【自动驾驶】路径规划——ReedsShepp 曲线总结（python实现 | c++实现）

文章目录

• 参考资料
• 1. Reeds-Shepp 曲线
• • 1.1 基本概念
  • 1.2 字段组合
  • 1.3 时间翻转(timeflip)、反射(reflect)和向后变换(backwards)
  • • 1.3.1 时间翻转(timeflip)
    • 1.3.2 反射(reflect)
    • 1.3.3 向后变换(backwards)
  • 1.4 48 个字段组合
• 2. RS曲线求解
• • 2.1 三段圆弧组成
  • 2.2 两段圆弧与直线组成
  • 2.3 四段圆弧组成
  • 2.4 三段圆弧与一条直线段组成
  • 2.5 四段圆弧与一条直线段组成
• 3. python实现
• 4. c++实现

参考资料

• Reeds-Shepp和Dubins曲线简介

• 路径规划 – ReedsShepp 曲线

• 原论文：OPTIMAL PATHS FOR A CAR THAT GOES BOTH FORWARDS AND BACKWARDS

• Reeds Shepp planning

• 一个实例了解自动驾驶路径规划 —— （四）HybridA*算法中RS曲线详解

• 乘用车自动泊车系统的路径规划及跟踪控制研究_陶鹏

前文

• Dubins 曲线推导(基于向量的方法)
• Dubins 曲线公式总结及python代码实现(基于几何的方法)

1. Reeds-Shepp 曲线

1.1 基本概念

Reeds-Shepp 算法简称 RS，由 J.A.Reeds 和 L.A.Shepp 于 1990 年发表的论文 ( optimal path for a car that goes both forward and backwards)。该方法基于 Dubins 算法进行改进，将反向运动（汽车允许后退，挂倒挡）加入到规划中，这就使得在某些情况下可以得出比 Dubins 曲线更优的解。

曲线示例如下：

图片来源：https://blog.csdn.net/robinvista/article/details/95137143

如上图可以知道，在 Reeds-Shepp 曲线的路径中，允许尖瓣存在。

1.2 字段组合

在字段中的字母上加入上标，用来表示运动方向，表示如下：

使用 $C、S$ 字符可以给出如下集合：

C C C ← {C + C − C +C + C − C −C + C + C −C + C β + C β − C −C + C β − C β − C +} C S C ← {C + S + C +C − C π/2+ S + C +C + S + C π/2+ C −C − C π/2+ S + C π/2+ C −} (1) \tag{1} \begin{aligned} &C C C \leftarrow\left\{\quad C^{+} C^{-} C^{+} \quad C^{+} C^{-} C^{-} \quad C^{+} C^{+} C^{-} \quad C^{+} C_{\beta}^{+} C_{\beta}^{-} C^{-} \quad C^{+} C_{\beta}^{-} C_{\beta}^{-} C^{+}\right\}\\ &C S C \leftarrow\left\{\quad C^{+} S^{+} C^{+} \quad C^{-} C_{\pi / 2}^{+} S^{+} C^{+} \quad C^{+} S^{+} C_{\pi / 2}^{+} C^{-} \quad C^{-} C_{\pi / 2}^{+} S^{+} C_{\pi / 2}^{+} C^{-}\right\} \end{aligned} ​CCC←{C+C−C+C+C−C−C+C+C−C+Cβ+​Cβ−​C−C+Cβ−​Cβ−​C+}CSC←{C+S+C+C−Cπ/2+​S+C+C+S+Cπ/2+​C−C−Cπ/2+​S+Cπ/2+​C−}​(1)

通过反转等式 (1) 的符号可以获得新的的字段。上式 (1) 中， C π / 2+ C^+_{\pi/2}Cπ/2+​表示相应的$L$或$R$的转过的角度为$\pi /2$ ， CβCβ C_{\beta}C_{\beta}Cβ​Cβ​组合表示相应的弧段拥有相等的长度。

