文章目录

    • abstract
    • 微元法
    • 平面图形的面积
      • 极坐标上图形面积
        • 曲边扇形面积
    • 平行截面面积为已知的立体体积
    • 旋转体的体积
      • xx x轴旋转
      • yy y轴旋转
      • 另一类型旋转体积
    • 曲线弧长
      • 参数方程表示的曲线弧长
      • 直角坐标方程表示的曲线弧长
      • 极坐标方程表示得曲线弧长
      • 小结

abstract

  • 微元法
  • 定积分的应用平面图形面积@立体体积@曲线弧长

微元法

  • 定积分(一重,二重,三重积分)应用的关键在于微元法
  • 设所求的量FF F依赖于区间[a,b][a,b] [a,b]以及在此区间上定义的某函数f(x)f(x) f(x),且满足
    • f(x)f(x) f(x)为常数CC C时,F=C⋅ ( b − a )F=C\cdot{(b-a)} F=C(ba)
    • [a,b][a,b] [a,b]分为一些小区间Δx\Delta{x} Δx之和时,量FF F也被分割为相应的一些ΔF\Delta{F} ΔF之和,即FF F具有可加性
  • f(x)f(x) f(x)在小区间[x,x+Δx][x,x+\Delta{x}] [x,x+Δx]上视为常量,于是由微分学有,近似
    • ΔF≈ f ( x )Δx\Delta{F}\approx{f(x)}\Delta{x} ΔFf(x)Δx(1),或更准确表示为:ΔF\Delta{F} ΔF=f(x)Δx+o(Δx)f(x)\Delta{x}+o(\Delta{x}) f(x)Δx+o(Δx),(Δx→0)(\Delta{x}\to{0}) (Δx0)(2)
    • 从而dF\mathrm{d}F dF=f(x)dxf(x)\mathrm{d}x f(x)dx(3),两边做[a,b][a,b] [a,b]上的积分,即F= ∫ a bf(x)dxF=\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x F=abf(x)dx
  • 式(1)或(2)称为取微元,式(3)称为**FF F的微元**
  • 微元法的步骤为:划分,近似,求和,逼近

平面图形的面积

  1. 曲线y= y 2(x)y=y_2(x) y=y2(x)y= y 1(x)y=y_1(x) y=y1(x),( y 2(x)⩾ y1( x )y_2(x)\geqslant{y_1(x)} y2(x)y1(x))以及x=a,x=bx=a,x=b x=a,x=b围成的平面图形的面积S= ∫ a b( y 2(x)− y 1(x))dxS=\int_{a}^{b}(y_2(x)-y_1(x))\mathrm{d}x S=ab(y2(x)y1(x))dx
  2. 曲线x= x 2(y)x=x_2(y) x=x2(y)x= x 1(y)x=x_1(y) x=x1(y),( x 2(y)⩾ x1( y )x_2(y)\geqslant{x_1(y)} x2(y)x1(y))以及y=c,y=dy=c,y=d y=c,y=d围成的平面图形面积为S= ∫ c d( x 2(y)− x 1(y))dyS=\int_{c}^{d}(x_2(y)-x_1(y))\mathrm{d}y S=cd(x2(y)x1(y))dy
  3. 极坐标曲线r=r(θ)r=r(\theta) r=r(θ)介于两射线θ=α\theta=\alpha θ=αθ=β\theta=\beta θ=β,(0<β−α⩽ 2 π)(0<\beta-\alpha\leqslant{2\pi}) (0<βα2π)之间的曲边扇形的面积为S= 1 2 ∫ α β r 2(θ)dθS=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2(\theta)\mathrm{d}\theta S=21αβr2(θ)dθ
  4. 由参数方程:x=x(t)x=x(t) x=x(t),y=y(t)y=y(t) y=y(t),(α⩽t⩽β)(\alpha\leqslant{t}\leqslant\beta) (αtβ)所围成平面图形的面积为S= ∫ α β∣y(t) x ′(t)∣dtS=\int_{\alpha}^{\beta}|y(t)x'(t)|\mathrm{d}t S=αβy(t)x(t)dtS= ∫ α β∣x(t) y ′(t)∣dtS=\int_{\alpha}^{\beta}|x(t)y'(t)|\mathrm{d}t S=αβx(t)y(t)dt
    • 某些曲线方程的显函数形式不易表示,可考虑使用参数方程表示,并利用换元积分法的方法对参数方程确定的曲线相关图形的面积进行定积分计算
    • 例如椭圆x=acos⁡tx=a\cos{t} x=acost,y=bsin⁡ty=b\sin{t} y=bsint的面积,即椭圆 x2a2 + y2b2 =1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 a2x2+b2y2=1在第一象限的面积,是整个椭圆面积SS S 1 4\frac{1}{4} 41,S=4 ∫ 0 aydxS=4\int_{0}^{a}y\mathrm{d}x S=40aydx
      • xx x0→a0\to{a} 0a时,即acos⁡ta\cos{t} acost0→a0\to{a} 0a,即cos⁡t\cos{t} cost从而0→10\to{1} 01,所以tt t π 2→0\frac{\pi}{2}\to{0} 2π0可作为换元后的积分限
      • =4 ∫ π20bsin⁡t⋅ ( − a ) sin ⁡ tdt4\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}b\sin{t}\cdot{(-a)\sin{t}}\mathrm{d}t 42π0bsint(a)sintdt=4ab ∫ 0 π2sin⁡2tdt4ab\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2{t}\mathrm{d}t 4ab02πsin2tdt 对调积分限
      • =4ab( 1 2(t− 1 2sin⁡ 2 t)) ∣ 0 π2 4ab(\frac{1}{2}(t-\frac{1}{2}\sin{2t}))|_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4ab(21(t21sin2t))02π=π a b\pi{ab} πab

