Hello大家好，今年数学建模国赛将于9月中旬举行，是时候提前做一些准备了。

本次模型非常简单，只是介绍比较得详细，我下次注意，争取限制下字数。

文末准备了层次分析-python模型的实现，简单懂得模型原理便能一眼看懂代码。

文章目录

一、层次分析法的例题

1.1 两两比较获得判断矩阵

1.2 一致性正互反矩阵的引入

1.2.1 一致性检验的步骤

1.3 根据一致性正互反矩阵计算权重

二、层次分析法

步骤：

三、层次分析法的一些局限性

四、模型拓展

1. 多个准则层：

2. 准则不对应全部方案：

*3. 一个准则只对应自己的方案

五、代码展示

代码1：

代码2：

层次分析(Theanalytichierarchyprocess) 简称AHP，是建模比赛中最基础的模型之一，其主要用于解决评价类问题（例如：选择哪种方案最好、哪位运动员或者员工表现的更优秀等。）

该方法仍具有较强的主观性，判断/比较矩阵的构造在一定程度上是凭感觉决定的，一致性检验只是检验 感觉 有没有自相矛盾得太离谱。

引例：

高考结束，坤坤面临选择大学的问题，摆在他面前的选择有两个：大学A和大学B。

坤坤觉得，他最关心的有四个方面：学习氛围，就业前景，男女比例，校园景色，权重分别为0.4，0.3，0.2，0.1。

那么坤坤要完成的，就是通过调查这两所学校的上面4个特征指标，对其进行打分，完成下表：

最终，经过坤坤百度以及各种调查，打分如下(要求同一特征不同大学分数之和为1)：

经计算：

• A = 0.4*0.6 + 0.3*0.5 + 0.2*0.3 + 0.1*0.2=0.47
• B = 0.53

B>A 因此最终小坤去了大学B。

即打分法解决评价问题时，只需要我们补充完成下面这张表格即可：

同颜色单元格之和为1。

一、层次分析法的例题

题目：

选择好大学后，坤坤准备在开学前去旅游，他决定在城市A，城市B，城市C中选择一个作为目标地点。

请你确定评价指标、形成评价体系来为坤坤同学选择最佳的方案。

从上面居中的这段话中，很直接得就告诉我们这是一个评价类问题，那么我们不妨用刚刚学到的层次分析来解决这个问题。

解决评价类问题，大家首先要想到以下三个问题：

• 我们评价的目标是什么？
  • 最佳旅游目标的选择
• 我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？
  • 城市A、B、C
• 评价的准则或者说指标是什么？
  • 我们根据什么东西来评价好坏？

那么问题来了，对于第三个问题，题目没给相关数据支撑，比如哪里的空气好啊费用低呀… 需要我们查阅相关的资料。

一般而言，前两个问题的答案很容易得到，第三个问题的答案需要我们根据题目中的背景材料、常识以及网上搜集到的参考资料进行结合，从中筛选出最合适的指标。

这个时候，我们就可以去知网（或者万方、百度学术、谷歌学术等平台）搜索相关的文献，这样一来，我们的论文也就有文献引用了，让我们的数据等看起来有理有据，显得专业，还能明目张胆地借鉴学习一下他们论文中的观点。

推荐一个据说很厉害的网站：虫部落快搜 – 搜索快人一步

那么现在，假如我们替坤坤查询了资料后选择了以下五个指标：

• 景点景色
• 旅游花费
• 居住环境
• 饮食情况
• 交通便利程度

接下来，要对坤坤如何提问才能帮他做出合理的决定？

这就要用到我们最开始学的那张表了

但是，如果我们直接问坤坤：权重多少，城市ABC评分多少，会显得十分片面且不周全(第二天再问他绝对又换了个数，他自己也记不清。)

在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难 是这些比重常常不易定量化。此外，当影响某因素的因子较多时，直接 考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此 失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至 有可能提出一组隐含矛盾的数据。