为了以紧凑的表示，避免$\pm$ ，可以写出充分路径的列表如下：
C C C ← { C ∣ C ∣ C C ∣ C C C C ∣ C C Cβ∣ CβC C ∣ C β C β∣C} C S C ← { C S C C ∣ C π / 2S C C S C π / 2∣ C C ∣ C π/2 S C π/2 ∣C} (2) \tag{2} \begin{aligned} &C C C \leftarrow\left\{\begin{array}{ccccc} C|C| C & C \mid C C & C C \mid C & C C_{\beta} \mid C_{\beta} C & C\left|C_{\beta} C_{\beta}\right| C \end{array}\right\}\\ &C S C \leftarrow\left\{\begin{array}{llll} C S C & C \mid C_{\pi / 2} S C & C S C_{\pi / 2} \mid C & C\left|C_{\pi / 2} S C_{\pi / 2}\right| C \end{array}\right\} \end{aligned} ​CCC←{C∣C∣C​C∣CC​CC∣C​CCβ​∣Cβ​C​C∣Cβ​Cβ​∣C​}CSC←{CSC​C∣Cπ/2​SC​CSCπ/2​∣C​C∣∣​Cπ/2​SCπ/2​∣∣​C​}​(2)

其中，$|$表示车辆运动朝向由正向转为反向或者由反向转为正向。

将上述word分别带下标，如 Cα∣ Cβ∣ Cγ C_{\alpha}|C_{\beta}| C_{\gamma}Cα​∣Cβ​∣Cγ​，其中$\alpha ,\beta ,\gamma$分别表示旋转的角度（弧度制）。$S$带下标$d$表示行走的直线距离为$d$。它们的范围如下表所示：

将$C$替换为$L$或$R$ ，通过简单的变换，则共有 48 种字段组合。这种简单变换包括时间翻转(timeflip)、反射(reflect)和向后变换(backwards)。

1.3 时间翻转(timeflip)、反射(reflect)和向后变换(backwards)

1.3.1 时间翻转(timeflip)

将计算出的曲线按照其运动方向进行取反，得到的新的曲线为原曲线相反的曲线。

如图，蓝色曲线 L−R+S+L+ L^-R^+S^+L^+L−R+S+L+与红色曲线 L+R−S−L− L^+R^-S^-L^-L+R−S−L−关于Y 轴左右对称，两条路径曲线上的路径航向角相反。从起始点$O(0,0,0)$到目标点$A(x,y,\theta )$的路径可以通过起始点$O(0,0,0)$到目标点 $B(-x,-y,-\theta )$的路径取反计算获得。

1.3.2 反射(reflect)

第二种转换关系：“reflect”，即将计算的曲线按照其沿圆周运动方向取反，得到的曲线与原来的曲线长度相同的新曲线。

如图所示，红色曲线 R−L+S+R+ R^- L^+ S^+ R^+R−L+S+R+与蓝色曲线 L−R+S+L+ L^- R^+ S^+ L^+L−R+S+L+关于 X 轴左右对称，两条路径曲线上的路径航向角相反。从起始点$O(0,0,0)$ 到目标点 $A(x,y,\theta )$的路径可以通过起始点$O(0,0,0)$ 到目标点 $B(x,-y,-\theta )$的路径圆周方向取反计算获得。

1.3.3 向后变换(backwards)

第三种转换关系：“backwards”，即将原曲线的路径逆序转换，得到的曲线与原来的曲线长度相同的新曲线。

“backwards”实例图如图所示，蓝色曲线 L−S−R−L+ L^-S^-R^- L^+L−S−R−L+与红色曲线 L+R−S−L− L^+ R^- S^- L^-L+R−S−L−不具有以上两种的堆成关系，但是很直观的可以看出 L−S−R−L+ L^-S^-R^- L^+L−S−R−L+的逆序排列得到 L+R−S−L− L^+ R^- S^- L^-L+R−S−L−，两条路径曲线上的路径进行逆向排列。从起始点$O(0,0,0)$到目标点 $A(x,y,\theta )$ 的路径可以通过起始点$O(0,0,0)$ 到目标点 $B(x\ast \cos \theta +y\ast \sin \theta ,x\ast \sin \theta -y\ast \cos \theta ,\theta )$ 的路径圆周方向取反计算获得。

