迪杰斯特拉算法（求最短路径）

迪杰斯特拉算法用于查找图中某个顶点到其它所有顶点的最短路径，该算法既适用于无向加权图，也适用于有向加权图。

注意，使用迪杰斯特拉算法查找最短路径时，必须保证图中所有边的权值为非负数，否则查找过程很容易出错。

迪杰斯特拉算法的实现思路

图 1 是一个无向加权图，我们就以此图为例，给大家讲解迪杰斯特拉算法的实现思路。

图 1 无向加权图

假设用迪杰斯特拉算法查找从顶点 0 到其它顶点的最短路径，具体过程是：

1. 统计从顶点 0 直达其它顶点的权值，如下表所示：

表 1 顶点 0 直达其它顶点的权值

∞ 表示两个顶点之间无法直达，对应的权值为无穷大。

2. 表 1 中，权值最小的是 0-1 路径，它也是从顶点 0 到顶点 1 的最短路径（如图 2 所示）。原因很简单，从顶点 0 出发一共只有 0-1 和 0-2 两条路径，0-2 的权值本就比 0-1 大，所以从 0-2 出发不可能找得到比 0-1 权值更小的路径。

图 2 最短路径 0-1

3. 找到最短路径 0-1 后，沿 0-1 路径方向查找更短的到达其它顶点的路径，并对表 1 进行更新。

表 2 沿 0-1 最短路径更新表 1

绿色加粗的权值是已确认为最短路径的权值，后续选择总权值最小的路径时不再重复选择；红色加粗的权值为刚刚更新的权值。

更新后的表格如表 2 所示，沿 0-1 路径可以到达顶点 3，且 0-1-3 的总权值比 0-3 更小。表 2 中，总权值最小的路径是 0-2，它也是从顶点 0 到顶点 2 的最短路径，如下图所示。

图 3 最短路径 0-2

4. 重复之前的操作，沿 0-2 路径方向查找更短的到达其它顶点的路径。遗憾地是，从顶点 2 只能到达顶点 3，且 0-2-3 的总权值比表 2 中记录的 0-1-3 更大，因此表 2 中记录的数据维持不变。

表 3 结合 0-2 最短路径更新表 2

5. 表 3 中，总权值最小的是 0-1-3，它也是顶点 0 到顶点 3 的最短路径。

图 4 最短路径 0-1-3

沿 0-1-3 路径方向，查找到其它顶点更短的路径并更新表 3。更新后的表格为：

表 4 结合 0-1-3 最短路径更新表 3

6. 表 4 中，总权值最小的是 0-1-3-4，它是顶点 0 到顶点 4 的最短路径。

图 5 最短路径 0-1-3-4

从顶点 4 出发，查找顶点 0 到其它顶点更短的路径并更新表 4。更新后的表格为：

表 5 结合 0-1-3-4 最短路径更新表 4

7. 表 5 中，总权值最小的路径是 0-1-3-4-6，它是顶点 0 到顶点 6 的最短路径。

图 6 最短路径 0-1-3-4-6

8. 从图 6 可以看到，只剩下顶点 0 到顶点 5 的最短路径尚未确定。从顶点 6 出发到达顶点 5 的路径是 0-1-3-4-6-5，对应的总权值为 25，大于表 5 中记录的 0-1-3-5 路径，因此 0-1-3-5 是顶点 0 到顶点 5 的最短路径。

