一、模型背景
数据包络分析是线性规划模型的应用之一，常被用来衡量拥有相同目标的运营单位的相对效率。
数据包络分析是一种基于线性规划的用于评价同类型组织(或项目）工作绩效相对有效性的特殊工具手段。这类组织例如学校、医院、银行的分支机构、超市的各个营业部等，各自具有相同(或相近)的投入和相同的产出。衡量这类组织之间的绩效高低，通常采用投入产出比这个指标，当各自的投入产出均可折算成同一单位计量时，容易计算出各自的投入产出比并按其大小进行绩效排序。
但当被衡量的同类型组织有多项投入和多项产出，且不能折算成统一单位时，就无法算出投入产出比的数值。例如，大部分机构的运营单位有多种投入要素，如员工规模、工资数目、运作时间和广告投入，同时也有多种产出要素，如利润、市场份额和成长率。在这些情况下，很难让经理或董事会知道，当输入量转换为输出量时，哪个运营单位效率高，哪个单位效率低。
因而，需采用一种全新的方法进行绩效比较。这种方法就是二十世纪七十年代末产生的数据包络分析(（DEA )。DEA方法处理多输入，特别是多输出的问题的能力是具有绝对优势的。
DEA模型是直接使用输入、输出数据建立非参数的经济数学模型。
DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，这主要体现在以下几点：
DEA以决策单位各输入/输出的权重为变量，从最有利于决策单元的角度进行评价，从而避免了确定各指标在优先意义下的权重；
假定每个输入都关联到一个或者多个输出，而且输入/输出之间确实存在某种关系，使用DEA方法则不必确定这种关系的显示表达式。
二、模型介绍
1、评价思想
核心是通过对每个DMU的输入和输出数据进行综合分析，得出每个DMU效率的相对指标，然后将所有DMU效率指标排序，确定相对有效的DMU即有效的决策单元，为管理人员提供管理决策信息
举个例子，每个公司的各个部门可以看成是每个DMU，因为每个部门有输入成本和产出效益
2、DEA基本概念
在DEA中一般称被衡量绩效的组织为决策单元( decision makingunit—DMU )。
设:n个决策单元( j=1，2 ,…,n )
每个决策单元有相同的m项投入（输入）(i =1 ，2 ,…,m )
每个决策单元有相同的s项产出（输出）(r=1，2 ,…,s )
Xij——第j决策单元的第i项投入
yrj——第j决策单元的第r项产出衡量第j0决策单元是否DEA有效
3、结果
①θ=1，DEA有效，表示投入与产出比达到最优
②θ<1，非DEA有效，表示投入与产出比没有达到最优，一般来说，θ越大说明效果越好。
数据包络分析是通过对投入的指标和产出的指标做了一个线性规划，并且进行变换后，然后根据其线性规划的对偶问题（线性规划对偶问题具有经济学意义），求解这个对偶问题的最值就是θ。
三、实例分析
1、spsspro上传数据
输入变量：政府财政收入占GDP的比例、环保投资占GDP的比例、每千人科技人员数。
输出变量：经济发展（用人均GDP表示）、环境发展（用城市环境质量指数表示；计算过程中，城市环境指数的数值作了 归一化处理）。
2、选择输入输出变量
3、效益分析表
决策单元 | 技术效益 | 规模效益 | 综合效益 | 松弛变量S- | 松弛变量S+ | 有效性 |
1990 | 0.938 | 0.309 | 0.290 | 0.926 | 0.132 | 非DEA有效 |
1991 | 0.876 | 0.326 | 0.285 | 0.586 | 0.054 | 非DEA有效 |
1992 | 0.885 | 0.335 | 0.297 | 0.241 | 0.084 | 非DEA有效 |
1993 | 0.875 | 0.391 | 0.343 | 0.144 | 0.082 | 非DEA有效 |
1994 | 0.905 | 0.507 | 0.459 | 2.172 | 0.000 | 非DEA有效 |
1995 | 0.977 | 0.735 | 0.718 | 6.246 | 582.860 | 非DEA有效 |
1996 | 1.000 | 0.907 | 0.907 | 5.505 | 0.000 | 非DEA有效 |
1997 | 1.000 | 1.000 | 1.000 | 0.000 | 0.000 | DEA强有效 |
1998 | 1.000 | 1.000 | 1.000 | 0.000 | 0.000 | DEA强有效 |
1999 | 1.000 | 1.000 | 1.000 | 0.000 | 0.000 | DEA强有效 |
BCC模型（VRS）把综合效益分解为技术效益和规模效益。
● 综合技术效益(overall efficiency, OE)反映的是决策单元在一定（最优规模时）投入要素的生产效率，是对决策单元的资源配置能力、资源使用效率等多方面能力的综合衡量与评价，值等于1时，代表该决策单元的投入与产出结构合理，相对效益最优；
值大于1时，代表该决策单元的投入与产出结构处于超级效益模式；
值小于1时，代表该决策单元的投入与产出结构不合理，相对效益未能达到最优，可能存在不同程度的投入冗余和产出不足，其值为技术效益*规模效益。
● 技术效益(technical efficiency, TE)反映的是由于管理和技术等因素影响的生产效率，其值等于1时，代表投入要素得到了充分利用，在给定投入组合的情况下，实现了产出最大化。
● 规模效益(scale efficiency, SE)反映的是由于规模因素影响的生产效率，通常结合规模报酬表进行分析其值等于1时，代表规模效率有效（规模报酬不变），也就是规模适宜，已达到最优的状态；若规模报酬递增（并非其值递增递减或者小于0大于0），代表服务规模过小，需要扩大规模以增加规模效益；若规模报酬递减（并非其值递增递减或者小于0大于0），代表服务规模过大，存在规模过度扩张风险。
● 松驰变量S-（差额变数）指为达到目标效率可以减少的投入量，即非 DEA 有效单元的实际值和目标值之差，
松驰变量S+（超额变数）指为达到目标效率可以增加的产出量，即非 DEA 有效地区的目标值和实际值之差。
