GAN

生成式对抗网络（GAN, Generative Adversarial Networks）是一种深度学习模型。主要包括两部分：生成模型和判别模型。也就是对应神经网络的生成器与判别器：

生成器G(Generator)：通过生成器G生成数据。
判别器D(Discriminator)：判断这张图像是真实的还是机器生成的，目的是判别数据是否是生成器做的“假数据”

生成器与判别器互相对抗，不断调整参数。最终的目的是使判别网络无法判断生成网络的输出结果是否真实。

生成器G是一个生成图片的网络，它接收一个随机的噪声 $z$ ，通过这个噪声生成图片，生成的图片记做 $G (z)$ 。
判别器D判别一张图片是不是“真实的”。它的输入是 $x$ ， $x$ 代表一张图片（其中， $x$ 包含生成图片和真实图片，对于生成图片有 $x = G (z)$ ），输出 $D (x)$ 代表 $x$ 为真实图片的概率，如果为1，就代表100%是真实的图片，而输出为0，就代表图片0%是真的（或者说100%是假的）

其中网络结构如下所示：

其中，真实数据分布中的数据与生成数据可以认为是相同形状的。

生成网络G（Generative）

生成网络从隐空间（latent space）中随机采样作为输入，其输出结果需要尽量模仿训练集中的真实样本。

对抗网络D（Discriminative）

对抗网络也可称判别网络，判别网络的输入则为真实样本或生成网络的输出，其目的是将生成网络的输出从真实样本中尽可能分辨出来。

两分布之间差异性评价

真实数据分布中的数据 $x$ 服从分布 $\sim P_{data} (x)$ ，生成数据分布中的数据 $x$ 服从分布 $\sim P_{G} (x;\theta)$

那么衡量两个分布之间的差异性指标有：KL散度，JS散度，交叉熵和Wasserstein距离。

KL散度

离散概率分布的KL散度计算公式:
$\| q)=\sum p(x) \log \frac{p(x)}{q(x)}$
连续概率分布的KL散度计算公式:
$\| q)=\int p(x) \log \frac{p(x)}{q(x)} d x$

JS散度

$\| q)=\frac{1}{2} K L\left(p \| \frac{p+q}{2}\right)+\frac{1}{2} K L\left(q \| \frac{p+q}{2}\right)$

损失函数

以分布的角度来看GAN网络结构，然后考虑其损失函数。

对于生成网络G，其输入的 $z$ （ $)\mathbf{z} \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \mathbf{I})$ ，表示 $z$ 服从正态分布的数据），通过训练出来的参数 $θ\theta$ 的生成网络生成的图片为 $)G(\mathbf{z},\theta)$ 。

对于判别网络，可以认为是二分类问题，一类是生成网络的输出，即 $)x_{generative} = G(\mathbf{z},\theta)$ ；另一类是真实数据 $x_{real}$ ，（其中， $x_{real} \sim D_{real}$ ，表示 $x_{real}$ 服从一种真实的分布distribution）。将 $x$ （其中， $x_{generative} \cup x_{real}$ ）数据输入到判别网络中，输出结果分别为：

$,ϕ)D(\mathbf{x_{real}}, \phi)$
$,ϕ)=D(G(z,θ),ϕ)D(\mathbf{x_{generative}}, \phi) = D(G(\mathbf{z},\theta), \phi)$

