【C++】平衡二叉搜索树的模拟实现

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一、AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。

因此，有两位科学家发明了一种方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树

• 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在O(log_2n)，搜索时间复杂度O(log_2n)

二、AVL树节点的定义

#include using namespace std;template<class K, class V>struct AVLTreeNode{pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;//该节点的左孩子AVLTreeNode<K, V>* _right;//该节点的右孩子AVLTreeNode<K, V>* _parent;//该节点是父亲节点int _bf;//平衡因子AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0){}};

三、AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子

注：

• 新增节点如果在左边的话，平衡因子需要_bf–；

• 新增节点如果在右边，平衡因子需要_bf++;

• 更新后parent平衡因子==0，说明parent所在的子树高度不变，不会再影响祖先，不用再沿着到root的路径上进行更新

• 更新后parent的平衡因子==1 or -1，说明parent所在的左右子树的高度变化，会影响祖先，需要继续沿着root的路径上往上更新

• 更新后parent的phenomena因子==2 or -2，说明parent所在的子树的高度变化且不平衡对parent所在子树进行旋转，让它平衡

• 更新根节点

而树的旋转需要分为四种情况：左单旋转、右单旋转、左右双旋、右左双旋

1.AVL树的右单旋转

• 新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋

上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在

2. 60可能是根节点，也可能是子树

   如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点

   如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树

void RotateR(Node* parent){Node* cur = parent->_left;Node* curRight = cur->_right;parent->_left = curRight;cur->_right = parent;Node* ppNode = parent->_parent;if (curRight)//右孩子可能存在，也可能不存在，所以需要判断，需要在parent改变前判断{curRight->_parent = parent;}parent->_parent = cur;if (parent == _root)//parent可能是根节点，也可能不是根节点{_root = cur;cur->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = cur;}else{ppNode->_right = cur;}cur->_parent = ppNode;}cur->_bf = parent->_bf = 0;//将平衡因子调整}

2.AVL树的左单旋转

• 新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋

这里进行参考右单旋转就可理解

注：如果是左单旋转parent的平衡因子应该是2，cur的平衡因子应该是1
如果是右单旋转parent的平衡因子应该是-2，cur的平衡因子应该是-1。

3.AVL树的先左单旋再右单旋

• 新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋

即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。

注：平衡因子的更新分为三种情况

1.当h是为0的时候，进行左右双旋，那么它的平衡因子都是为0的。

2.当h>0的时候，进行左右双旋，那么它的平衡因子修改分为两种情况

(1)当插入节点在b的位置，如图所示，30节点的平衡因子修改为0，60节点的平衡因子修改为090节点的平衡因子修改为1

(2)当擦汗如节点在c的位置，将上图的紫色方框放到c的位置，那么60和90节点的平衡因子为0，30节点的平衡因子为-1.这个平衡因子的修改是根据目录AVL树的定义的方式修改的。

具体代码：

void RotateLR(Node* parent){Node* cur = parent->_left;Node* curRight = cur->_right;int bf = curRight->_bf;//复用左单旋转和右单旋转RotateL(cur);RotateR(parent);if (bf == 0){parent->_bf = 0;cur->_bf = 0;curRight->_bf = 0;}else if (bf == -1)//curRight的左树插入新节点{parent->_bf = 1;cur->_bf = 0;curRight->_bf = 0;}else if (bf == 1)//curRight的右树插入新节点{cur->_bf = -1;parent->_bf = 0;curRight->_bf = 0;}else//不可能出现此情况，如果出现就是出错{assert(false);}}

4.AVL树的先右单旋再左单旋

• 新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋

参考左右双旋。具体代码如下：

void RotateRL(Node* parent){Node* cur = parent->_right;Node* curleft = cur->_left;int bf = curleft->_bf;//复用右单旋转和左单旋转RotateR(cur);RotateL(parent);if (bf == 0){parent->_bf = 0;cur->_bf = 0;curleft->_bf = 0;}else if (bf == 1)//curLeft的右树插入新节点{parent->_bf = -1;cur->_bf = 0;curleft->_bf = 0;}else if(bf == -1)//curLeft的左树插入新节点{cur->_bf = 1;parent->_bf = 0;curleft->_bf = 0;}else{assert(false);}}

四、AVL树代码的验证

int TreeHight(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int leftHight = TreeHight(root->_left);int rightHight = TreeHight(root->_right);return leftHight > rightHight " />+ 1 : rightHight + 1;}void Inorder(){_Inorder(_root);}bool IsBalance(){return _IsBalance(_root);}

