目录
一、码多项式
二、码多项式的按模运算
三、循环码的码多项式
四、循环码的生成矩阵
五、如何寻求任一编辑循环码循环码的生成多项式编辑
六、循环码的监督矩阵和监督多项式
一、码多项式
一个长度为
的码组可表示成如下多项式形式：
多项式的系数就是码组中的各码元，仅是码元位置标记 。
n=7 时：
例：码字（1100101）的多项式可表示为：
二、码多项式的按模运算
一般来说，若一个整数可以表示为
，为整数
则在模运算下，有
即在模运算下，一个整数等于它被除得到的余数。
对于任意多项式被一次多项式除，得到商式和一个小于次的余式,即
则
三、循环码的码多项式
在循环码中，若是一个长为的许用码组，则在按模运算下，也是该编码中的一个需用码组，即若
则也是该编码中的一个需用码组，这是因为正是代表码组向左循环移位次的结果。
四、循环码的生成矩阵
在循环码的个码组中挑出一个前面位都是“0”的码组用表示：
根据循环性，，，，…，都是该循环码组的码组，且都线性无关。
因此，可以用这个线性无关的码组可构成该循环码的生成矩阵，即
是循环码的核心。对于给定的
称为循环码的生成多项式，一旦确定了，则整个循环码就被确定了。是循环码中唯一的常数项不为0的次多项式。
例：
已知一种循环码的全部码组为：
试求：（1）该循环码的生成多项式
（2）生成矩阵
码组是：0010111，码组中唯一一个4次多项式
或者
所有码多项式都可被整除，而且任意一个次数不大于的多项式乘都是码多项式。
换言之，任一循环码多项式都是的倍式。
五、如何寻求任一循环码循环码的生成多项式
任一循环码多项式都是的倍式。
本身也是一个码组，即有
码组是一个次多项式，故是一个次多项式。在模
运算下也是一个码组，故可以写作
上式左端分子和分母都是n次多项式，故商式上式可化成
将和代入，化简后可以得到
这表明：循环码的生成多项式应该是的一个次因子。
六、循环码的监督矩阵和监督多项式
1、监督多项式
由于生成多项式能除尽，可以表示为
且,因此
因为是的一个次因子，则以为生成多项式，则生成一个循环码；而以为生成多项式，则生成一个循环码，这两个循环码互为对偶码。
由于上式是循环码必须满足的监督关系，因此许用码组称为监督多项式，不妨令
由监督关系可以知道
因此可以由生成多项式确定监督多项式的系数。
2、监督矩阵
监督多项式，设是逆多项式，则
因为。则监督矩阵完全可由监督多项式的系数确定，由此可得循环码的监督矩阵为
上述的监督矩阵不是典型的，可将它经线性变化成典型形式，即典型的监督矩阵为