分别从生成网络和判别网络的角度来看：

对于生成网络的标准就是：我希望我生成的图片越接近真实越好，那么也就是使 $)D(\mathbf{x_{generative}}, \phi) = D(G(\mathbf{z},\theta), \phi)$ 越接近1越好。也就是训练生成网络中的参数 $θ\theta$ 满足：
$)\max _{\theta}\left(\mathbb{E}_{z \sim p(z)}[\log D(G(\boldsymbol{z} ; \theta) ; \phi)]\right)$
对于判别网络的标准就是：我能够很好的区分哪些是真的，哪些是假的。也就是说能够很好的将真的和假的区分开来。也就是希望真实数据的输出 $)D(\mathbf{x_{real}}, \phi)$ 越趋近于1，而生成数据的输出 $)D(\mathbf{x_{generative}}, \phi) = D(G(\mathbf{z},\theta), \phi)$ 越趋近于0。
将其看成二分类问题，二分类问题的损失函数可以使用交叉熵损失函数来表示，对于二分类，只有正样本（label=1）与负样本（label=0）。并且两者概率之和为1。对于一个输入 $x$ ，经过模型输出为 $p (x)$ 。y是真实的标签。于是单个样本的损失函数就是：
$L O S S = - y * l o g (p (x)) + (1 - y) l o g (1 - p (x))$
如果是计算 N 个样本的平均损失函数，只要将 N 个 Loss 叠加起来再除以N就行：
$LOSS=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} y^{(i)} \log ({p(x)}^{(i)})+\left(1-y^{(i)}\right) \log \left(1-{p(x)}^{(i)}\right)$
对于 $\sim p_{data}(x)$ 的输出 $\phi)$ 是真实的，也就是标签为1，那么其单个样本损失函数就是：
$\log D(\boldsymbol{x} ; \phi) + (1-1)(1- \log D(\boldsymbol{x} ; \phi)) = – \log D(\boldsymbol{x} ; \phi)$
平均损失函数就是（其实就是求平均）：
$\mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim p_{data}(\boldsymbol{x})}[\log D(\boldsymbol{x} ; \phi)]$
那么对于 $\sim p(z)$ 的输出 $)D(G(\boldsymbol{z} ; \theta) ; \phi))$ 是假的，也就是标签为0，那么其单个样本损失函数就是:
$0*D(G(\boldsymbol{z} ; \theta) ; \phi))+(1-0)(1-D(G(\boldsymbol{z} ; \theta) ; \phi))) = 1 – D(G(\boldsymbol{z} ; \theta) ; \phi))$
平均损失函数就是：
$\mathbb{E}_{\boldsymbol{z} \sim p(\boldsymbol{z})}[\log (1-D(G(\boldsymbol{z} ; \theta) ; \phi))]$
由于上面损失函数是负数，并且需要最小化损失函数，那么反过来的最大化损失函数就是：
$[log⁡(1−D(G(z;θ);ϕ))]\max _{\phi} \mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim p_{data}(\boldsymbol{x})}[\log D(\boldsymbol{x} ; \phi)]+\mathbb{E}_{\boldsymbol{z} \sim p(\boldsymbol{z})}[\log (1-D(G(\boldsymbol{z} ; \theta) ; \phi))]$

在训练过程中，当G固定的时候，有：
$[log⁡(1−D(x;ϕ))]\mathbb{E}_{\boldsymbol{z} \sim p(\boldsymbol{z})}[\log (1-D(G(\boldsymbol{z} ; \theta) ; \phi))] = \mathbb{E}_{\boldsymbol{x} \sim p_{g} (\boldsymbol{x})}[\log (1-D(x; \phi))]$
全局优化首先固定G，然后优化D（这种情况也就是生成数据的分布 $)\boldsymbol{x} \sim p_{g} (\boldsymbol{x})$ 与真实分布 $)\boldsymbol{x} \sim p_{data} (\boldsymbol{x})$ 已知），D的最佳情况为：（推导可以看GAN入门理解及公式推导 – 知乎 (zhihu.com)）
$D_{G}^{*}(\boldsymbol{x})=\frac{p_{\text {data }}(\boldsymbol{x})}{p_{\text {data }}(\boldsymbol{x})+p_{g}(\boldsymbol{x})}$
将最佳的D代入目标loss函数，有：
$\log 2+2 D_{JS}\left(P_{\text {data }} \| P_{g}\right)$
也就是说，原始GAN的loss实际上等价于JS散度。

一次代码实验

很多的GAN网络结构代码可以参考：PyTorch-GAN

其中一个网络结构如下：

在实验中，对应的形状如下所示：
高斯随机变量：torch.Size([batch_size, 100])
生成的fake_image, 真实image：torch.Size([batch_size, 3,64,64])
判别真假：torch.Size([batch_size, 1])

代码如下：

生成网络代码

class Generator(nn.Module):def __init__(self):super(Generator, self).__init__()def block(in_feat, out_feat, normalize=True):layers = [nn.Linear(in_feat, out_feat)]if normalize:layers.append(nn.BatchNorm1d(out_feat, 0.8))layers.append(nn.LeakyReLU(0.2, inplace=True))return layersself.model = nn.Sequential(*block(opt.latent_dim, 128, normalize=False),*block(128, 256),*block(256, 512),*block(512, 1024),nn.Linear(1024, int(np.prod(img_shape))),nn.Tanh())def forward(self, z):img = self.model(z)img = img.view(img.shape[0], *img_shape)return img

对抗网络代码

class Discriminator(nn.Module):def __init__(self):super(Discriminator, self).__init__()self.model = nn.Sequential(nn.Linear(int(np.prod(img_shape)), 512),nn.LeakyReLU(0.2, inplace=True),nn.Linear(512, 256),nn.LeakyReLU(0.2, inplace=True),nn.Linear(256, 1),)

