数学建模篇—2022国赛C题（一）

先从今年的国赛C题说起吧，第一次建模比赛还是很紧张的，和队友晚上五点就在等着啦

初步看一下三道题，作为知识储备不深的三位小白果断选择C题，数据分析题

国赛C题：先来看一下题

问题 1 对这些玻璃文物的表面风化与其玻璃类型、纹饰和颜色的关系进行分析；结合玻 璃的类型，分析文物样品表面有无风化化学成分含量的统计规律，并根据风化点检测数据，预 测其风化前的化学成分含量。

我们的分析：

通过对58组玻璃文物表面风化情况与玻璃类型、纹饰和颜色之间进行相关性分析，同时采用卡方检验和fisher’s精确检验，详细分析了各类指标变量之间的相关关系，对比论证了分析结果的合理性；整理了各类玻璃不同风化情况下化学成分的数据，并绘制成化学含量分布直方图，通过对风化过程相关文献进行研究，选取主要指标变量（后续模型建立求解依旧沿用），并结合数据平均数和方差分析其统计规律；分析风化点检测数据，寻找风化过程中不变的参量，提出同一玻璃类型风化机理近似相同的假设，对各类玻璃化学成分含量这一数据进行散点图绘制，发现拟合曲线近似直线，针对风化前后同类玻璃的化学成分含量建立线性函数，利用最小二乘法计算出参数k，b，带入风化后的化学成分含量，得到观测值，对风化前含量进行预测。

解题过程：

3.1 基本假设

1. 文物挖掘地点相互独立，文物彼此之间没有影响。
2. 文物表面取样点随机，具有一定的代表性。
3. 各个观测指标具有相互独立的观测性。
4. 同种玻璃类型的风化机理近似相同。
5. 除了题干中给到的无效数据筛选，其余统计数据均为有效数据。

利用SPSS软件算出pearson卡方与显著性检验指标p的数值结果，根据概率统计学假设检验知识可知，设定显著性检验标准为p0=0.05，将p与p0进行对比（小于P0可以认为有95%的可能性拒绝原假设——认为相关）。此外，设相关性强弱指标P1=|P-P0|P0 ，虽然P0是拒绝与接受原假设的分界标准，但是P1一定程度也可以反映相关性的强弱，即：当pp0时，P1越大，相关性越弱。随后通过卡方检验的结果，进一步对变量合理性进行分析，划分变量类型应用于fisher’s检验，同时对比卡方检验和fisher’s检验结果（检验标准与卡方检验一致，也为p0）得出更具有普遍意义的结论。（检验表略）

卡方基本公式：

针对铅钡玻璃，所给数据点显示了其经历未风化——风化——严重风化阶段：在这一阶段中，二氧化硅含量在逐渐减少，但是其风化过程的稳定性一直很差，说明二氧化硅在铅钡玻璃风化过程中，其受到环境影响而发生化学变化导致含量改变的可能性很高；对于氧化铅、氧化钡，考虑总体趋势，两者含量在逐渐增多，但稳定性在逐渐减弱，由此分析可能随着风化程度加深，其化学性质越来越不稳定，容易受到环境影响而产生频繁的化学反应；对于氧化钙，在风化阶段中，其含量也在小幅度缓慢增加，相对于其他化学成分比较，基本不参与整个风化过程（化学性质较为稳定，进行化学反应的机会很少）

我们发现不同类型的玻璃风化前后化学成分的含量不同，但是他们有一个相反的变化趋势，因此我们建立线性拟合的方法给出化学成分之间的函数关系，即通过类别的划分，我们可以计算出（预测）风化前的主要成分含量，最后我们给出该线性模型的检验结果，证明其合理可靠。（结果略）

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问题 2 依据附件数据分析高钾玻璃、铅钡玻璃的分类规律；对于每个类别选择合适的化 学成分对其进行亚类划分，给出具体的划分方法及划分结果，并对分类结果的合理性和敏感性 进行分析。