1.4 48 个字段组合

所有的48个字段组合一一枚举如下：

图中，角标$\beta$代表C旋转的弧度是$\beta$，同理$\pi /2$也是代表旋转弧度，意思就是这个圆必须转$\pi /2$。

所以，Dubins曲线是从6个曲线中选出最短的那条，而Reeds-Shepp曲线是从48个曲线中选出最短的那个（最开始的论文认为最短的曲线一定在48条曲线中，后人研究发现有两条曲线不会是最短的，所以后来搜索范围减小到46条）。

至于这些字段组合具体的推导，请看原论文。

2. RS曲线求解

Reeds-Shepp 曲线的求解公式在原论文的式(8.1)~式(8.11)中。这边将其总结整理。

假设起点为$(0,0,0)$，终点为$(x,y,\theta )$。

2.1 三段圆弧组成

• 第一类基础曲线: $C|C|C$, 即三段圆弧且每段圆弧两两圆弧方向相反, 基于此, 可以扩展出四种曲线形式: L + R − L +、 L − R + L −、 R + L − R +、 R − L + R −L^{+} R^{-} L^{+} 、 L^{-} R^{+} L^{-} 、 R^{+} L^{-} R^{+} 、 R^{-} L^{+} R^{-} L+R−L+、L−R+L−、R+L−R+、R−L+R−。
• 第二类基础曲线: $CC\mid C$, 即三段圆弧且后两段圆弧的圆弧方向相反, 基于此, 可 以扩展出四种曲线形式: L + R + L −、 L − R − L +、 R + L + R −、 R − L − R +L^{+} R^{+} L^{-} 、 L^{-} R^{-} L^{+} 、 R^{+} L^{+} R^{-} 、 R^{-} L^{-} R^{+} L+R+L−、L−R−L+、R+L+R−、R−L−R+。
• 第三类基础曲线: $C\mid CC$, 即三段圆弧且前两段圆弧的圆弧方向相反, 基于此, 可 以扩展出四种曲线形式: L + R − L −、 L − R + L +、 R + L − R −、 R − L + R +L^{+} R^{-} L^{-} 、 L^{-} R^{+} L^{+} 、 R^{+} L^{-} R^{-} 、 R^{-} L^{+} R^{+} L+R−L−、L−R+L+、R+L−R−、R−L+R+。

通过时间翻转、反射和向后三种曲线变换方式, 上述 3 种公式的符号变换成 了 12 种曲线的运动方式, 可以利用公式(1)进行求解 。
{( u1, t1)=R(x−sin⁡θ,y−1+cos⁡θ){ u12> 4 → L = ∞ u12≤ 4 → { A = arcsin ⁡ ( u124)u = M (A+ t 1)( u 2, t 2)= R ( x − sin ⁡ θ , y − 1 + cos ⁡ θ ) t = t2v = M ( θ + t − u ) L = ∣ t ∣ + ∣ u ∣ + ∣ v ∣其中 A ∈ [ π 2,π](1) \tag{1} \left\{\begin{array}{l} \left(u_{1}, t_{1}\right)=R(x-\sin \theta, y-1+\cos \theta) \\ \left\{\begin{array}{l} u_{1}^{2}>4 \rightarrow L=\infty \\ u_{1}^{2} \leq 4 \rightarrow\left\{\begin{array}{l} A=\arcsin \left(\frac{u_{1}^{2}}{4}\right) \\ u=M\left(A+t_{1}\right) \\ \left(u_{2}, t_{2}\right)=R(x-\sin \theta, y-1+\cos \theta) \\ t=t_{2} \\ v=M(\theta+t-u) \\ L=|t|+|u|+|v| \end{array}\right. \\ \text { 其中 } A \in\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right] \end{array}\right. \end{array}\right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​(u1​,t1​)=R(x−sinθ,y−1+cosθ)⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​u12​>4→L=∞u12​≤4→⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​A=arcsin(4u12​​)u=M(A+t1​)(u2​,t2​)=R(x−sinθ,y−1+cosθ)t=t2​v=M(θ+t−u)L=∣t∣+∣u∣+∣v∣​其中A∈[2π​,π]​​(1)

