矩阵理论复习部分——线性代数（2）矩阵运算

文章目录

• • • 一、矩阵类型
    • 二、矩阵的基本运算
    • 三、矩阵运算相关性质

一、矩阵类型

1、转置矩阵： A = ( 3 2 1 1 2 3 2 3 1 ) A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix} A=⎝ ⎛​312​223​131​⎠ ⎞​ ， A T = ( 3 1 2 2 2 3 1 3 1 ) A^T = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix} AT=⎝ ⎛​321​123​231​⎠ ⎞​，$T$ 表示矩阵的转置

2、对角矩阵： ( 2 0 0 0 3 0 0 0 1 ) \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} ⎝ ⎛​200​030​001​⎠ ⎞​，对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵，常写为 d i a g ( a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n ) \mathrm{diag}(a_1,a_2,a_3,…,a_n) diag(a1​,a2​,a3​,…,an​)

3、上下三角矩阵： ( 1 2 3 0 2 3 0 0 1 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} ⎝ ⎛​100​220​331​⎠ ⎞​ ， ( 1 0 0 3 2 0 2 3 1 ) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix} ⎝ ⎛​132​023​001​⎠ ⎞​

4、单位矩阵： ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) = E = I \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} = E = I ⎝ ⎛​100​010​001​⎠ ⎞​=E=I

5、正交矩阵：若 $n$ 阶方阵 $A$，满足 A A T = E AA^T=E AAT=E，称 $A$ 为正交矩阵

6、对称矩阵： A T = T A^T=T AT=T

二、矩阵的基本运算

1、加法、减法：矩阵对应元素位置直接进行加减法运算，矩阵形状不发生改变；
2、乘法：左行乘右列（矩阵能够进行乘法的前提是：矩阵的左行等于右列）；

三、矩阵运算相关性质

矩阵运算不一定满足交换律：$AB\ne BA$

数乘分配律：
$(\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A$

$\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$

矩阵分配律：
$(AB)C=A(BC)$

$A(B+C)AB+AC$

$(B+C)A=BA+CA$

$EA=AE=A$

转置相关性质：
( A T ) T = A (A^T)^T = A (AT)T=A

( A + B ) T = A T + B T (A + B)^T = A^T + B^T (A+B)T=AT+BT

( A B ) T = B T A T (AB)^T = B^TA^T (AB)T=BTAT（有些特殊）

模的性质：
$|A\cdot B|=|A|\cdot |B|$

∣ λ A ∣ = λ n ∣ A ∣ |\lambda A| = \lambda^n|A| ∣λA∣=λn∣A∣ （ $n$ 为矩阵 $A$ 的阶数）