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• 选择题

选择题

1. 下列四个二元函数中，不可能是二维随机变量分布函数的是（）。
   A. F ( x , y ) = { ( 1 − e − x) ( 1 − e − y) , 0 < x < ∞ , 0 < y < ∞ 0 , o t h e r s . F(x,y)= \begin{cases} (1-e^{-x})(1-e^{-y}),&0<x< \infty,0<y< \infty \\ 0,&others. \end{cases}F(x,y)={(1−e−x)(1−e−y),0,​0<x<∞,0<y<∞others.​
   B. F ( x , y ) = 1 π 2( π 2+arctan⁡ x 2)( π 2+arctan⁡ y 3), − ∞ < x < ∞ , ∞ < y < ∞F(x,y)= \frac {1}{ \pi ^{2}} \left ( \frac { \pi }{2}+ \arctan \frac {x}{2} \right ) \left ( \frac { \pi }{2}+ \arctan \frac {y}{3} \right ),- \infty <x< \infty , \infty <y< \inftyF(x,y)=π21​(2π​+arctan2x​)(2π​+arctan3y​),−∞<x<∞,∞<y<∞
   C. F ( x , y ) = { 1 , x + 2 y ≥ 1 0 , o t h e r s . F(x,y)= \begin{cases} 1,&x+2y \ge 1 \\ 0,&others. \end{cases}F(x,y)={1,0,​x+2y≥1others.​
   D. F ( x , y ) = { 1 − 2 − x− 2 − y+ 2 − x − y; 0 < x < ∞ , 0 < y < ∞ 0 , o t h e r s . F(x,y)= \begin{cases} 1-2^{-x}-2^{-y}+2^{-x-y};&0<x< \infty ,0<y< \infty \\ 0,&others. \end{cases}F(x,y)={1−2−x−2−y+2−x−y;0,​0<x<∞,0<y<∞others.​
   【正确答案:C】

2. 已知随机变量 X与Y的联合分布律为：
   P{X=0,Y=0}=0.4, P(X=0,Y=1}=a,P{X=1, Y =0}=b, P{X=1, Y=1}=0.1,
   若随机事件{X=0}与(X+Y=1}相互独立,则有（）。
   A. a=0.2, b=0.3.
   B. a=0.1, b=0.4.
   C. a=0.3, b=0.2.
   D. a=0.4, b=0.1.
   【正确答案:D】

3. 反复抛一枚骰子，直到出现了小于 4点的点数为止。以X表示最后一次抛出的点数，Y表示抛的总次数，则下列选项中正确的是（）。
   A. P { X = i , Y = k } =( 12)k16, k ≥ 1 , i = 1 , 2 , 3P \{ X=i,Y=k \} = \left ( \frac {1}{2} \right )^{k} \frac {1}{6},k≥1, i=1,2,3P{X=i,Y=k}=(21​)k61​,k≥1,i=1,2,3
   B. P { Y = k } =( 12) k − 1, k ≥ 1P \{ Y=k \} = \left ( \frac {1}{2} \right )^{k-1},k \ge 1P{Y=k}=(21​)k−1,k≥1
   C. P { X = i , Y = k } =( 12)k, k ≥ 1 , i = 1 , 2 , 3P \{ X=i,Y=k \} = \left ( \frac {1}{2} \right )^{k},k \ge 1,i=1,2,3P{X=i,Y=k}=(21​)k,k≥1,i=1,2,3
   D. P { X = 2 } = 13 P \{ X=2 \} = \frac {1}{3}P{X=2}=31​
   【正确答案:D】

4. 设二维离散型随机变量(X，Y)的分布律为
   P(X=1,Y =0)=P(X=2,Y=0)=0.1,P(X=3,Y =0}=0.3
   P(X=1, Y=1)=P(X=3,Y=1)=0.25
   则下列选项中正确的是（）
   A. P{X≤2,Y<1}=0.1.
   B. P{X≤2}=0.2.
   C. P{X+Y=2}=0.25.
   D. P{X+Y≤3}=0.75.
   【正确答案:D】

5. 设二维随机变量 (X，Y)的密度函数为
   f ( x , y ) = { e − y, 0 < x < y , 0 ,o t h e r s . f(x,y)= \begin{cases} e^{-y},&0<x<y, \\ 0,& \ others. \end{cases}f(x,y)={e−y,0,​0<x<y,others.​
   则下列选项中正确的是（）。
   A.P{X<1,Y<2}=1-2e⁻¹.
   B.P{X+Y<1}=1-2e⁻¹.
   C.P{X<2,Y<1}=1-2e⁻¹.
   D.P{X-Y<1}=1-2e⁻¹.
   【正确答案:C】

6. 设二维随机变量 (X，Y)的密度函数为
   f ( x , y ) = { c , 0 < x < 1 , 0 < y < 2 x , 0 ,o t h e r s . f(x,y)= \begin{cases} c,0<x<1,0<y<2x, \\ 0, \ others. \end{cases}f(x,y)={c,0<x<1,0<y<2x,0,others.​
   则下列选项中正确的是（）。
   A. c=2
   B. P { X < 12} = 12 P \{ X< \frac {1}{2} \} = \frac {1}{2}P{X<21​}=21​
   C. P { Y < 12} = 12 P \{ Y< \frac {1}{2} \} = \frac {1}{2}P{Y<21​}=21​
   D. P { X + Y < 1 } = 13 P \{ X+Y<1 \} = \frac {1}{3}P{X+Y<1}=31​
   【正确答案:D】

7. 设随机变量X与Y同分布，其密度函数为
   f ( x ) = { 38×2, 0 < x < 2 , 0 , o t h e r s . f(x)= \begin{cases} \frac {3}{8}x^{2},&0<x<2, \\ 0,& others. \end{cases}f(x)={83​x2,0,​0<x<2,others.​
   记事件 A={X>a}, B={Y>a}, 若A与B相互独立，且 P ( A ∪ B ) = 34 P(A \cup B)= \frac {3}{4}P(A∪B)=43​,则有（）。
   A. $a=1$
   B. a = 2 a= \sqrt {2}a=2 ​
   C. a = 43 a= \sqrt [3]{4}a=34 ​
   D. a = 34 a= \sqrt [4]{3}a=43 ​
   【正确答案:C】