——选自司守奎[kuí]老师的《数学建模算法与应用》

因此，我们采用分而治之的思想，先来处理权重吧~

问题：

• 一次性考虑这五个指标之间的关系，往往考虑不周。

解决方法：

• 两个两个指标进行比较，最终根据两两比较的结果来推算出权重。

1.1 两两比较获得判断矩阵

简单来说就是我们这5个指标分别比较，比如我觉得：景色比花费更重要，饮食比交通非常重要… 通过这样的方式对不同的重要程度赋值 并 最后计算，从而得到权值。

接下来，就是两两比较五个指标对于选择最终的旅游景点的重要性。

我们绘制如下表格，其对角线肯定都为1：

问：景色和花费相比的重要程度？

坤：我认为景色比花费略重要，介于同等重要1和稍微重要3之间吧。

问：景色和居住相比的重要程度？

坤：我认为景色比居住要重要一点，介于稍微重要3和明显重要5之间吧。

这样坤坤回答完10次( )，填完了这张用于计算权重的表格(重要性更加稳定精确了)：

注：实际情况下没有坤坤帮我们回答，层次分析法中这张表是交给‘专家’ 填的，具体我们等后面再说。(其实我们自己凭感觉填，在论文中不说怎么来的也行，后面会有获奖案例鉴赏。)

这样，我们所形成的正互反矩阵，就是层次分析法中的判断矩阵。

得到判断矩阵，我们就可以计算出权重了，方法后面再讲。

同理，我们可以得到城市A、B、C在景色、花费、居住、饮食、交通所占的权重(得分)，因此需要再填5张表格，如问完了坤坤对于城市ABC中景色的看法：

其它关于花费、居住、饮食、交通的表我就略了。

注：一个可能出现问题的地方：

坤坤：我觉得x比y好，y比z好，z比x好或一样好。

如果把语气加重一些，谁比谁非常好，那么这种不一致的现象会更加严重。

1.2 一致性正互反矩阵的引入

此时，我们就要介绍一个东西：一致矩阵，用它来判断数据知否合理。

• 若矩阵中每个元素 ，则我们称该矩阵为正互反矩阵。
• 在层次分析法中，我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵。
• 若正互反矩阵满足 ，则我们称其为一致矩阵。

你看，上面这个矩阵就是一致矩阵。

比如我让i=1, j=2, k=3, 那么2*2=4：

令i=2, j=2, k=1, 那么1*1/2=1/2：

此外除了;

且当正反矩阵A非一致时，

从上图我们可以发现，当a=4也就是上方刚开始介绍的一致矩阵，此时最大特征值最小，为3=n也就是矩阵的阶数。若a不为4，或a离4越来越远，不一致现象越明显，则其特征值也递增。

1.2.1 一致性检验的步骤

1. 计算一致性指标CI

如果CR<0.1,则可认为判断矩阵的一致性可以接受；

否则需要对判断矩阵进行修正。

1.3 根据一致性正互反矩阵计算权重

以下表为例，虽然不是一致矩阵，但它的CR<0.1，我们选择接受不做调整。

(CR>0.1如何调整在后面)。

我们取出第一列，做归一化处理(城市ABC对于城市A的重要性是1、1/2、1/4)。

• 城市A = 1/(1+0.5+0.2) = 0.5882
• 城市B = 0.5/(1+0.5+0.2) = 0.2941
• 城市C = 0.2/(1+0.5+0.2) =0.1177

之后我们拿出二三列重复上面操作：

• 城市A = 2/(2+1+0.5) = 0.5714
• 城市B = 1/(2+1+0.5) = 0.2857
• 城市C = 0.5/(2+1+0.5) ==0.1429

• 城市A = 5/(5+2+1) = 0.625
• 城市B = 2/(5+2+1) = 0.25
• 城市C = 1/(5+2+1) =0.125

这样我们得到三组权重：

法1：算术平均求权重：

1. 第一步：将判断矩阵按照列归一化 （每一个元素除以其所在列的和）
2. 第二步：将归一化的各列相加(按行求和)
3. 第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量

• 城市A =(0.5882+0.5714+0.625)/3=0.5949
• 城市B =(0.2941+0.2857+0.25)/3=0.2766
• 城市C =(0.1177+0.1429+0.125)/3=0.1285

法2：几何平均法求权重

1. 第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
2. 第二步：将新的向量的每个分量开n次方
3. 第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量

• 城市A =0.5954
• 城市B =0.2764
• 城市C =0.1283

法3：特征值法求权重

假如我们的判断矩阵一致性可以接受，那么我们可以仿照一致矩阵权重的求法。

一致矩阵有一个特征值为n，其余特征值均为0。

1. 第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
2. 第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重

该表最大特征值为3.0055，一致性比例CR=0.0053，对应的特征向量：[-0.8902，-0.4132，-0.1918]，对其进行归一化：[0.5954,0.2764,0.1283]