● 有效性分析结合综合效益指标，S-和S+共3个指标，可判断DEA有效性，如果综合效益=1且S-与S+均为0，则“DEA强有效”，如果综合效益为1但S-或S+大于0，则“DEA弱有效”，如果综合效益<1则为“非DEA有效”。
4、效益有效性分析
5、规模报酬分析
项 | 规模报酬系数 | 类型 |
1990 | 0.299 | 规模报酬递增 |
1991 | 0.326 | 规模报酬递增 |
1992 | 0.335 | 规模报酬递增 |
1993 | 0.389 | 规模报酬递增 |
1994 | 0.453 | 规模报酬递增 |
1995 | 0.590 | 规模报酬递增 |
1996 | 0.778 | 规模报酬递增 |
1997 | 1.000 | 规模报酬固定 |
1998 | 1.000 | 规模报酬固定 |
1999 | 1.000 | 规模报酬固定 |
6、象限分析
决策单元 | 投入 | 产出 | 象限分布 |
1990 | 0.614 | -4560.500 | 第二象限 |
1991 | 2.832 | -4238.500 | 第二象限 |
1992 | 1.748 | -4094.830 | 第二象限 |
1993 | 1.959 | -3276.830 | 第二象限 |
1994 | 1.359 | -1869.830 | 第二象限 |
1995 | -0.450 | -8.170 | 第三象限 |
1996 | -1.984 | 2054.500 | 第四象限 |
1997 | -2.707 | 3912.830 | 第四象限 |
1998 | -1.986 | 5421.830 | 第四象限 |
1999 | -1.386 | 6659.500 | 第四象限 |
7、投入冗余分析
决策单元 | 松驰变量S-分析 | 投入冗余率 | |||||
政府财政收入占GDP的比例/% | 环保投资占GDP的比例/% | 每千人科技人员数/人 | 汇总 | 政府财政收入占GDP的比例/% | 环保投资占GDP的比例/% | 每千人科技人员数/人 | |
1990 | 0.286 | 0.000 | 0.640 | 1.000 | 0.020 | 0.000 | 0.020 |
1991 | 0.586 | 0.000 | 0.000 | 1.000 | 0.035 | 0.000 | 0.000 |
1992 | 0.241 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.016 | 0.000 | 0.000 |
1993 | 0.144 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.009 | 0.000 | 0.000 |
1994 | 0.322 | 0.000 | 1.850 | 2.000 | 0.023 | 0.000 | 0.057 |
1995 | 1.314 | 0.000 | 4.932 | 6.000 | 0.099 | 0.000 | 0.160 |
1996 | 1.217 | 0.000 | 4.288 | 6.000 | 0.095 | 0.000 | 0.147 |
1997 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 |
1998 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 |
1999 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 |
投入冗余分析（差额变数分析）主要用于分析各变量需要减少多少投入时才能达目标效率。
● 松驰变量S-（差额变数）指为达到目标效率需要减少的投入量。
● 投入冗余率指“过多投入”与已投入的比值，该值越大意味着“过多投入”越多。
8、产出不足分析
决策单元 | 松驰变量S+分析 | 产出不足率 | |||
人均GDP/元 | 城市环境质量指数 | 汇总 | 人均GDP/元 | 城市环境质量指数 | |
1990 | 0.000 | 0.132 | 0.000 | 0.000 | None |
1991 | 0.000 | 0.054 | 0.000 | 0.000 | 0.599 |
1992 | 0.000 | 0.084 | 0.000 | 0.000 | 1.206 |
1993 | 0.000 | 0.082 | 0.000 | 0.000 | 0.628 |
1994 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 |
1995 | 582.860 | 0.000 | 583.000 | 0.071 | 0.000 |
1996 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 |
1997 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 |
1998 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 |
1999 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 |
产出不足分析（超额变数分析）主要用于分析各变量需要增加多少产出时达目标效率。
● 松驰变量S-（超额变数）指为达到目标效率可以增加的产出量。
● 产品不足率指“产出不足”与已产出的比值，该值越大意味着“产出不足”越多。
参考资料
浅谈数据包络分析 – 知乎 (zhihu.com)
(5条消息) 数学建模常用模型10 ：数据包络（DEA）分析法（投入产出法）_Halosec_Wei的博客-CSDN博客_dea投入产出
数学建模数据包络分析DEA详细教程PPT课件 – 道客巴巴 (doc88.com)