目录

  • 前言
  • 一、树剖是什么？
  • 二、重链剖分
  • 树剖的实现
  • 例题
  • 总结

前言

在同学们一路走来的过程中，一定已经学习了倍增求 LCA 的算法。

倍增求 LCA 算法只适用于少部分情况，那么，如果要求在求出 LCA 的同时，对两点 \(a, b\) 之间的所有点权（或边权）进行求和或修改，又该怎么做呢？这里介绍一种 树链剖分 的方法（树链剖分有多种，这里只介绍其中用途最广的一种，重链剖分）。

随笔同步发布于 CSDN。

一、树剖是什么？

顾名思义，树链剖分就是将整棵树剖分为若干条链，使它组合成一个线性结构，然后用其他的数据结构维护树上的信息。

重链剖分 可以将树上的任意一条路径划分成不超过 \(O(\log n)\) 条连续的链，保证划分出的每条链上的节点 DFS 序 连续，因此可以方便地使用 线段树 之类的数据结构来维护树上的信息。

二、重链剖分

首先，我们要明确一些定义：

  • 重子节点：某个点的子节点中子树最大的子结点。如果有多个子树最大的子结点，取其中任意一个即可。如果该点没有子节点，就无重子节点。

  • 轻子节点：除重子节点以外的所有子结点。

  • 重边：从节点到重子节点的边。

  • 轻边：从节点到轻子节点的边。

  • 重链：由若干条首尾衔接的重边构成的链。

若我们把无重子节点的点也当成一条重链，则这棵树就可以被划分成若干条互不相交的重链。容易发现，一颗子树内的 DFS 序是连续的。这也方便了我们维护字树内的值。

其实有一种树剖方试叫轻链剖分，划分的方法与重链剖分类似，这里不多赘述。

注：图片引自 OI-WIKI。

树剖的实现

重剖的实现是由两个 DFS 完成的。

对于每个节点 \(u\)：

  • 用第一个 DFS 记录每个结点的父节点（记作 \(f_u\)）、深度（记作 \(dep_u\)）、子树大小（记作 \(son_u\)）、重子节点（记作 \(heavy_u\)）。

  • 第二个 DFS 则记录所在链的头（记作 \(top_u\)）、按先重边后轻边的顺序遍历时的 DFS 序（记作 \(dfn_u\)）、DFS 序对应的节点编号（由于 C++ 中 \(\texttt{rank}\) 为关键字，记作 \(ranki_u\)）。显然，有 \(ranki_{dfn_u}=u\)。

修改部分：

  • 对于每次两点之间路径上的点的区间修改或查询操作，将两个点沿着重链不断向上跳祖先，由于每条链内的点的 DFS 序一定是连续的，所以区间修改/查询 \(dfn_{top_x} \sim dfn_x\) 即可。

  • 对于以某个顶点为根的子树的修改操作，由于这棵子树内的 DFS 序连续（上文已说明），区间修改/查询 \(dfn_x \sim dfn_x+son_x-1\) 即可。

  • 使用 线段树 维护修改标记即可。

模板题代码（洛谷 P3384 【模板】重链剖分/树链剖分）：

// Problem: P3384 【模板】重链剖分/树链剖分// Contest: Luogu// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P3384// Memory Limit: 128 MB// Time Limit: 1000 ms// // Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)#include using namespace std;#define int long longconst int N = 100005;int n, m, r, p, tot, opt, x, y, z, cnt;int heavy[N], son[N], dfn[N], top[N], ranki[N], val[N], dep[N], f[N], head[N];struct edge{int to, nxt;}e[N << 1];struct node{int l, r, tag, sum;}tree[N < son[heavy[u]]) heavy[u] = v;}return;}inline void dfs2(int u, int tp){top[u] = tp, dfn[u] = ++cnt, ranki[dfn[u]] = u;if(!heavy[u]) return;dfs2(heavy[u], tp);for(int i = head[u]; ~i; i = e[i].nxt){int v = e[i].to;if(v != f[u] && v != heavy[u]) dfs2(v, v);}return;}inline void push_up(int x){tree[x].sum = tree[x << 1].sum + tree[x << 1 | 1].sum;}inline void push_down(int x){tree[x << 1].tag += tree[x].tag, tree[x << 1].tag %= p;tree[x << 1 | 1].tag += tree[x].tag, tree[x << 1 | 1].tag %= p;tree[x << 1].sum = (tree[x << 1].sum + tree[x].tag * (tree[x << 1].r - tree[x << 1].l + 1)) % p;tree[x << 1 | 1].sum = (tree[x << 1 | 1].sum + tree[x].tag * (tree[x << 1 | 1].r - tree[x <> 1;build(l, mid, x << 1);build(mid + 1, r, x << 1 | 1);push_up(x);}inline void update(int l, int r, int k, int x){if(l <= tree[x].l && tree[x].r > 1;push_down(x);if(l <= mid) update(l, r, k, x < mid) update(l, r, k, x << 1 | 1);push_up(x);}inline int query(int l, int r, int x){if(l <= tree[x].l && tree[x].r > 1, ans = 0;push_down(x);if(l <= mid) ans += query(l, r, x < mid) ans += query(l, r, x << 1 | 1);push_up(x);return ans % p;}inline void change(int x, int y, int z){while(top[x] != top[y]){if(dep[top[x]]  dfn[y]) swap(x, y);update(dfn[x], dfn[y], z, 1);}inline int ask(int x, int y){int ans = 0;while(top[x] != top[y]){if(dep[top[x]]  dfn[y]) swap(x, y);return (ans + query(dfn[x], dfn[y], 1)) % p;}signed main(){ios :: sync_with_stdio(false);memset(head, -1, sizeof head);cin >> n >> m >> r >> p;for(int i = 1; i > val[i];for(int i = 1; i > x >> y;add_edge(x, y);add_edge(y, x);}dfs1(r, 0);dfs2(r, 0);build(1, n, 1);while(m--){cin >> opt;if(opt == 1){cin >> x >> y >> z;change(x, y, z);}else if(opt == 2){cin >> x >> y;cout << ask(x, y) % p <> x >> z;update(dfn[x], dfn[x] + son[x] - 1, z, 1);}else if(opt == 4){cin >> x;cout << query(dfn[x], dfn[x] + son[x] - 1, 1) % p << '\n';}}return 0;}

例题

洛谷 P3384 【模板】重链剖分/树链剖分

洛谷 P2590 [ZJOI2008] 树的统计}

洛谷 P3128 [USACO15DEC] Max Flow P

洛谷 P3038 [USACO11DEC] Grass Planting G

洛谷 P3833 [SHOI2012] 魔法树

洛谷 P4114 Qtree1

洛谷 P2146 [NOI2015] 软件包管理器

洛谷 P4281 [AHOI2008] 紧急集合 / 聚会

洛谷 P1505 [国家集训队] 旅游

总结

以上就是树链剖分的内容，本文仅仅简单介绍了重链剖分的思路与实现流程，而重链剖分能解决的问题还远不止于此。