我们大多数情况下使用特征值法，将其带入初始要填的表：

同理这些空着的地方都可以使用同样的方式。

此时，我们终于得到了这个判断矩阵：

城市A最终得分：0.299

城市B最终得分：0.245

城市C最终得分：0.455

所以最后去城市C旅游。

二、层次分析法

层次分析法（TheAnalyticHierarchyProcess即 AHP)是由美国运筹学家、 匹兹堡大学教授T.L.Saaty于20世纪70年代创立的一种系统分析与决策的综合 评价方法，是在充分研究了人类思维过程的基础上提出来的，它较合理地解 决了定性问题定量化的处理过程。

AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构，把人类的判断转化到若干因 素两两之间重要度的比较上，从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重 要度的比较上面。在许多情况下，决策者可以直接使用AHP进行决策，极大 地提高了决策的有效性、可靠性和可行性，但其本质是一种思维方式，它把 复杂问题分解成多个组成因素，又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次 结构，通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。整个过程体 现了人类决策思维的基本特征，即分解、判断、综合，克服了其他方法回避 决策者主观判断的缺点

步骤：

1.分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构.

注意：如果你用到了层次分析法，那么上面这个层次结构图要放在你的建模论文中哦。

2.对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要 性进行两两比较，构造两两比较矩阵（判断矩阵）。

看看优秀论文的做法吧：

【2008年国赛B题一等奖】 关于高等教育学费标准的评价及建议

【2016年国赛MATLAB创新奖B题】中国人民大学‐小区开放道路通行影响

准则层—方案层的判断矩阵的数值要结合实际来填写，如果题目中有其他数据， 可以考虑利用这些数据进行计算。

例如：有一个指标是交通安全程度，现在要比较开放小区、半开放小区和封闭小区，而且 你收集到了这些小区车流量的数据，那么就可以根据这个数据进行换算作为你的判断矩阵。

3. 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重， 并进行一致性检验(检验通过权重才能用)

CR<0.1通过后，三种3方法计算权重：算术平均、几何平均、特征值法。

建议大家在比赛时三种方法都使用

以往的论文利用层次分析法解决实际问题时，都是采用其中某一种方法求权重，而不同的计算方法可能会导致结果有所偏差。为了保证结果的稳健性，本文采用了三种方法分别求出了权重后计算平均值，再根据得 到的权重矩阵计算各方案的得分，并进行排序和综合分析，这样避免了 采用单一方法所产生的偏差，得出的结论将更全面、更有效。

注：

• 一致矩阵不需要进行一致性检验，只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进 行一致性检验；
• 在论文写作中，应该先进行一致性检验，通过检验后再计算 权重，视频中讲解的只是为了顺应计算过程

当CR>0.1时如何修正？

答：往一致矩阵上调整，一致矩阵的行列成倍数关系

所以：

4. 根据权重矩阵计算最终得分，并进行排序。

三、层次分析法的一些局限性

1. 评价的决策层不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和 一致矩阵差异 可能会很大。

我们上面提到过的RI指标也只到了15：

2. 如果决策层中指标的数据是已知的，那么我们如何利用这些数据来使得评价的更加准确呢？

层次分析法中，实际情况下没有坤坤帮我们回答，层次分析法中这张表是交给‘专家’ 填的。(谁比谁重要啊，重要程度是几呀… )，其实我们自己凭感觉填(两两比较的结果)。

该方法仍具有较强的主观性，判断/比较矩阵的构造在一定程度上是凭感觉决定的，一致性检验只是检验 感觉 有没有自相矛盾得太离谱。

四、模型拓展

1. 多个准则层：

与之前做法一样，不过是多算几组表格。

2. 准则不对应全部方案：

可以把另一个方案的权重设为0

*3. 一个准则只对应自己的方案

我们只要生成这样的表即可：

先成大的部分的判断矩阵，再分别处理小的。

感觉这个模型还是很简单的。如果有不理解的地方可以联系帅气的博主。

五、代码展示

你要购买一台笔记本电脑，要考虑其：颜值、性能、口碑、重量、保险情况，这5个方面，最终筛选出了3种品牌的电脑。

第一步：

确定了目标层、准则层、方案层后，我们要做的就是填下表：

第二步：

我们先处理第一列(权重)，其判断矩阵如下。

matrix = np.array([[1, 1 / 2, 4, 3, 3], [2, 1, 7, 5, 5], [1 / 4, 1 / 7, 1, 1 / 2, 1 / 3], [1 / 3, 1 / 5, 2, 1, 1],
[1 / 3, 1 / 5, 3, 1, 1]])