其中 $t、u、v$ 代表公式中每次转向的弧度值大小（其实也是基础曲线三段圆弧的弧长，因为圆弧半径为1，单位圆）, $L$为路径总长度；公式中的函数 $R$ 是将笛卡尔坐标系中的 $(x,y)$ 转化成极坐标系下的 ( u1, t1)\left(u_{1}, t_{1}\right)(u1​,t1​), 其中径向坐标值有 u1、 u2 u_{1} 、 u_{2}u1​、u2​, 角坐标值有 t1、 t2 t_{1} 、 t_{2}t1​、t2​, 函数 $M$ 用于对$2\pi$取模运算，并将弧度值限定在 $[-\pi ,\pi ]$。

函数$(r,\theta )=R(x,y)$即笛卡尔坐标系中的 $(x,y)$ 与极坐标系$(r,\theta )$的关系可以表示为： { rcos⁡θ=xrsin⁡θ=y \begin{aligned} \left\{\begin{array}{l} r\cos{\theta}=x\\ r\sin{\theta}=y \end{array}\right.\\ \end{aligned}{rcosθ=xrsinθ=y​​

$\psi =M(\theta )$即表示 { ψ=θ m o d    2π−π≤ψ<π \begin{aligned} \left\{\begin{array}{l} \psi=\theta \mod 2\pi\\ -\pi\le\psi<\pi \end{array}\right.\\ \end{aligned}{ψ=θmod2π−π≤ψ<π​​

后文除了新定义的符号，不再赘述已定义的符号。

2.2 两段圆弧与直线组成

• 第四类基础曲线形式: $CSC$, 即两段圆弧与直线组成, 基于此, 可以扩展出八种曲 线形式: L + S + L +、 L − S − L −、 R + S + R +、 R − S − R −、 L + S + R +、 L − S − R −、 R + S + L +、 R − S − L −L^{+} S^{+} L^{+} 、 L^{-} S^{-} L^{-} 、 R^{+} S^{+} R^{+} 、 R^{-} S^{-} R^{-} 、 L^{+} S^{+} R^{+} 、 L^{-} S^{-} R^{-} 、 R^{+} S^{+} L^{+} 、 R^{-} S^{-} L^{-} L+S+L+、L−S−L−、R+S+R+、R−S−R−、L+S+R+、L−S−R−、R+S+L+、R−S−L−。

{ (u,t)=R(x−sin⁡θ,y−1+cos⁡θ)v=M(θ−t)L=∣t∣+∣u∣+∣v∣其中A∈[0,π] (2) \tag{2} \begin{aligned} \left\{\begin{array}{l} (u, t)=R(x-\sin \theta, y-1+\cos \theta) \\ v=M(\theta-t) \\ L=|t|+|u|+|v| \\ \text { 其中 } A \in[0, \pi] \end{array}\right. \end{aligned} ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​(u,t)=R(x−sinθ,y−1+cosθ)v=M(θ−t)L=∣t∣+∣u∣+∣v∣其中A∈[0,π]​​(2)
{( u1, t1)=R(x−sin⁡θ,y−1+cos⁡θ){ u12> 4 → L = ∞ u12≤ 4 → { u =u12− 4( u 2, t 2)= R ( u , 2 ) t = M ( t 1+ t 2)v = M ( t − u ) L = ∣ t ∣ + ∣ u ∣ + ∣ v ∣(3) \tag{3} \begin{aligned} \left\{\begin{array}{l} \left(u_{1}, t_{1}\right)=R(x-\sin \theta, y-1+\cos \theta) \\ \left\{\begin{array}{l} u_{1}^{2}>4 \rightarrow L=\infty \\ u_{1}^{2} \leq 4 \rightarrow\left\{\begin{array}{l} u=\sqrt{u_{1}^{2}-4} \\ \left(u_{2}, t_{2}\right)=R(u, 2) \\ t=M\left(t_{1}+t_{2}\right) \\ v=M(t-u) \\ L=|t|+|u|+|v| \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right.\\ \end{aligned} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​(u1​,t1​)=R(x−sinθ,y−1+cosθ)⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​u12​>4→L=∞u12​≤4→⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​u=u12​−4 ​(u2​,t2​)=R(u,2)t=M(t1​+t2​)v=M(t−u)L=∣t∣+∣u∣+∣v∣​​​​(3)

