数据的预处理是数据分析，或者机器学习训练前的重要步骤。
通过数据预处理，可以

  • 提高数据质量，处理数据的缺失值、异常值和重复值等问题，增加数据的准确性和可靠性
  • 整合不同数据，数据的来源和结构可能多种多样，分析和训练前要整合成一个数据集
  • 提高数据性能，对数据的值进行变换，规约等（比如无量纲化），让算法更加高效

本篇介绍的正则化处理，主要功能是对每个样本计算其范数，然后对该样本中每个元素除以该范数，
这样处理的结果是使得每个处理后样本的范数（如l1-norm、l2-norm）等于1。

1. 原理

介绍正则化之前，先简单介绍下范数的概念。

1.1. 范数

范数常被用来度量某个向量空间（或矩阵）中的每个向量的长度或大小，
可以简单理解为向量的长度，或者向量到零点的距离，或者相应的两个点之间的距离。

对于向量（\(x = [x_1, x_2, …,x_m]\)），常见的范数有：

  1. L1范数，向量元素绝对值之和，x 到零点的曼哈顿距离（\(\parallel x \parallel_1=\sum_{i=1}^m \mid x_{i}\mid\)）
  2. L2范数，向量元素绝对值的平方和再开方，表示x到零点的欧式距离（\(\parallel x \parallel_2=\sqrt{\sum_{i=1}^m \mid x_{i}^2\mid}\)）
  3. p-范数，向量元素绝对值的p次方和的1/p次幂，表示x到零点的p阶闵氏距离（\(\parallel x \parallel_p=(\sum_{i=1}^m \mid x_{i}\mid^p)^\frac{1}{p}\)）
  4. 无穷范数，所有向量元素绝对值中的最大值（\(\parallel x \parallel_{\infty}=max_i\mid x_i \mid\)）
  5. 等等。

numpy中已经提供了计算向量范数的函数。

import numpy as np# 范数计算arr = np.random.randint(0, 100, 10)print("向量: {}".format(arr))L1 = np.linalg.norm(arr, 1)print("L1范数: {}".format(L1))L2 = np.linalg.norm(arr, 2)print("L2范数: {}".format(L2))LInf = np.linalg.norm(arr, np.inf)print("无穷范数: {}".format(LInf))# 运行结果向量: [12 22 30 75 20 28 38 72  2 33]L1范数: 332.0L2范数: 126.72016414130783无穷范数: 75.0

1.2. 正则化

有了范数的概念之后，再来看正则化，根据选用的范数不同，正则化也分为L1正则化，L2正则化等等。
范数在正则化过程中扮演了重要的角色，被用来限制优化参数的大小，帮助防止模型过拟合。

from sklearn import preprocessing as ppdata = np.random.randint(1, 100, size=(3, 3))L1 = pp.normalize(data, norm="l1")L2 = pp.normalize(data, norm="l2")LMax = pp.normalize(data, norm="max")print("L1正则化: {}".format(L1))print("L2正则化: {}".format(L2))print("Max正则化: {}".format(LMax))# 运行结果L1正则化: [[0.29677419 0.09677419 0.60645161] [0.20408163 0.46938776 0.32653061] [0.05       0.67       0.28      ]]L2正则化:[[0.43510613 0.14188244 0.88912993] [0.33614632 0.77313654 0.53783412] [0.06869324 0.92048947 0.38468217]]Max正则化:[[0.4893617  0.15957447 1.        ] [0.43478261 1.         0.69565217] [0.07462687 1.         0.41791045]]

正则化之后，所有的数值都被压缩到了 0~1之间。
后续介绍机器学习算法时，可以看到正则化如何缓解训练结果过拟合的问题。

2. 作用

对数据进行正则化处理的主要作用有：

2.1. 防止过拟合

过拟合是指模型在训练数据上表现很好，但在测试数据上表现不佳的现象。
主要原因是模型在训练数据上学习了过多的噪声和异常值，导致对训练数据过度拟合。

正则化通过对模型的复杂性进行惩罚，使得模型在训练数据上表现良好的同时，也能够对测试数据有较好的预测能力。

2.2. 提升稳定性和鲁棒性

稳定性是指模型对于输入数据的小变化能够产生可接受的结果。
也就是说，如果输入数据在一定范围内发生微小变化，模型的输出结果也会相应地按照相同的排列顺序发生微小变化，而不是发生较大的颠覆性变化。

而鲁棒性则是指模型在一定条件下对于某些性能的保持能力。
也就是说，当输入数据中存在噪声、异常值或不完全信息时，模型能够通过适当的处理和算法，保持其原有的性能表现，不会因为这些干扰因素而出现大幅度性能下降。

在实际应用中，稳定性和鲁棒性往往是相互制约的。
过于强调稳定性可能导致模型过于简单，无法处理复杂的数据特征；
而过于强调鲁棒性可能导致模型过于复杂，容易受到噪声和异常值的影响。
因此，需要根据实际应用场景和数据特点来权衡考虑这两种性能指标，以实现最优的性能表现。

正则化可以通过对模型的复杂性进行惩罚，使得模型对于输入数据的小变化不会产生太大的影响，从而提高了模型的稳定性和鲁棒性。

2.3. 提高泛化能力

泛化能力是指模型在未曾见过的数据上的表现能力，也就是模型对于新的数据的适应能力。

正则化可以通过对模型的复杂性进行惩罚，使得模型更加专注于训练数据中的重要特征，而不是被训练数据中的噪声和异常值所迷惑。
这样可以在一定程度上提高模型的泛化能力，使得模型在未知数据上的表现更好。

3. 总结

在scikit-learn中，主要有三种正则化方法，L1正则化，L2正则化和Max正则化。
实际应用中，根据数据的特征和场景对数据选择不同的正则化方法，使得训练后的模型能够有更好的精度和性能。