下面我就以上面这个判断矩阵为例子，定义权重类：

代码1：

• 只定义了权重求解类，初始化时要传入一个判断矩阵。
• 往往我们层次分析问题要求解多个判断矩阵，可以自己在这基础之上定义一个AHP类，初始化时把全部判断矩阵都放进去，直接内部计算输出选择方案。

import numpy as np# 计算权重类# 首先初始化判断矩阵，检验其CR是否<0.1，如果小于则计算权重，否则提示调整矩阵内数值。class Calculate_weights:# 初始化判断矩阵def __init__(self, array):self.array = array# n为矩阵维度self.n = array.shape[0]# 矩阵的特征值和特征向量self.eig_val, self.eig_vector = np.linalg.eig(self.array)# 矩阵的最大特征值self.max_eig_val = np.max(self.eig_val)# 矩阵最大特征值对应的特征向量self.max_eig_vector = self.eig_vector[:, np.argmax(self.eig_val)].real# 矩阵的一致性指标CIself.CI_value = (self.max_eig_val - self.n) / (self.n - 1)# 平均随机一致性指标RI值列表，用于一致性检验。self.RI_list = [0, 0, 0.52, 0.89, 1.12, 1.26, 1.36, 1.41, 1.46, 1.49, 1.52, 1.54, 1.56, 1.58,1.59]# 矩阵的一致性比例CRself.CR_value = self.CI_value / (self.RI_list[self.n - 1])# 一致性判断 返回布尔类型def test_consist(self):# 打印矩阵的一致性指标CI和一致性比例CR# 进行一致性检验判断if self.n == 2 or self.CR_value < 0.1:# 二阶矩阵或CR值小于0.1，可以通过一致性检验。return Trueelse:# CR值大于0.1, 一致性检验不通过。print("判断矩阵的CR值为：" + str(self.CR_value) + ",未通过一致性检验。")return False# 算术平均法求权重def cal_weight_by_arithmetic_method(self):# 求矩阵的每列的和col_sum = np.sum(self.array, axis=0)# 将判断矩阵按照列归一化array_normed = self.array / col_sum# 计算权重向量array_weight = np.sum(array_normed, axis=1) / self.n# 打印权重向量print("算术平均法计算得到的权重为：\n", array_weight)# 返回权重向量的值return array_weight# 几何平均法求权重def cal_weight_by_geometric_method(self):# 求矩阵的每列的积col_product = np.product(self.array, axis=1)# 将得到的积向量的每个分量进行开n次方array_power = np.power(col_product, 1 / self.n)# 将列向量归一化array_weight = array_power / np.sum(array_power)# 打印权重向量print("几何平均法计算得到的权重为：\n", array_weight)# 返回权重向量的值return array_weight# 特征值法求权重def cal_weight_by_eigenvalue_method(self):# 将矩阵最大特征值对应的特征向量进行归一化处理就得到了权重array_weight = self.max_eig_vector / np.sum(self.max_eig_vector)# 打印权重向量print("特征值法计算得到的权重为：\n", array_weight)# 返回权重向量的值return array_weightif __name__ == "__main__":# 给出判断矩阵matrix = np.array([[1, 1 / 2, 4, 3, 3], [2, 1, 7, 5, 5], [1 / 4, 1 / 7, 1, 1 / 2, 1 / 3], [1 / 3, 1 / 5, 2, 1, 1], [1 / 3, 1 / 5, 3, 1, 1]])# 权重对象weights_obj = Calculate_weights(matrix)if weights_obj.test_consist():# 算术平均法求权重weight1 = weights_obj.cal_weight_by_arithmetic_method()# 几何平均法求权重weight2 = weights_obj.cal_weight_by_geometric_method()# 特征值法求权重weight3 = weights_obj.cal_weight_by_eigenvalue_method()

算术平均法计算得到的权重为： [0.26228108 0.47439499 0.05449210.09853357 0.11029827]几何平均法计算得到的权重为： [0.26363280.47726387 0.05307416 0.09883999 0.10718918]特征值法计算得到的权重为： [0.26360349 0.47583538 0.05381460.09806829 0.10867824]