极坐标上图形面积

曲边扇形面积
  • 曲边扇形:普通扇形(或称为圆弧扇形或圆扇形)的圆弧改为一般曲线弧后的图形

    • 一般默认扇形指的是圆扇形
  • 对于极坐标曲线方程 r = r ( θ )r=r(\theta)r=r(θ),自变量为极角 θ\thetaθ,因变量为 rrr

  • 假设 r ( θ )r(\theta)r(θ)在区间 [ α , β ][\alpha,\beta][α,β]上连续, r ( θ ) ⩾ 0r(\theta)\geqslant{0}r(θ)0,求两射线 θ = α\theta=\alphaθ=α θ = β\theta=\betaθ=β, ( 0 < β − α ⩽ 2π)(0<\beta-\alpha\leqslant{2\pi})(0<βα2π)以及 r = r ( θ )r=r(\theta)r=r(θ)所围成的曲边扇形的面积 SSS

  • 这个问题的计算公式可以通过定积分的定义推导

    • 设区间[α,β][\alpha,\beta] [α,β]分为nn n个部分区间,并构成nn n个区间的n+1n+1 n+1个分点为α= θ 0< θ 1<⋯< θ n=β\alpha=\theta_0<\theta_1<\cdots<\theta_{n}=\beta α=θ0<θ1<<θn=β
    • Δ θ i\Delta{\theta}_{i} Δθi= θ i− θ i−1 \theta_i-\theta_{i-1} θiθi1,(i=1,2,⋯   ,n)(i=1,2,\cdots,n) (i=1,2,,n);取λ= max⁡1⩽i⩽n {   Δ θ i   }\lambda=\max\limits_{1\leqslant{i}\leqslant{n}}\set{\Delta\theta_{i}} λ=1inmax{Δθi}
    • 在每个部分区间内,任取一点 ξ i\xi_i ξi,(或记为 θ‾i\overline{\theta}_{i} θi)
    • 那么以 ξ i\xi_i ξi为半径,以射线θ= θ i−1 \theta=\theta_{i-1} θ=θi1θ= θ i\theta=\theta_i θ=θi为两个边作圆扇形OABOAB OAB
    • 将这些小扇形的面积相加,的和式: S 1S_1 S1= ∑ i=1n 1 2[r( ξ i) ] 2Δ θ i\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}[r(\xi_i)]^2\Delta{\theta_{i}} i=1n21[r(ξi)]2Δθi= ∑ i=1n 1 2 r 2( ξ i)Δ θ i\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}r^2(\xi_i)\Delta{\theta_{i}} i=1n21r2(ξi)Δθi,其正好是f(θ)= 1 2[r(θ) ] 2f(\theta)=\frac{1}{2}[r(\theta)]^2 f(θ)=21[r(θ)]2= 1 2 r2( θ )\frac{1}{2}{r^2(\theta)} 21r2(θ)[α,β][\alpha,\beta] [α,β]上的积分和数
    • λ\lambda λ越小, S 1S_1 S1就越接近SS S,由于f(θ)f(\theta) f(θ)[α,β][\alpha,\beta] [α,β]上连续,从而 lim⁡λ→0∑ i = 1n12r2( ξi) Δ θi \lim\limits_{\lambda\to{0}}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2}r^2(\xi_i)\Delta{\theta_{i}}} λ0limi=1n21r2(ξi)Δθi= ∫ α βf(θ)dθ\int_{\alpha}^{\beta}f(\theta)\mathrm{d}\theta αβf(θ)dθ= 1 2 ∫ α β r 2(θ)dθ\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2(\theta)\mathrm{d}\theta 21αβr2(θ)dθ
    • 从而的公式S= 1 2 ∫ α β r 2(θ)dθS=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2(\theta)\mathrm{d}\theta S=21αβr2(θ)dθ,就是曲边扇形的面积
  • 进一步地,若要求出曲扇环,(这里指扇环的两条圆弧改为一般曲线弧后的图形)