然后在Anime_Faces数据集中训练，获得的1000个epochs后生成的数据有：

感觉效果不太行，估计是网络结构的局限性。

WGAN

参考论文：[1701.07875] Wasserstein GAN (arxiv.org)

在生成对抗网络中，当判断网络为最优时，生成网络的优化目标是最小化真实分布 $p_r (x)$ 和模型分布 $p_θ (x)$ 之间的JS散度。当两个分布相同时，JS散度为0，最优生成网络对应的损失为−2log2。但是使用JS散度来训练生成对抗网络的一个问题是当两个分布没有重叠时，它们之间的JS散度恒等于常数log2。对生成网络来说，目标函数关于参数的梯度为0。

在GAN的基础上加入了Wasserstein距离，Wasserstein距离用于衡量两个分布之间的距离。相比KL散度和JS散度的优势在于即使两个分布没有重叠或者重叠非常少，Wasserstein距离仍然能反映两个分布的远近。其数学公式如下：
$W_{p}\left(q_{1}, q_{2}\right)=\left(\inf _{\gamma(x, y) \in \Gamma\left(q_{1}, q_{2}\right)} \mathbb{E}_{(x, y) \sim \gamma(x, y)}\left[d(x, y)^{p}\right]\right)^{\frac{1}{p}}$
其中， $\Gamma\left(q_{1}, q_{2}\right)$ 是边际分布为 $q_{1}, q_{2}$ 的所有可能的联合分布集合, $)\mathrm{d}(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ 为 $x\mathrm{x}$ 和 $y\mathrm{y}$ 的距离, 比如 $\ell_{p}$ 距离等， $E\mathbb{E}$ 表示期望， $⁡\inf$ 表示下确界。

下确界，如果是一个集合的下确界，即表示小于或等于集合E的所有其他元素的最大元素，这个数不一定在集合E中。举例来说：
$inf\{1,2,3\} = 1$ ; 也就是说集合 ${1,2,3\}$ 的下确界为1
$0inf\{x \in \mathbb{R}, 0<x<1 \} = 0$ ;
$inf\{(-1)^{n} + 1/n : n = 1, 2, 3,…\} = -1$ ;

当然，换一种角度解读：将两个分布看作是两个土堆，联合分布 $)\gamma(x, y)$ 看作是从土堆 $q_1$ 的位置 $x$ 到土堆 $q_2$ 的位置 $y$ 的搬运土的数量。Wasserstein距离可以理解为搬运土堆的最小工作量，也称为推土机距离（Earth-Mover’s Distance，EMD）

WGAN-GP

参考论文：[1704.00028] Improved Training of Wasserstein GANs (arxiv.org)

WGAN还是有问题：

权重裁剪会导致参数基本都在限制的边界值，极大浪费了模型的参数。
还是很容易梯度消失或者梯度爆炸，需要仔细的调参

WGAN-GP，核心只有一个：Gradient Penalty

Gradient Penalty：判别器相对于输入的梯度的二范数要约束在1附近，这样就能够保证Lipschitz连续。

# 计算Gradient Penaltydef compute_gradient_penalty(D, real_samples, fake_samples):"""Calculates the gradient penalty loss for WGAN GP"""# Random weight term for interpolation between real and fake samplesalpha = Tensor(np.random.random((real_samples.size(0), 1, 1, 1)))# Get random interpolation between real and fake samplesinterpolates = (alpha * real_samples + ((1 - alpha) * fake_samples)).requires_grad_(True)d_interpolates = D(interpolates)fake = Variable(Tensor(real_samples.shape[0], 1).fill_(1.0), requires_grad=False)# Get gradient w.r.t. interpolatesgradients = autograd.grad(outputs=d_interpolates,inputs=interpolates,grad_outputs=fake,create_graph=True,retain_graph=True,only_inputs=True,)[0]gradients = gradients.view(gradients.size(0), -1)gradient_penalty = ((gradients.norm(2, dim=1) - 1) ** 2).mean()return gradient_penalty

Conditional GAN

条件GAN，顾名思义就是根据条件针对性的生成数据。具体有AC-GAN。

GAN网络

目录

GAN

生成网络G（Generative）

对抗网络D（Discriminative）

两分布之间差异性评价

KL散度

JS散度

损失函数

一次代码实验

WGAN

WGAN-GP

Conditional GAN

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