通过上述三种曲线变换方式，将第 4 种公式的符号变换成了 8 种曲线，这 8种曲线中前 4 种使用式(2) 进行求解，后 4 种使用式(3) 进行求解。

2.3 四段圆弧组成

• 第五类基础曲线形式: C Cβ∣ CβCC C_{\beta} \mid C_{\beta} CCCβ​∣Cβ​C, 即四段圆弧组成, 第一段与第二段圆弧的圆弧方向相反, 第三段与第四段圆弧的圆弧方向相反, 前两段与后两段圆弧方向相反, 基于此, 可以扩展出四种曲线形式: L+Rβ +Lβ −R−、 L−Rβ −Lβ +R+、 R+Lβ +Rβ −L−、 R−Lβ −Rβ +L+ L^{+} R_{\beta}{ }^{+} L_{\beta}{ }^{-} R^{-} 、 L^{-} R_{\beta}{ }^{-} L_{\beta}{ }^{+} R^{+} 、 R^{+} L_{\beta}{ }^{+} R_{\beta}{ }^{-} L^{-} 、 R^{-} L_{\beta}{ }^{-} R_{\beta}{ }^{+} L^{+}L+Rβ​+Lβ​−R−、L−Rβ​−Lβ​+R+、R+Lβ​+Rβ​−L−、R−Lβ​−Rβ​+L+。

• 第六类基础曲线形式: C ∣ C β C β∣CC\left|C_{\beta} C_{\beta}\right| CC∣Cβ​Cβ​∣C, 即四段圆弧组成, 第一段与第二段圆弧的圆弧方向相同, 第三段与第四段圆弧的圆弧方向相同, 前两段与后两段圆弧方向相反, 基于此, 可以扩展出四种曲线形式: L+Rβ −Lβ −R+、 L−Rβ +Lβ +R−、 R+Lβ −Rβ −L+、 R−Lβ +Rβ +L− L^{+} R_{\beta}{ }^{-} L_{\beta}{ }^{-} R^{+} 、 L^{-} R_{\beta}{ }^{+} L_{\beta}{ }^{+} R^{-} 、 R^{+} L_{\beta}{ }^{-} R_{\beta}{ }^{-} L^{+} 、 R^{-} L_{\beta}{ }^{+} R_{\beta}{ }^{+} L^{-}L+Rβ​−Lβ​−R+、L−Rβ​+Lβ​+R−、R+Lβ​−Rβ​−L+、R−Lβ​+Rβ​+L−。

