圆锥曲线的切线方程及其性质

一、椭圆的切线方程

我们先求椭圆的割线方程。设有椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) 。取椭圆上两点 (\(x_0\), \(y_0\))，(\(x_1\), \(y_1\))， 则过两点的割线方程可表示为

\[y – y_0 = \dfrac{y_1 – y_0}{x_1 – x_0} (x – x_0) = \dfrac{y_1^2 – y_0^2}{(x_1 – x_0)(y_1 + y_0)} (x – x_0)\]

利用 \(y_0^2\) = \(b^2\) – \(\dfrac{b^2}{a^2}\) \(x_0^2\)， \(y_1^2\) = \(b^2\) – \(\dfrac{b^2}{a^2}\) \(x_1^2\)，我们可以化简得到

\[y – y_0 = -\dfrac{b^2}{a^2} \dfrac{x_1 + x_0}{y_1 + y_0} (x – x_0)\]

令 \(y_1\) = \(y_0\) ， \(x_1\) = \(x_0\)， 即可得到椭圆的切线方程

\[y – y_0 = -\dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0} (x – x_0)\]

整理得

\[\dfrac{x_0 x}{a^2} + \dfrac{y_0 y}{b^2} = 1\]

二、圆锥曲线的切线方程

经圆锥曲线上一点(\(x_0\), \(y_0\))的切线方程为

\[\text{椭圆 } \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \dfrac{x_0 x}{a^2} + \dfrac{y_0 y}{b^2} = 1\]

\[\text{双曲线 } \dfrac{x^2}{a^2} – \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \dfrac{x_0 x}{a^2} – \dfrac{y_0 y}{b^2} = 1\]

\[\text{抛物线 } y^2 = 2px \Rightarrow y_0 y = p(x + x_0)\]

不难发现，对于圆锥曲线的切线方程，有以下代换规则

\[x_0 x \rightarrow x^2, y_0 y \rightarrow y^2\]

\[\dfrac{x_0 + x}{2} \rightarrow x，\dfrac{y_0 y}{2} \rightarrow y\]

三、圆锥曲线的切线相关性质

  1. 双曲线的两条渐近线所夹的切线段被切点平分。

如图，P (\(x_0\), \(y_0\)) 为双曲线 \(\dfrac{x^2}{a^2} – \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) 上一点，与双曲线的渐近线 y = \(\pm\) \(\dfrac{b}{a}\)x 相交于 M, N 两点，则 P 为 MN 的中点。

证明如下:

过点 P 的切线方程为 \(\dfrac{x_0 x}{a^2} – \dfrac{y_0 y}{b^2} = 1\)，与双曲线的渐近线 y = \(\pm\) \(\dfrac{b}{a}\)x 相交于

\[M(\dfrac{a^2 b}{b x_0 – a y_0}, \dfrac{a b^2}{b x_0 – a y_0}), N(\dfrac{a^2 b}{b x_0 + a y_0}, \dfrac{a b^2}{b x_0 + a y_0})\]

易得 P(\(x_0\), \(y_0\)) 为线段 MN 的中点

  1. 圆锥曲线的光学性质

    1. 过椭圆上一点的切线的垂线（即法线）平分过该点的两条焦半径的夹角。

    2. 过双曲线上一点的切线的垂线（即法线）平分过该点的两条焦半径的夹角的补角。

    3. 过抛物线上一点的切线的垂线（即法线）平分过该点的焦半径与过该点且平行于对称轴的直线的夹角。

以下给出性质 1 的证明。

欲证明两角相等，我们可以借助平面向量。

过椭圆上一点 P(\(x_0\)，\(y_0\)) 的切线方程为 \(\dfrac{x_0 x}{a^2} + \dfrac{y_0 y}{b^2} = 1\)

因此过该点的法线的方向向量 \(\vec{n} = (b^2 x_0, a^2 y_0)\)

又 \(\vec{F_1 P} = (x_0 + c, y)\), \(\vec{F_2 P} = (x_0 – c, y)\), 且 |\(\vec{F_1 P}\)| = a + e\(x_0\), |\(\vec{F_2 P}\)| = a – e\(x_0\)

所以

\[\cos <\vec{F_1 P}, \vec{n}> = \dfrac{(b^2 x_0^2 + a^2 y_0^2) + b^2 c x_0}{\dfrac{a^2 + c x_0}{a} |\vec{n}|} = \dfrac{(a^2 + c x_0) b^2}{\dfrac{a^2 + c x_0}{a} |\vec{n}|} = \dfrac{a b^2}{|\vec{n}|}\]

\[\cos <\vec{F_2 P}, \vec{n}> = \dfrac{(b^2 x_0^2 + a^2 y_0^2) – b^2 c x_0}{\dfrac{a^2 – c x_0}{a} |\vec{n}|} = \dfrac{(a^2 – c x_0) b^2}{\dfrac{a^2 – c x_0}{a} |\vec{n}|} = \dfrac{a b^2}{|\vec{n}|}\]

故 <\(\vec{F_1 P}, \vec{n}\)> = <\(\vec{F_2 P}, \vec{n}\)>

该性质揭示了椭圆的光学性质：从椭圆一焦点发出的光线其反射光线经过另一个焦点。