    • 结合曲边扇形的描述,用极坐标描述这个图形为:两个直边重合的曲边扇形面积之差
    • 即,由射线θ=α,θ=β\theta=\alpha,\theta=\beta θ=α,θ=β,曲线r= r 1(θ)r=r_1(\theta) r=r1(θ),r= r 2(θ)r=r_2(\theta) r=r2(θ),( r 2(θ)⩽ r 1(θ))(r_2(\theta)\leqslant r_1(\theta)) (r2(θ)r1(θ))所围成的图形面积为S= 1 2 ∫ α β r 1 2(θ)dθS=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r_1^2(\theta)\mathrm{d}\theta S=21αβr12(θ)dθ 1 2 ∫ α β r 2 2(θ)dθ\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r_2^2(\theta)\mathrm{d}\theta 21αβr22(θ)dθ= 1 2 ∫ α β[ r 1 2(θ)− r 2 2(θ)]dθ\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}[r_1^2(\theta)-r_2^2(\theta)]\mathrm{d}\theta 21αβ[r12(θ)r22(θ)]dθ

平行截面面积为已知的立体体积

  • 考虑夹在垂直于xx x轴的两个(立体空间)平面x=ax=a x=ax=bx=b x=b,(a<b)(a<b) (a<b)之间的立体VV V的体积(其体积也不妨记为VV V)
  • 假定[a,b][a,b] [a,b]内任何一点处作垂直于xx x轴的平面截立体V的面积为A(x)A(x) A(x),且A(x)A(x) A(x)是一个连续函数(为可以执行定积分计算作铺垫)
  • 推导体积VV V的过程也是采用微分法,利用定积分的定义推导公式
  • xx x轴上的[a,b][a,b] [a,b]区间划分为nn n分,并设分点为a= x 0< x 1<⋯< x n=ba=x_0<x_1<\cdots<x_n=b a=x0<x1<<xn=b
    • ii i个小区间宽度为Δ x i= x i− x i−1 \Delta{x_i}=x_i-x_{i-1} Δxi=xixi1,(i=1,2,⋯   ,n)(i=1,2,\cdots,n) (i=1,2,,n)
  • 并令λ= max⁡1⩽i⩽n {   Δ x i   }\lambda=\max\limits_{1\leqslant{i}\leqslant{n}}\set{\Delta{x_{i}}} λ=1inmax{Δxi};过 x ix_i xi作垂直于xx x轴的平面x= x ix=x_i x=xi,i=1,2,⋯   ,ni=1,2,\cdots,n i=1,2,,n,它们分别截立体V得到nn n个小部分 V iV_i Vi,任取 ξ i∈ ( x i − 1, xi)\xi_{i}\in{(x_{i-1},x_i)} ξi(xi1,xi),即用底面积为A( ξ i)A(\xi_i) A(ξi),厚度为Δ x i\Delta{x}_i Δxi的薄片(体积为A( ξ i)Δ x iA(\xi_i)\Delta{x}_{i} A(ξi)Δxi)的体积之和 ∑ i=1nA( ξ i)Δ x i\sum_{i=1}^{n}A(\xi_i)\Delta{x_i} i=1nA(ξi)Δxi估计(逼近)VV V;
  • lim⁡λ→0∑ i = 1nA ( ξi) Δ xi \lim\limits_{\lambda\to{0}}{\sum_{i=1}^{n}A(\xi_i)\Delta{x_i}} λ0limi=1nA(ξi)Δxi= ∫ a bA(x)dx\int_{a}^{b}A(x)\mathrm{d}x abA(x)dx,因此V= ∫ a bA(x)dxV=\int_{a}^{b}A(x)\mathrm{d}x V=abA(x)dx(1)