{ ξ=x+sin⁡(θ)η=y−1−cos⁡(θ) ρ 1= 2+ξ 2+ η 2 4 ρ 2= 20− ξ 2− η 2160≤ ρ 1、 ρ 2≤1→ {u 1=arccos⁡ ( ρ1) u 2=−arccos⁡ ( ρ2)u= u 1 oru 2(t,v)=τω(u,−u,ξ,η,θ)L=∣t∣+2∗∣u∣+∣v∣其中u∈[0,π/2] 其它L=∞ (4) \tag{4} \left\{\begin{array}{l} \xi=x+\sin (\theta) \\ \eta=y-1-\cos (\theta) \\ \rho_{1}=\frac{2+\sqrt{\xi^{2}+\eta^{2}}}{4} \\ \rho_{2}=\frac{20-\xi^{2}-\eta^{2}}{16} \\ 0 \leq \rho_{1} 、 \rho_{2} \leq 1 \rightarrow\left\{\begin{array}{l} u_{1}=\arccos \left(\rho_{1}\right) \\ u_{2}=-\arccos \left(\rho_{2}\right) \\ u=u_1 \quad or \quad u_2\\ (t, v)=\tau \omega(u,-u, \xi, \eta, \theta) \\ L=|t|+2 *|u|+|v| \\ \text { 其中 } u \in[0, \pi / 2] \end{array}\right. \\ \text { 其它 } L=\infty \end{array}\right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​ξ=x+sin(θ)η=y−1−cos(θ)ρ1​=42+ξ2+η2 ​​ρ2​=1620−ξ2−η2​0≤ρ1​、ρ2​≤1→⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​u1​=arccos(ρ1​)u2​=−arccos(ρ2​)u=u1​oru2​(t,v)=τω(u,−u,ξ,η,θ)L=∣t∣+2∗∣u∣+∣v∣其中u∈[0,π/2]​其它L=∞​(4)
这 8 种曲线可以通过式(4)求解, 上述公式中的 ρ1, u1 \rho_{1},u_1ρ1​,u1​ 用于第 5 类公式的路径计算, ρ2, u2 \rho_{2},u_2ρ2​,u2​ 用于第 6 类公式的路径计算，式中的 $\tau \omega$ 是曲线弧度计算函数，一般地，函数的曲线弧度值 ( t , v ) = τ ω ( u , v0, ξ , η , θ )(t,v)=\tau \omega(u,v_0,\xi,\eta,\theta)(t,v)=τω(u,v0​,ξ,η,θ)是通过式(5) 进行计算。

{ σ=M(u− v 0)ζ=sin⁡(u)−sin⁡(σ)ψ=cos⁡(u)−cos⁡(σ)−1 t 1=arctan⁡ η∗ζ−ξ∗ψξ∗ζ+η∗ψ λ=2∗(cos⁡(σ)−cos⁡( v 0)−cos⁡(u))+3t= { M ( t1+ π ),λ<0M ( t1),λ≥0 v=M(t−(u− v 0)−θ) (5) \tag{5} \left\{\begin{array}{l} \sigma=M(u-v_0) \\ \zeta=\sin (u)-\sin (\sigma) \\ \psi=\cos (u)-\cos (\sigma)-1 \\ t_{1}=\arctan \frac{\eta * \zeta-\xi * \psi}{\xi * \zeta+\eta * \psi} \\ \lambda=2 *(\cos (\sigma)-\cos (v_0)-\cos (u))+3 \\ t=\left\{\begin{array}{l} M\left(t_{1}+\pi\right), \lambda<0 \\ M\left(t_{1}\right), \lambda \geq 0 \end{array}\right. \\ v=M(t-(u-v_0)-\theta) \end{array}\right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​σ=M(u−v0​)ζ=sin(u)−sin(σ)ψ=cos(u)−cos(σ)−1t1​=arctanξ∗ζ+η∗ψη∗ζ−ξ∗ψ​λ=2∗(cos(σ)−cos(v0​)−cos(u))+3t={M(t1​+π),λ<0M(t1​),λ≥0​v=M(t−(u−v0​)−θ)​(5)

2.4 三段圆弧与一条直线段组成

• 第七类基础曲线形式: C ∣ C π / 2S CC\mid C_{\pi / 2} SCC∣Cπ/2​SC, 即三段圆弧与一条直线段组成, 第二段圆弧为 $\pi /2$ 圆弧, 第三段为直线路径, 第一段与后三段圆弧方向相反, 基于此, 可以扩展出八种曲线形式: L+R π / 2−S−R−、 L−R π / 2+S+R+、 R+L π / 2−S−L−、 R−L π / 2+S+L+、 L+R π / 2−S−L− L^{+} R_{\pi / 2}^{-} S^{-} R^{-} 、 L^{-} R_{\pi / 2}^{+} S^{+} R^{+} 、 R^{+} L_{\pi / 2}^{-} S^{-} L^{-} 、 R^{-} L_{\pi / 2}^{+} S^{+} L^{+} 、 L^{+} R_{\pi / 2}^{-} S^{-} L^{-}L+Rπ/2−​S−R−、L−Rπ/2+​S+R+、R+Lπ/2−​S−L−、R−Lπ/2+​S+L+、L+Rπ/2−​S−L−、 L−R π / 2+S+L+ L^{-} R_{\pi / 2}^{+} S^{+} L^{+}L−Rπ/2+​S+L+、 R+L π / 2−S−R− R^{+} L_{\pi / 2}^{-} S^{-} R^{-}R+Lπ/2−​S−R−、 R−L π / 2+S+R+ R^{-} L_{\pi / 2}^{+} S^{+} R^{+}R−Lπ/2+​S+R+。