我们的分析：

针对问题二，分析筛出无效数据后的66组文物取样点，建立k均值聚类模型，我们期望所得到与题目类似的模型分类结果，由题意可知，簇的数量k=2，利用欧式距离算法，算出中心簇，对所给数据进行划分，对比数据分析可知，发现所得到的分类结果与我们所期望的分类结果具有很高的近似度，根据数据的特征，给出相应的分类标准；考虑到数据的相关性，在亚类划分的过程中，我们结合了主成分分析和层次聚类模型，首先用层次聚类模型，同样用欧氏距离算法算出中心簇，给出分类结果，随后运用主成分分析，对14个化学成分变量指标进行降维分析，得到相似度极高的分类结论，同时对比两类分类结果给出分类依据，分析其合理性与敏感性。

解题过程：

本题需要依据数据分析铅钡玻璃、高钾玻璃的分布规律。因此考虑从聚类模型出发，期望得到符合我们分类要求的聚类结果，本题我们选取了K均值聚类算法，根据题目要求设定簇的数量为2，即k等于2，针对于计算与簇中心距离的方法，考虑采用欧氏距离算法，计算新的簇中心，最后得到两类聚类结果，根据所得两类数据，对照两类玻璃类型的数据进行分析检验，找出分类规律。

本题需要我们进一步对不同类型玻璃进行亚类划分，给出分类标准，分析其合理性和敏感性。根据题意，我们考虑到数据之间具有一定的相似性，因此首先想到了建立层次聚类分析模型，再由于考虑到样本容量大，变量多会导致不确定性的增肌，我们加入主成分（PCA）分析来对变量进行降维处理，和层次聚类结果进行对比。

k均值聚类模型的求解

1. 确定聚类的个数本题根据题意，最终目标得到两类结果，因此确定k=2
2. 给定聚类的数据集，有n个样本X={X1,X2,……Xn},每个样本都含有14个不同的化学成分作为变量Xij 0<i<n,(0<j<14) ，并将变量标准化

本题样本数据将通过Python的csv格式导入自定义数组，进行后续计算

1. 随机初始化聚类中心，我们本题随机初始化2个聚类中心，{M1,M2}
2. 本题我们距离计算采用欧式距离公式
3. d=Xi0-Mt2+(Xi0-Mt)2+….(Xij-Mt)2
4. 依次比较每一个样本到簇中心的距离，将样本划分到最近的簇中心
5. 根据计算新簇的均值与当前向量对比，确定新的簇中心，确定类别的划分，给出理想的距离簇中心的欧式距离的范围

Python结果和SPSS结果均最后附上；

层次聚类模型的求解

1. 相似于k均值聚类，确定聚类的个数，考虑到样本数量大，可分类的变量众多，为了得到相似性的分类结果，我们本题采用k=3
2. 给定聚类的数据集，有n个样本X={X1,X2,……Xn},每个样本都含有14个不同的化学成分作为变量Xij 0<i<n,(0<j<14) ，并将变量标准化

本题样本数据将通过Python的csv格式导入自定义数组，进行后续计算

1. 随机初始化聚类中心
2. 不同于k均值聚类，我们发现使用欧式距离的聚类效果差别太大，对于样本大的铅钡玻璃，我们采用平均值距离，高钾玻璃仍采用欧式距离
3. 依次比较每一个样本到簇中心的距离，将样本划分到最近的簇中心
4. 输出类别的划分

主成分分析的求解

1. 首先我们导入数据集，本题样本数据将通过Python的csv格式导入自定义数组，进行后续计算
2. 对数据进行去中心化和归一化处理
3. 计算协方差矩阵，得特征值和特征向量，进而确定主成分
4. 将特征向量按对应特征值大小从上到下按行排列成矩阵，取前k行组成矩阵P（保留最大的k各特征向量），给出k值选取检验的可视化分析
5. 降维到K维后的数据

结果的合理性和敏感性分析

1. 高钾玻璃和铅钡玻璃的分类结果利用SPSS准确率100%，利用Python还是有偏差，因此我们认为该部分Python算法有待改进，大致结果相似，证明两种玻璃类型差异显著，结果具有敏感性和合理性
2. 对两种玻璃进行亚类分析的结果层次分析和PCA具有高度的相似性，反映了该模型的准确性和合理性

……………（见二啦）

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