哈工大近世代数期末复习

近世代数是抽象代数的一个分支,是计算机科学和人工智能大数据的基础.

本文内容有点长,大家可以通过index来跳转到想要看的章节,第十章的总结在我的主页里下载

1.代数系

半群:满足结合律的代数系

交换半群:满足交换律的半群

群：判定方法有两种

method1

有单位元
有逆元
运算满足结合律

method2：

运算满足结合律
运算满足左右消去律

交换群(Abel群)：

定义:满足交换律的群

应用:后面讲环的时候会用到Abel群,判定一个代数系(R,+,◦)是环:

(R, +)为一个Abel群：
(R, ◦)为一个半群；∀a, b, c ∈ R(a ◦ b)◦ c =a ◦ (b ◦ c）
乘法对加法满足左、右分配律：∀a, b, c ∈ R a ◦ ( b + c) = ( a ◦ b) + ( a ◦ c)( b + c) ◦ a = ( b ◦ a) + ( c ◦ a)交换群可以衍生出很多好的性质

2.群的简单性质

群满足消去律

练习1答案方法的解释

有限群的每个元素的阶不超过该有限群的阶。

根据群的阶判断元素的阶

练习6注释:根据练习4 5得到：阶大于2的元素成对出现则 |G| = 2n= 2k+l+1得到l是奇数、

练习六也就是说偶数阶群2n一定存在一个阶为2的元素,也就是说一定存在n阶商群(后面会提到)

证明：一/二/三/四/五阶群是交换群

如何证明五阶一下的群都是交换群 (利用后面的拉格朗日的定理干掉前四个)

如何证明六阶群中肯定存在一个三阶子群

3.子群生成子群

子群

H是G的子群要满足三个条件

H元素非空
H中对于G中的运算封闭
H是G的子集

eg:找出3次对称群的所有子群。

解. (1)，{(1),(1, 2)}，{(1),(1, 3)}，{(1),(2, 3)}，{(1),(123),(132)}，S3。

判断子群的充要条件

同理在子环和子域中也有类似的证明

定理：设(G1, ◦)和(G2, ∗)都是群，ϕ :G1→ G2，∀a, b ∈ G1，ϕ(a ◦ b) =ϕ(a)∗ ϕ(b)，证明：ϕ −1 (e2)为G1的子群，其中e2为G2的单位元素。

群G的任意多个子群的交还是G的子群

任一群不能是其两个真子群的并

1. 举例说明两个子群的并可以不是子群。

解. S6 ={[0], [1], [2], [3], [4], [5]}，{[0], [2], [4]}和{[0], [3]}为S6的两个子群，但{[0], [2], [4]}∪{[0], [3]} ={[0], [2], [3], [4]}不是S6的子群，因为[2] + [3] = [5] ∉{[0], [2], [3], [4]}。2.设G1和G2为群G的两个真子群，证明：G1 ∪ G2为G的子群的充分必要条件是G1 ⊆ G2或者G2 ⊆ G1。如果 G1 ⊆ G2或者 G2 ⊆ G1，则 G1 ∪ G2 = G2或 G1，此时显然 G1 ∪ G2为 G的子群。如果 G1 ∪ G2为 G的子群，以下用反证法证明 G1 ⊆ G2或者 G2 ⊆ G1。假设 G1 ⊈ G2并且 G2 ⊈ G1，则存在 g2 ∈ G2，但是 g2∉ G1，同时存在 g1 ∈ G1，但是 g1 ∉ G2。于是 G1为 G1 ∪ G2的真子集， G2为 G1 ∪ G2的真子集，易得 G1和 G2为 G1 ∪ G2的真子群，由于任一群不能是两个真子群的并,矛盾。

群G的中心C是G的可交换子群。

中心: 群G的元素a称为G的中心元素，如果a与G的每个元素可交换，即∀x ∈ G, ax = xa。G的所有中心元素构成的集合C称为G的中心。

不要忘记先证明他是一个群形式有点像正规子群

生成子群

设M为G的一个非空子集，G的包含M的所有子群的交称为由M生成的子群，记为(M)。有一点像细胞分裂

推论:有限生成子群仍然是循环群

证明(Q, )的每个有限生成子群都是循环群？ – 知乎 (zhihu.com)

4.变换群同构

同构:

设(G1, ◦)，(G2, ∗)为两个群。如果存在一个双射ϕ : G1 → G2，使得∀a, b ∈ G， ϕ(a ◦ b) = ϕ(a) ∗ ϕ(b), 则称群G1与G2同构，记为G1≅G2。ϕ称为从G1到G2的一个同构。

同构和同态区别和联系:

都满足那个等式
不同:同态不一定要求是双射

变换群

对称群:设S为一个非空集合，从S到S的所有双射构成的集合对映射的合成构成一个群，称为S上的对称群，记为Sym(S)。当S ={1, 2, · · · , n}时，Sym(S) =Sn。变换群:Sym(S)的任意一个子群称为S上的一个变换群。Sn的任意一个子群称为一个置换群。