图 7 最短路径 0-1-3-5

由此借助迪杰斯特拉算法，我们找出了顶点 0 到其它所有顶点的最短路径，如下表所示：

表 6 最短路径

迪杰斯特拉算法的具体实现

了解了迪杰斯特拉算法的实现过程之后，接下来分别编写 C、Java 和 Python 程序真正地实现迪杰斯特拉算法。

仍以图 1 为例，迪杰斯特拉算法查找顶点 0 到其它顶点所有最短路径的 C 语言程序为：

#include #define V 20 //顶点的最大个数#define INFINITY 65535typedef struct {int vexs[V]; //存储图中顶点数据int arcs[V][V];//二维数组，记录顶点之间的关系int vexnum, arcnum;//记录图的顶点数和弧（边）数}MGraph;//根据顶点本身数据，判断出顶点在二维数组中的位置int LocateVex(MGraph * G, int v) {int i = 0;//遍历一维数组，找到变量vfor (; i vexnum; i++) {if (G->vexs[i] == v) {break;}}//如果找不到，输出提示语句，返回-1if (i > G->vexnum) {printf("no such vertex.\n");return -1;}return i;}//构造无向有权图void CreateDG(MGraph *G) {printf("输入图的顶点数和边数：");scanf("%d %d", &(G->vexnum), &(G->arcnum));printf("输入各个顶点：");for (int i = 0; i vexnum; i++) {scanf("%d", &(G->vexs[i]));}for (int i = 0; i vexnum; i++) {for (int j = 0; j vexnum; j++) {G->arcs[i][j] = INFINITY;}}printf("输入各个边的数据：\n");for (int i = 0; i arcnum; i++) {int v1, v2, w;scanf("%d %d %d", &v1, &v2, &w);int n = LocateVex(G, v1);int m = LocateVex(G, v2);if (m == -1 || n == -1) {return;}G->arcs[n][m] = w;G->arcs[m][n] = w;}}//迪杰斯特拉算法，v0表示有向网中起始点所在数组中的下标void Dijkstra_minTree(MGraph G, int v0, int p[V], int D[V]) {int final[V];//为各个顶点配置一个标记值，用于确认该顶点是否已经找到最短路径//对各数组进行初始化for (int v = 0; v < G.vexnum; v++) {final[v] = 0;D[v] = G.arcs[v0][v];p[v] = 0;}//由于以v0位下标的顶点为起始点，所以不用再判断D[v0] = 0;final[v0] = 1;int k = 0;for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {int min = INFINITY;//选择到各顶点权值最小的顶点，即为本次能确定最短路径的顶点for (int w = 0; w < G.vexnum; w++) {if (!final[w]) {if (D[w] < min) {k = w;min = D[w];}}}//设置该顶点的标志位为1，避免下次重复判断final[k] = 1;//对v0到各顶点的权值进行更新for (int w = 0; w < G.vexnum; w++) {if (!final[w] && (min + G.arcs[k][w] < D[w])) {D[w] = min + G.arcs[k][w];p[w] = k;//记录各个最短路径上存在的顶点}}}}int main() {MGraph G;CreateDG(&G);int P[V] = { 0 }; // 记录顶点 0 到各个顶点的最短的路径int D[V] = { 0 }; // 记录顶点 0 到各个顶点的总权值Dijkstra_minTree(G, 0, P, D);printf("最短路径为：\n");for (int i = 1; i < G.vexnum; i++) {printf("%d - %d的最短路径中的顶点有：", i, 0);printf(" %d-", i);int j = i;//由于每一段最短路径上都记录着经过的顶点，所以采用嵌套的方式输出即可得到各个最短路径上的所有顶点while (P[j] != 0) {printf("%d-", P[j]);j = P[j];}printf("0\n");}printf("源点到各顶点的最短路径长度为:\n");for (int i = 1; i < G.vexnum; i++) {printf("%d - %d : %d \n", G.vexs[0], G.vexs[i], D[i]);}return 0;}

迪杰斯特拉算法查找顶点 0 到其它顶点所有最短路径的 Java 程序为：

import java.util.Scanner;public class Dijkstra {static int V = 9; // 图中边的数量public static class MGraph {int[] vexs = new int[V]; // 存储图中顶点数据int[][] arcs = new int[V][V]; // 二维数组，记录顶点之间的关系int vexnum, arcnum; // 记录图的顶点数和弧（边）数}public static int LocateVex(MGraph G, int V) {int i = 0;// 遍历一维数组，找到变量vfor (; i  G.vexnum) {System.out.println("顶点输入有误");return -1;}return i;}// 构造无向有权图public static void CreatDG(MGraph G) {Scanner scn = new Scanner(System.in);System.out.print("输入图的顶点数和边数：");G.vexnum = scn.nextInt();G.arcnum = scn.nextInt();System.out.print("输入各个顶点：");for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {G.vexs[i] = scn.nextInt();}for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {for (int j = 0; j < G.vexnum; j++) {G.arcs[i][j] = 65535;}}System.out.println("输入各个边的数据:");for (int i = 0; i < G.arcnum; i++) {int v1 = scn.nextInt();int v2 = scn.nextInt();int w = scn.nextInt();int n = LocateVex(G, v1);int m = LocateVex(G, v2);if (m == -1 || n == -1) {return;}G.arcs[n][m] = w;G.arcs[m][n] = w;}}// 迪杰斯特拉算法，v0表示有向网中起始点所在数组中的下标public static void Dijkstra_minTree(MGraph G, int v0, int[] p, int[] D) {int[] tab = new int[V]; // 为各个顶点配置一个标记值，用于确认该顶点是否已经找到最短路径// 对各数组进行初始化for (int v = 0; v < G.vexnum; v++) {tab[v] = 0;D[v] = G.arcs[v0][v];p[v] = 0;}// 由于以v0位下标的顶点为起始点，所以不用再判断D[v0] = 0;tab[v0] = 1;int k = 0;for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {int min = 65535;// 选择到各顶点权值最小的顶点，即为本次能确定最短路径的顶点for (int w = 0; w < G.vexnum; w++) {if (tab[w] != 1) {if (D[w] < min) {k = w;min = D[w];}}}// 设置该顶点的标志位为1，避免下次重复判断tab[k] = 1;// 对v0到各顶点的权值进行更新for (int w = 0; w < G.vexnum; w++) {if (tab[w] != 1 && (min + G.arcs[k][w] < D[w])) {D[w] = min + G.arcs[k][w];p[w] = k;// 记录各个最短路径上存在的顶点}}}}public static void main(String[] args) {MGraph G = new MGraph();CreatDG(G);int[] P = new int[V]; // 记录顶点 0 到各个顶点的最短的路径int[] D = new int[V]; // 记录顶点 0 到各个顶点的总权值Dijkstra_minTree(G, 0, P, D);System.out.println("最短路径为：");for (int i = 1; i < G.vexnum; i++) {System.out.print(i + " - " + 0 + " 的最短路径中的顶点有：");System.out.print(i + "-");int j = i;// 由于每一段最短路径上都记录着经过的顶点，所以采用嵌套的方式输出即可得到各个最短路径上的所有顶点while (P[j] != 0) {System.out.print(P[j] + "-");j = P[j];}System.out.println("0");}System.out.println("源点到各顶点的最短路径长度为:");for (int i = 1; i < G.vexnum; i++) {System.out.println(G.vexs[0] + " - " + G.vexs[i] + " : " + D[i]);}}}