很明显，性能要更重要一些：

因此我们填完了表的第一列：

其它列同理。

代码2：

• AHP类，初始化时把全部判断矩阵都放进去，直接内部计算输出选择方案。

总之要学会变通。

import numpy as np# 计算权重类# 首先初始化判断矩阵，检验其CR是否<0.1，如果小于则计算权重，否则提示调整矩阵内数值。class Calculate_weights:# 初始化判断矩阵def __init__(self, array):self.array = array# n为矩阵维度self.n = array.shape[0]# 矩阵的特征值和特征向量self.eig_val, self.eig_vector = np.linalg.eig(self.array)# 矩阵的最大特征值self.max_eig_val = np.max(self.eig_val)# 矩阵最大特征值对应的特征向量self.max_eig_vector = self.eig_vector[:, np.argmax(self.eig_val)].real# 矩阵的一致性指标CIself.CI_value = (self.max_eig_val - self.n) / (self.n - 1)# 平均随机一致性指标RI值列表，用于一致性检验。self.RI_list = [0, 0, 0.52, 0.89, 1.12, 1.26, 1.36, 1.41, 1.46, 1.49, 1.52, 1.54, 1.56, 1.58,1.59]# 矩阵的一致性比例CRself.CR_value = self.CI_value / (self.RI_list[self.n - 1])# 一致性判断 返回布尔类型def test_consist(self):# 打印矩阵的一致性指标CI和一致性比例CR# 进行一致性检验判断if self.n == 2 or self.CR_value < 0.1:# 二阶矩阵或CR值小于0.1，可以通过一致性检验。return Trueelse:# CR值大于0.1, 一致性检验不通过。print("判断矩阵的CR值为：" + str(self.CR_value) + ",未通过一致性检验。")return False# 算术平均法求权重def cal_weight_by_arithmetic_method(self):# 求矩阵的每列的和col_sum = np.sum(self.array, axis=0)# 将判断矩阵按照列归一化array_normed = self.array / col_sum# 计算权重向量array_weight = np.sum(array_normed, axis=1) / self.n# 打印权重向量#print("算术平均法计算得到的权重为：\n", array_weight)# 返回权重向量的值return array_weight# 几何平均法求权重def cal_weight_by_geometric_method(self):# 求矩阵的每列的积col_product = np.product(self.array, axis=1)# 将得到的积向量的每个分量进行开n次方array_power = np.power(col_product, 1 / self.n)# 将列向量归一化array_weight = array_power / np.sum(array_power)# 打印权重向量#print("几何平均法计算得到的权重为：\n", array_weight)# 返回权重向量的值return array_weight# 特征值法求权重def cal_weight_by_eigenvalue_method(self):# 将矩阵最大特征值对应的特征向量进行归一化处理就得到了权重array_weight = self.max_eig_vector / np.sum(self.max_eig_vector)# 打印权重向量#print("特征值法计算得到的权重为：\n", array_weight)# 返回权重向量的值return array_weightclass AHP:def __init__(self, *args):self.col = args[0]self.row = args[1]self.array = args[2:]# 初始化最终矩阵self.finally_matrix = np.empty((len(self.row),len(self.col),))# 生成全部填好后的最终矩阵def f_matrix(self):# matrix 为每个判断矩阵，记得注意顺序，如权重在第一列。col = 0row = 0for matrix in self.array:weights_obj = Calculate_weights(matrix)if weights_obj.test_consist():# 特征值法求权重weight3 = weights_obj.cal_weight_by_eigenvalue_method()if col == 0: # 权重的权重放在列(竖着放在第一列)self.finally_matrix[:, col] = weight3col += 1else: # 剩下的都放在行(每行横着放)self.finally_matrix[row, col:] = weight3row += 1return self.finally_matrixdef result(self):self.f_matrix()res = []for i in range(len(self.col)-1):tem_res = np.sum(self.finally_matrix[:,0]*self.finally_matrix[:,i+1])res.append(tem_res)return resif __name__ == "__main__":# 给出判断矩阵col = ['权重', '电脑A', '电脑B', '电脑C']row = ['颜值', '性能', '口碑', '重量', '保险']weighting = np.array([[1, 1 / 2, 4, 3, 3], [2, 1, 7, 5, 5], [1 / 4, 1 / 7, 1, 1 / 2, 1 / 3], [1 / 3, 1 / 5, 2, 1, 1], [1 / 3, 1 / 5, 3, 1, 1]])appearance = np.array([[1, 2, 5], [1 / 2, 1, 2], [1 / 5, 1 / 2, 1]])performance = np.array([[1, 1 / 3, 1 / 8], [3, 1, 1 / 3], [8, 3, 1]])public_praise = np.array([[1, 1, 3], [1, 1, 3], [1 / 3, 1 / 3, 1]])weight = np.array([[1, 3, 4], [1 / 3, 1, 1], [1 / 4, 1, 1]])insurance = np.array([[1, 1, 1 / 4], [1, 1, 1 / 4], [4, 4, 1]])score_result = AHP(col, row, weighting, appearance, performance, public_praise, weight, insurance).result()print('选择{}'.format(col[np.argmax(score_result)+1]))

选择电脑C。