交叉熵简介

交叉熵（Cross Entropy）是用来衡量两个概率分布之间的差异性的一种方法。在机器学习和深度学习中，交叉熵常常被用作损失函数，用来衡量模型预测的结果与真实结果之间的差距。

设有两个概率分布p和q，p表示真实的分布，q表示模型预测的分布，交叉熵的定义如下：

H(p,q)=− ∑ i=1n p ilog⁡( q i)H(p,q)=-\sum_{i=1}^{n}p_i\log(q_i) H(p,q)=−i=1∑n​pi​log(qi​)

其中， pi p_ipi​表示真实分布中第i个事件发生的概率， qi q_iqi​表示模型预测分布中第i个事件发生的概率。

交叉熵越小，表示模型预测的结果与真实结果越接近，反之则越不接近。因此，在机器学习中，我们通常将交叉熵作为损失函数，用来指导模型的优化。

以分类问题为例，假设有m个样本，每个样本有k个类别，用 y i j y_{ij}yij​表示第i个样本属于第j个类别的概率（0≤ y i j y_{ij}yij​≤1， ∑ j = 1ky i j= 1\sum_{j=1}^{k}y_{ij}=1∑j=1k​yij​=1），用 t i j t_{ij}tij​表示第i个样本的真实标签，如果第i个样本的真实标签是第j个类别，那么 t i j t_{ij}tij​为1，否则为0。那么，模型的交叉熵损失函数可以表示为：

L=− 1 m ∑ i=1m ∑ j=1k t ij log⁡( y ij )L=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{k}t_{ij}\log(y_{ij}) L=−m1​i=1∑m​j=1∑k​tij​log(yij​)

通过最小化交叉熵损失函数，我们可以训练出一个可以对输入进行有效分类的模型。

举例

交叉熵在机器学习中有广泛的应用，特别是在分类问题中。一个典型的例子是图像分类，假设我们有一张图片，我们需要将其分类到不同的类别中。我们可以使用神经网络模型进行分类，模型的输出是每个类别的概率。例如，我们将该图片分类为狗、猫或鸟的概率分别为0.6、0.3和0.1。我们可以使用交叉熵来计算模型输出和实际标签之间的差距。假设实际标签为狗，则交叉熵可以表示为：

H ( p , q ) = − ∑ i = 1np( x i)log(q( x i)) H(p,q)=-\sum_{i=1}^{n}{p(x_i)log(q(x_i))}H(p,q)=−∑i=1n​p(xi​)log(q(xi​))

其中， p ( xi)p(x_i)p(xi​)表示实际标签为狗的概率， q ( xi)q(x_i)q(xi​)表示模型预测为狗的概率。将实际标签代入上式，可以得到：

$H(p,q)=-1log(0.6)-0log(0.3)-0\ast log(0.1)=0.51$

可以看到，交叉熵值越小，表示模型预测结果与实际标签越接近。因此，我们可以使用交叉熵作为损失函数，通过优化模型参数来最小化交叉熵，从而提高模型分类准确率。