• 数论
    • 质数
      • 在大于1的整数中，只包含1和本身这两个约数，就被称为质数，也叫素数
      • 质数的判定
        • 试除法
          • 遍历2-n，若有约数则不为质数 O(n)
          • 优化：
            • d整除n，则n/d也整除n，约数总是成对出现，只要找较小的约数，即取d <= n/d，则d <= sqrt(n) 只用遍历2-sqrt(n) O(sqrt(n))
            • 不用 i * i <= n ，i过大会溢出
            • sqrt()函数较慢，只用遍历 d–n/d，即限制范围为 i–n/i
          • 代码：
            //不用for(int i = 1; i * i <= n; ++ i) i * i 会溢出//不用for(int i = 1; i <= sqrt(n); ++ i) sqrt() 函数缓慢//用for(int i = 1; i <= n / i; ++ i)  不会溢出，快bool is_prime(int x){if(x < 2) return false;for(int i = 2; i <= n / i; ++ i)if(n % i == 0) return false;return true;}
      • 分解质因数
        • 试除法
          • 遍历2-n，找因子
          • n最多有一个大于sqrt(n)的因子，因此只用在2-sqrt(n)中找因子，最后判断最后一个因子是否为大于sqrt(n)的因子
          • 代码：
            //暴力做法void divide(int n){for(int i = 2; i <= n; ++ i){if(n % i == 0){int s = 0; //i的个数while(n % i == 0){n /= i; //除干净s ++ ;}cout << i << s << endl;}}}//优化void divide(int n){for(int i = 2; i <= n / i; ++ i){if(n % i == 0){int s = 0;while(n % i == 0){n /= i;s ++ ;}cout << i << s < 2) cout << n << 1;//n就是最后大于sqrt(n)的因子}
      • 筛选质数
        • 埃氏筛法
          • 从2-n，将每个数的倍数删掉，那么剩下的数就是质数 O(nln(n))
          • 优化：
            • 任何一个合数都可以拆成若干素数之积，因此只用将素数的倍数删掉 O(nln(ln(n))) ~ O(n)
          • 代码：
            int primes[N];int st[N];//标记是否被筛过void get_primes(int n){int cnt = 0;for(int i = 2; i <= n; ++ i){if(!st[i]){ //没有被筛过，说明是质数primes[ ++ cnt] = i;//筛该质数的所有倍数for(int j = i + i; j <= n; j += i) st[j] = 1;}}}
        • 线性筛法
          • 数据大小在107左右线性筛法比埃氏筛法快一倍，106左右差不多
          • n只会被它的最的最小质因子筛掉，利用最小质因子筛掉合数
          • 代码：
            int primes[N];int st[N];void get_primes(int n){int cnt = 0;for(int i = 2; i <= n; ++ i){if(!st[i]) primes[ ++ cnt] = i;//没有被筛掉就是质数for(int j = 1; primes[j] <= n / i; ++ j){//从小到大遍历质数st[primes[j] * i] = 1; //筛掉合数，若x是合数，当i遍历到x时，一定会先遍历到x的最小质因子prime，所以此时prime进入primes数组，当i遍历到x/prime时，x = prime*i会被筛掉，所以每个合数都能被筛掉，并且是在遍历到该合数之前被筛掉if(i % pimes[j] == 0) break; //i是合数筛掉i，i在之前就被标记过，所以不用再标记} }}
    • 约数
      • 求所有约数
        • 试除法
          • 代码：
            vector get_divisors(int n){vector res;for(int i = 1; i <= n / i; ++ i){if(n % i == 0){res.push_back(i);if(i != n / i) res.push_back(n / i);}}sort(res.begin(), res.end());return res;}
      • 约数的个数
        • 若\(N = p_1^{a_1} · p_2^{a_2} · p_3^{a_3} ··· ·p_n^{a_n}\) 其中p为N的所有质因子
        • 则N的约数个数为：\((a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)···(a_n+1)\)
          • 代码：
            const int mod = 1e7 + 10;unordered_map primes;//hash表存储每个质数有多少void get_primes(int n){for(int i = 2; i  1) primes[n] ++ ;}for(int i = 1; i <= n; ++ i) get_primes(a[i]);long long res = 0;for(auto p : primes) res = res * (p.second + 1) % mod;
        • 则N的约数总和为：\((p_1^{0}+p_1^{2}+···+p_1^{n})(p_2^{0}+p_2^{1}+···+p_2^{n})···(p_n^{0}+p_n^{1}+···+p_n^{n})\)
          • 代码：
            const int mod = 1e7 + 10;unordered_map primes;void get_primes(int n){for(int i = 2; i  1) primes[n] ++ ;}for(int i = 1; i <= n; ++ i) get_primes(a[i]);long long res = 1;for(auto p : primes){long long t = 1;int a = p.first, b = p.second;while(b -- ) t = (t * a + 1) % mod;res = res * t % mod;}
      • 最大公约数
        • 辗转相除法（欧几里得算法）O(logn)
        • a|b, a|c, 则 a|(b+c), 则a|(bx + cy)
        • 求a与b的最大公约数，设其公约数为c，则c|a, c|b, c|(ax + by), 设a = kb + m, 则m = a – kb, 则c|m, 又m = a % b, 则 c|(a % b), 即a与b的最大公约数，也是a%b的公约数，即gcd(a, b) = gcd(b, a % b)
        • 代码：
          int gcd(int a, int b){return b ? gcd(b, a % b) : a;}