为有限集时，可用模糊矩阵的合成来表示模糊关系的合成。
三、模糊逻辑与模糊推理
1. 模糊语言变量
模糊语言变量（linguistic variables）是自然语言中的词或句，如气温、误差等，它的取值不是通常的常数，而是用模糊语言表示的模糊集。以下将模糊语言变量简称语言变量。
一个语言变量可由以下的五元体来表征：
x为语言变量的名称；T(x)语言变量值的集合；U为x的论域；G为语法规则（用于产生各语言变量值x的名称）；M为语义规则（用于产生模糊集合的隶属函数）。
2. 模糊命题
（1）模糊命题（proposition）：含有模糊概念的陈述句。模糊命题可以用英文字母表示，如P：误差较大。
（2）模糊命题的真值：模糊命题的真假程度，它是[0,1]区间上的一个实数。
（3）单模糊命题：简单的模糊陈述句，其一般形式为 P：x 为 A x为模糊变量，A为某一模糊概念对应的模糊集合。
（4）单模糊命题P的真值V(P)，就由该变量对模糊集的隶属度来表示，即
V(P)=μA(x)
当μA(x)=0，表示命题P完全假；μA(x)=1，表示命题P完全真；μA(x)越接近0，命题P假的程度越大，真的程度越小；μA(x)越接近1，命题P假的程度越小，真的程度越大。
例：讨论模糊命题Q：天气热。语言变量是气温t，t属于[-40ºC，50ºC]，定义“热”的模糊集合为H，其隶属函数为μH(t)。若今日气温为t=20 ºC，μH(20)=0.4，那么该命题的真值为0.4。也就是说，“天气热”这个命题的真实程度是0.4。
（5）复合模糊命题：把简单模糊命题通过联结词联合起来，就构成了复合模糊命题。联结词可以是“与”、“或”、“非”、“若……则……”等。
（6）条件模糊命题： “IF … THEN …”形式的条件语句，表达两个普通命题之间的因果关系，称为条件模糊命题。
3.模糊推理
模糊推理（Fuzzy Inference）是不确定性推理方法的一种，它是运用模糊语言，对模糊命题进行模糊判断，推出一个近似的模糊结论的方法。
（1）模糊推理的基本形式：三段论
（2）模糊推理的合成规则
1975年Zadeh提出了模糊逻辑推理的合成规则。
即结论B′是模糊集合A′和模糊蕴含关系A→B的合成。
合成推理规则举例
若人工调节炉温，有如下的经验规则：“如果炉温低，则应施加高电压”。试问当炉温为“非常低”时，应施加怎样的电压。已知：x和y分别表示模糊语言变量“炉温”和“电压”，x和y的论域为：
（3）多重模糊条件语句
1）使用“and”连接的模糊条件语句
模糊蕴含关系：
推理结果/运算方式：
步骤如下：求规则的模糊蕴含关系，求AXB;进而求R；
计算输入量的模糊集合，求A’、B’；
计算输出量的模糊集合，求C’。
2）使用“also”连接的模糊条件语句
推理结果/运算方式：
步骤如下：求每条规则的模糊蕴含关系，求R1、R2；
求总模糊蕴含关系，求R；
计算输入量的模糊集合，求A’XB’；
计算输出量的模糊集合，求C‘。
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