旋转体的体积

  • 旋转面:设有一块由连续曲线y=f(x)y=f(x) y=f(x),(f(x)⩾0)(f(x)\geqslant{0}) (f(x)0)以及直线x=a,x=bx=a,x=b x=a,x=b,(a<b)(a<b) (a<b)xx x轴围成的曲边梯形记为AA A

xxx轴旋转

  • 图形AA Axx x轴旋转一周而生成的一个旋转体 V xV_{x} Vx,显然垂直于xx x轴的面截该立体得到的是圆盘,并且圆盘体积为xx x的函数A(x)A(x) A(x)=π f2( x )\pi{f^2(x)} πf2(x)(2)
  • 此时问题转换为截面积已知的立体体积,将(2)式代入(1)式,得 V xV_{x} Vx=π ∫ a b f 2(x)dx\pi\int_{a}^{b}f^2(x)\mathrm{d}x πabf2(x)dx

yyy轴旋转

  • 图形AA Ayy y轴旋转一周而生成的一个旋转体 V yV_y Vy,可以考虑使用它套筒法取微元积分
  • 即,用平行于yy y轴的圆柱面去截此旋转体,截面为周长为2πx2\pi{x} 2πx,高度为f(x)f(x) f(x)的圆柱侧面,面积记为A(x)A(x) A(x)=2πxf(x)2\pi{x}f(x) 2πxf(x)(3)
  • 同样代入公式(1),的 V yV_y Vy=2π ∫ a bxf(x)dx2\pi\int_{a}^{b}xf(x)\mathrm{d}x 2πabxf(x)dx

另一类型旋转体积

  • 若构造曲边梯形的曲线为x=ϕ(y)x=\phi(y) x=ϕ(y)形曲线,与直线y=c,y=dy=c,y=d y=c,y=d,(c<d)(c<d) (c<d)以及yy y轴构成的曲边梯形BB B作为旋转面
  • yy y轴旋转1周得到的立体体积应用类似于AA A旋转面旋转的立体体积计算方法可得
    • V y=π ∫ c d ϕ 2(y)dyV_y=\pi\int_{c}^{d}\phi^2(y)\mathrm{d}y Vy=πcdϕ2(y)dy

曲线弧长

  • 曲线弧长同样可以用微元法来求解
  • 我们用曲线的内折线的长度来逼近被求曲线弧长
  • 设平面上的曲线ll lA,BA,B A,B为端点,在ll l上任意取n+1n+1 n+1个点:A= M 0, M 1,⋯   , M n=BA=M_0,M_1,\cdots,M_n=B A=M0,M1,,Mn=B,链接 M i−1 , M iM_{i-1},M_i Mi1,Mi,i=1,2,⋯   ,ni=1,2,\cdots,n i=1,2,,n这些线段构成ll l内折线 l ′l’ l
  • nn n不断增大, M i−1M iM_{i-1}M_i Mi1Mi不断接近于0时,若 l ′l’ l的长度趋近于于一个极限值,则这个极限值就定义为ll l的长度;并且称此ll l可求长的
  • 定理:光滑曲线弧是可求长的

参数方程表示的曲线弧长

  • 设曲线ll l弧由参数方程x=ϕ(t)x=\phi(t) x=ϕ(t),y=ψ(t)y=\psi(t) y=ψ(t),(t∈[α,β])(t\in[\alpha,\beta]) (t[α,β])给出
    • 其中ϕ(t),ψ(t)\phi(t),\psi(t) ϕ(t),ψ(t)[α,β][\alpha,\beta] [α,β]上具有连续导数, ϕ ′(t), ψ ′(t)\phi'(t),\psi'(t) ϕ(t),ψ(t)不同时为0
    • 取参数tt t为积分变量其变化区间为[α,β][\alpha,\beta] [α,β],相应于[α,β][\alpha,\beta] [α,β]上任意小区间[t,t+dt][t,t+\mathrm{d}t] [t,t+dt]小弧段的长度Δs\Delta{s} Δs近似等于对应的的长度 (Δx ) 2+(Δy ) 2 \sqrt{(\Delta{x})^2+(\Delta{y})^2} (Δx)2+(Δy)2 ,
    • 因为
      • Δx=ϕ(t+dt)−ϕ(t)≈ d x\Delta{x}=\phi(t+\mathrm{d}t)-\phi(t)\approx{\mathrm{d}x} Δx=ϕ(t+dt)ϕ(t)dx= ϕ ′(t)dt\phi'(t)\mathrm{d}t ϕ(t)dt
      • Δy=ψ(t+dt)−ψ(t)≈ d y\Delta{y}=\psi(t+\mathrm{d}t)-\psi(t)\approx{\mathrm{d}y} Δy=ψ(t+dt)ψ(t)dy= ψ ′(t)dt\psi'(t)\mathrm{d}t ψ(t)dt
    • Δs\Delta{s} Δs的近似值(弧微分),即弧长微元ds\mathrm{d}s ds= (dx ) 2+(dy ) 2 \sqrt{(\mathrm{d}x)^{2}+(\mathrm{d}y)^2} (dx)2+(dy)2 = ( ϕ ′(t)dt ) 2+( ψ ′(t)dt ) 2 \sqrt{(\phi'(t)\mathrm{d}t)^2+(\psi'(t)\mathrm{d}t)^2} (ϕ(t)dt)2+(ψ(t)dt)2 =ϕ ′2 (t)+ ψ ′2 (t) dt\sqrt{\phi’^2(t)+\psi’^2(t)}\mathrm{d}t ϕ′2(t)+ψ′2(t) dt(0)
    • 所求弧长为s= ∫ α βϕ ′2 (t)+ ψ ′2 (t) dts=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\phi’^2(t)+\psi’^2(t)}\mathrm{d}t s=αβϕ′2(t)+ψ′2(t) dt(1)