• 第八类基础曲线形式: C S C π / 2∣ CC S C_{\pi / 2} \mid CCSCπ/2​∣C, 即三段圆弧与一段直线组成, 第三段圆弧为 $\pi /2$ 圆弧, 第二段为直线路径, 第四段与前三段圆弧方向相反, 基于此, 可以扩展出八种曲线形式: L+S+L π / 2+R−、 L−S−L π / 2−R+、 R+S+R π / 2+L−、 R−S−R π / 2−L+、 R+S+L π / 2+R−、 R−S−L π / 2−R+ L^{+} S^{+} L_{\pi / 2}^{+} R^{-} 、 L^{-} S^{-} L_{\pi / 2}^{-} R^{+} 、 R^{+} S^{+} R_{\pi / 2}^{+} L^{-} 、 R^{-} S^{-} R_{\pi / 2}^{-} L^{+} 、 R^{+} S^{+} L_{\pi / 2}^{+} R^{-} 、 R^{-} S^{-} L_{\pi / 2}^{-} R^{+}L+S+Lπ/2+​R−、L−S−Lπ/2−​R+、R+S+Rπ/2+​L−、R−S−Rπ/2−​L+、R+S+Lπ/2+​R−、R−S−Lπ/2−​R+、 L+S+R π / 2+L−、 L−S−R π / 2−L+ L^{+} S^{+} R_{\pi / 2}^{+} L^{-} 、 L^{-} S^{-} R_{\pi / 2}^{-} L^{+}L+S+Rπ/2+​L−、L−S−Rπ/2−​L+。

{ ζ=x+sin⁡(θ)η=y−1−cos⁡(θ) ( ρ , ϑ )=R(−η,ζ){ ( 1 ) ρ ≥ 2 → { (T, ϑ 1)= R (ρ 2−4 ,−2)t = M (ϑ− ϑ 1)u = 2 − ϑ1v = M ( θ − t − π / 2 )( 2 ) { t = ϑ u = 2 − ρ v = M ( t + π / 2 − θ )L = ∣ t ∣ + ∣ u ∣ + ∣ v ∣ + π / 2 其他， L = ∞ (6) \tag{6} \left\{\begin{array}{l} \zeta=x+\sin (\theta) \\ \eta=y-1-\cos (\theta) \\ \left(\rho, \vartheta\right)=R(-\eta, \zeta) \\ \left\{\begin{array}{l} (1) \rho \geq 2 \rightarrow\left\{\begin{array}{l} \left(T, \vartheta_{1}\right)=R\left(\sqrt{\rho^{2}-4},-2\right) \\ t=M\left(\vartheta-\vartheta_{1}\right) \\ u=2-\vartheta_{1} \\ v=M(\theta-t-\pi / 2) \end{array}\right. \\ (2)\left\{\begin{array}{l} t=\vartheta \\ u=2-\rho \\ v=M(t+\pi / 2-\theta) \end{array}\right. \\ L=|t|+|u|+|v|+\pi / 2 \\ \text { 其他，} L=\infty \end{array}\right. \end{array}\right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​ζ=x+sin(θ)η=y−1−cos(θ)(ρ,ϑ)=R(−η,ζ)⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​(1)ρ≥2→⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​(T,ϑ1​)=R(ρ2−4 ​,−2)t=M(ϑ−ϑ1​)u=2−ϑ1​v=M(θ−t−π/2)​(2)⎩⎨⎧​t=ϑu=2−ρv=M(t+π/2−θ)​L=∣t∣+∣u∣+∣v∣+π/2其他，L=∞​​(6)