五、AVL树的删除（略）

按照二叉搜索树的方式对平衡二叉树节点进行删除。更新平衡因子时，平衡因子为1或-1便可以停止向上更新。

当平衡因子绝对值大于1时，同样需要进行旋转解决。

六、AVL树的整体代码

#include #include using namespace std;template<class K, class V>struct AVLTreeNode{pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;//该节点的左孩子AVLTreeNode<K, V>* _right;//该节点的右孩子AVLTreeNode<K, V>* _parent;//该节点是父亲节点int _bf;//平衡因子AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0){}};template<class K, class V>class AVLTree{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;// ... 控制平衡// 更新平衡因子while (parent){if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}else // if (cur == parent->_right){parent->_bf++;}if (parent->_bf == 0){// 更新结束break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){// 继续往上更新cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 子树不平衡了，需要旋转if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)//左单旋{RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)//右单旋{RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)//右左双旋{RotateRL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)//左右双旋{RotateLR(parent);}else{assert(false);}break;}else{assert(false);}}return true;}void RotateLR(Node* parent){Node* cur = parent->_left;Node* curRight = cur->_right;int bf = curRight->_bf;//复用左单旋转和右单旋转RotateL(cur);RotateR(parent);if (bf == 0){parent->_bf = 0;cur->_bf = 0;curRight->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 1;cur->_bf = 0;curRight->_bf = 0;}else if (bf == 1){cur->_bf = -1;parent->_bf = 0;curRight->_bf = 0;}else{assert(false);}}void RotateRL(Node* parent){Node* cur = parent->_right;Node* curleft = cur->_left;int bf = curleft->_bf;//复用右单旋转和左单旋转RotateR(cur);RotateL(parent);if (bf == 0){parent->_bf = 0;cur->_bf = 0;curleft->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = -1;cur->_bf = 0;curleft->_bf = 0;}else if(bf == -1){cur->_bf = 1;parent->_bf = 0;curleft->_bf = 0;}else{assert(false);}}void RotateR(Node* parent){Node* cur = parent->_left;Node* curRight = cur->_right;parent->_left = curRight;cur->_right = parent;Node* ppNode = parent->_parent;if (curRight){curRight->_parent = parent;}parent->_parent = cur;if (parent == _root){_root = cur;cur->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = cur;}else{ppNode->_right = cur;}cur->_parent = ppNode;}cur->_bf = parent->_bf = 0;}void RotateL(Node* parent){Node* cur = parent->_right;Node* curleft = cur->_left;parent->_right = curleft;if (curleft)//判断是否为空，空的话就不用接上父亲节点{curleft->_parent = parent;}cur->_left = parent;Node* ppnode = parent->_parent;parent->_parent = cur;if (parent == _root){_root = cur;cur->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = cur;}else{ppnode->_right = cur;}cur->_parent = ppnode;}parent->_bf = cur->_bf = 0;}int TreeHight(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int leftHight = TreeHight(root->_left);int rightHight = TreeHight(root->_right);return leftHight > rightHight ? leftHight + 1 : rightHight + 1;}void Inorder(){_Inorder(_root);}bool IsBalance(){return _IsBalance(_root);}private:void _Inorder(Node* root){if (root == nullptr)return;_Inorder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_Inorder(root->_right);}bool _IsBalance(Node* root){if (root == nullptr)return true;int leftHight = TreeHight(root->_left);int rightHight = TreeHight(root->_right);//检查平衡因子对不对if (rightHight - leftHight != root->_bf){cout << "平衡因子出现异常" << endl;return false;}//需要递归检查是否平衡return (leftHight - rightHight <= 1 && leftHight - rightHight >= -1)&& _IsBalance(root->_left) && _IsBalance(root->_right);}private:Node* _root = nullptr;};

测试代码：

#include "9.7AVLtree.h"int main(){//int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };//int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };//AVLTree t;//for (auto e : a)//{//t.Insert(make_pair(e, e));//}// //t.Inorder();////cout << t.IsBalance() << endl;srand((unsigned int)time(0));const size_t N = 10000;AVLTree<int, int> t;for (size_t i = 0; i < N; ++i){size_t x = rand();t.Insert(make_pair(x, x));//cout << t.IsBalance() << endl;}t.Inorder();cout << t.IsBalance() << endl;return 0;}