迪杰斯特拉算法查找顶点 0 到其它顶点所有最短路径的 Python 程序为：

V = 20 #顶点的最大个数INFINITY = 65535#设定一个最大值P = [0]*V# 记录顶点 0 到各个顶点的最短的路径D = [0]*V# 记录顶点 0 到各个顶点的总权值class MGraph:vexs = []*V #存储图中顶点数据arcs = [[0]*V for i in range(V)]#二维列表，记录顶点之间的关系vexnum = 0#记录图的顶点数和弧（边）数arcnum = 0G = MGraph()#根据顶点本身数据，判断出顶点在二维数组中的位置def LocateVex(G,v):#遍历一维数组，找到变量vfor i in range(G.vexnum):if G.vexs[i] == v:break#如果找不到，输出提示语句，返回-1if i>G.vexnum:print("顶点输入有误")return -1return i#构造无向有权图def CreateDG(G):print("输入图的顶点数和边数：",end='')li = input().split()G.vexnum = int(li[0])G.arcnum = int(li[1])print("输入各个顶点：",end='')G.vexs = [int(i) for i in input().split()]for i in range(G.vexnum):for j in range(G.vexnum):G.arcs[i][j] = INFINITYprint("输入各个边的数据:")for i in range(G.arcnum):li = input().split()v1 = int(li[0])v2 = int(li[1])w = int(li[2])n = LocateVex(G,v1)m = LocateVex(G,v2)if m == -1 or n == -1:returnG.arcs[n][m] = wG.arcs[m][n] = wCreateDG(G)#迪杰斯特拉算法，v0表示有向网中起始点所在数组中的下标def Dijkstra_minTree(G,v0,P,D):#为各个顶点配置一个标记值，用于确认该顶点是否已经找到最短路径final = [0]*V#对各数组进行初始化for i in range(G.vexnum):D[i] = G.arcs[v0][i]#由于以v0位下标的顶点为起始点，所以不用再判断D[v0] = 0final[v0] = 1k =0for i in range(G.vexnum):low = INFINITY#选择到各顶点权值最小的顶点，即为本次能确定最短路径的顶点for w in range(G.vexnum):if not final[w]:if D[w] < low:k = wlow = D[w]#设置该顶点的标志位为1，避免下次重复判断final[k] = 1#对v0到各顶点的权值进行更新for w in range(G.vexnum):if not final[w] and (low + G.arcs[k][w]<D[w]):D[w] = low + G.arcs[k][w]P[w] = k #记录各个最短路径上存在的顶点Dijkstra_minTree(G,0,P,D)print("最短路径为：")for i in range(1,G.vexnum):print("%d - %d的最短路径中的顶点有："%(i,0),end='')print("%d-"%(i),end='')j = i#由于每一段最短路径上都记录着经过的顶点，所以采用嵌套的方式输出即可得到各个最短路径上的所有顶点while P[j] != 0:print("%d-"%(P[j]),end='')j = P[j]print("0")print("源点到各顶点的最短路径长度为:")for i in range(1,G.vexnum):print("%d - %d : %d"%(G.vexs[0], G.vexs[i], D[i]))

以上程序的执行过程为：

输入图的顶点数和边数：7 9
输入各个顶点：0 1 2 3 4 5 6

输入各个边的数据：
0 1 2
0 2 6
1 3 5
2 3 8
3 5 15
3 4 10
4 5 6
4 6 2
5 6 6
最短路径为：
1 – 0的最短路径中的顶点有： 1-0
2 – 0的最短路径中的顶点有： 2-0
3 – 0的最短路径中的顶点有： 3-1-0
4 – 0的最短路径中的顶点有： 4-3-1-0
5 – 0的最短路径中的顶点有： 5-3-1-0
6 – 0的最短路径中的顶点有： 6-4-3-1-0
源点到各顶点的最短路径长度为:
0 – 1 : 2
0 – 2 : 6
0 – 3 : 7
0 – 4 : 17
0 – 5 : 22
0 – 6 : 19