直角坐标方程表示的曲线弧长

  • 设曲线弧由直角坐标方程y=f(x)y=f(x) y=f(x),(x∈[a,b])(x\in[a,b]) (x[a,b])给出
  • 其中f(x)f(x) f(x)[a,b][a,b] [a,b]上具有一阶连续导数,此时曲线弧的参数方程表示为(2)x=xx=x x=x;y=f(x)y=f(x) y=f(x),(x∈[a,b])(x\in[a,b]) (x[a,b]),参数为xx x
  • 从而问题转换为第一类问题,将方程组(2)代入(1),参数tt t替换为xx x;(积分变量tt t替换为x)x) x),积分限替换为[a,b][a,b] [a,b],得s= ∫ a b 1+ y ′2dxs=\int_{a}^{b}\sqrt{1+y’^2}\mathrm{d}x s=ab1+y′2 dx(3)

极坐标方程表示得曲线弧长

  • 可同样转换为参数方程类型
  • 设曲线弧由极坐标r=r(θ)r=r(\theta) r=r(θ),θ∈[α,β]\theta\in[\alpha,\beta] θ[α,β]给出,其中r(θ)r(\theta) r(θ)[α,β][\alpha,\beta] [α,β]上具有连续导数,则由直角坐标和极坐标转换公式可得该曲线弧的参数方程表示:(4)
    • x=x(θ)=r(θ)cos⁡θx=x(\theta)=r(\theta)\cos{\theta} x=x(θ)=r(θ)cosθ,y=y(θ)=r(θ)sin⁡θy=y(\theta)=r(\theta)\sin\theta y=y(θ)=r(θ)sinθ,(θ∈[α,β])(\theta\in[\alpha,\beta]) (θ[α,β])
    • 这就是以极角θ\theta θ为参数的曲线弧的参数方程
  • 于是弧长微元由公式(0),得ds\mathrm{d}s ds=x ′2 (θ)+ y ′2 (θ) dθ\sqrt{x’^2(\theta)+y’^2(\theta)}\mathrm{d}\theta x′2(θ)+y′2(θ) dθ= [ r ′(θ)cos⁡θ−r(θ)sin⁡θ ] 2−[ r ′(θ)sin⁡θ+r(θ)cos⁡θ ] 2 dθ\sqrt{[r'(\theta)\cos{\theta}-r(\theta)\sin\theta]^2-[r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta]^2}\mathrm{d}\theta [r(θ)cosθr(θ)sinθ]2[r(θ)sinθ+r(θ)cosθ]2 dθ=r ′2 (θ)+ r 2(θ) dθ\sqrt{r’^2(\theta)+r^2(\theta)}\mathrm{d}\theta r′2(θ)+r2(θ) dθ(5)
  • 从而所求弧长为s= ∫ α βr ′2 (θ)+ r 2(θ) dθs=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r’^2(\theta)+r^2(\theta)}\mathrm{d}\theta s=αβr′2(θ)+r2(θ) dθ(6)

小结

  • 参数方程表示曲线的能力最强,上述3种情形的后两种曲线形式都可以转换为参数方程形式,从而进一步推导出曲线不同表示方式下的曲线弧长公式