目录

1.用来做什么?

2.线性卡尔曼滤波

3.扩展卡尔曼滤波

4.无迹卡尔曼滤波

1.用来做什么?

——针对系统的不确定性：1.不存在完美的数学模型

2.系统的扰动不可控、也很难建模

3.测量传感器存在误差

例1：通过系统的状态方程得出的电流值i1，和传感器测得的电流值i2，由于不确定性的存在，两个值都不准确，所以i1和i2通过卡尔曼滤波算法算出其最接近真实值的值。

例2：如小红同学说今天老师穿的是红色的衣服（根据以往经验，每周四老师都穿红衣服，小红得出的结论），小白说老师今天穿的白色的衣服（看到一个像老师的人穿的白色的衣服，小白得出老师穿白色衣服的结论），通过卡尔曼滤波推算谁说话的权重更大，则推断出更应该相信谁的话。

2.线性卡尔曼滤波

系统真实方程为（状态方程的基础上存在噪声）：

先验估计（他叫这名）：

——这是系统状态方程（方程建立的不准确性）

——这是先验误差协方差（用来算卡尔曼增益）

——（注意：噪声满足,其中0是期望值，是协方差矩阵。这里是误差的期望/协方差（越接近0越好）。

后验估计（所要求的值）：

因为：——（传感器测量的不准确性）

——后验得到的值

——（真实值与后验估计误差的期望(目标期望为0)）

其目标为P的期望为0或方差最小（使后验估计与真实值误差最小），通过推导可以得到卡尔曼增益：

——(最小时求得的）

同时可以得到：

——(用来更新值）

3.扩展卡尔曼滤波

卡尔曼滤波主要用于分析线性系统。

扩展卡尔曼滤波主要用于分析非线性系统。（正态分布的随机变量通过非线性系统后就不再是正态的了） 。

扩展卡尔曼滤波——主要是通过泰勒级数一阶展开，将非线性系统线性化，之后的求取与线性化卡尔曼滤波一致。

非线性系统：

泰勒级数一阶展开式：

多维用雅克比矩阵

对非线性系统线性化。系统有误差，无法在真实点线性化，则在处线性化（为时的后验估计）

等于0（误差假设为0）雅克比矩阵雅克比矩阵。

在线性化：

,。

令，。

——线性化后的系统方程

先验估计：

后验估计：

标红部分为扩展和线性卡尔曼滤波的不同之处。

4.无迹卡尔曼滤波

由于扩展卡尔曼滤波可能存在线性化误差，且一般情况下雅克比矩阵不易实现，增加了算法的计算复杂度。

无迹卡尔曼滤波不采用泰勒展开实现非线性系统线性化，而是采用无迹变换（Unscented Transform，UT）来处理均值和协方差的非线性传递问题。（UKF算法是对非线性函数的概率密度分布进行近似，用一系列确定样本来逼近状态的后验概率密度，而不是对非线性函数进行近似，不需要对雅克比矩阵进行求导。）

无迹变换：

——（1）原状态分布中按某一规则选取一些采样点（其均值和方差等于原状态分布的均值和方差）

—— （2）将点带入非线性方程中（求取变换后的均值和协方差）

以对称分布采样的UT变换为例。设一个非线性变换。状态向量为维随机变量，已知其均值和方差。通过UT变换得到2n+1个sigma点和相应的权值。

（1）计算2n+1个sigma点，即采样点

表示矩阵方根的第列。注意应确保为半正定矩阵。

设:

,

则：

,​​​​​​​——与对称

合并起来就是9个sigma点：

sig1 sig2 sig3 sig4 sig5 sig6 sig7 sig8 sig9

（2）计算采样点相应的权值

将9个sigma点带入非线性方程得到新的sigma点：

假设得到 sig1 sig2 sig3 sig4 sig5 sig6 sig7 sig8 sig9

​​​​​​​，

定义权值，​​​​​​​​​​​​​

可求得下一个点的先验值（经过UT变换后得到的先验值)

​​​​​​​

(随便填的值，我就不算了哈哈哈)

以上是无迹变换算先验值的整个过程。

无迹卡尔曼滤波算法：

非线性系统：

步骤：

————1、经过UT变换求得sigma采样点及其权值

————2、计算2n+1个sigma点集的一步预测

————3、系统状态量的一步预测（相当于KF/EKF的先验值）

——UT变换后得到的新的状态值

————4、再次使用UT变换，产生新的sigma点集

————5、新的sigma点集带入观测方程，得到预测的观测量

​​​​​​​

————6、通过加权求得观测量新的均值及协方差

——UT变换后得到的新的观测值

————7、 计算卡尔曼增益

————8、系统的状态更新和协方差更新

图1. 卡尔曼滤波流程图

实际应用（仿真分析）：

系统方程：

,,,。

真实状态信息为：

UKF滤波算法得到的目标状态为：

定义均方根误差（RMSE）：

代码：

T=1;
N=60/T;
X=zeros(4,N); ——定义X为4行60列的数列
X(:,1)=[-100,2,200,20]; ——第一个点
Z=zeros(1,N); ——定义Z为1行60列的数列
delta_w=1e-3;
Q=delta_w*diag([0.5,1]); ——状态噪声
G=[T^2/2,0;T,0;0,T^2/2;0,T];
R=5;——观测噪声
F=[1,T,0,0;0,1,0,0;0,0,1,T;0,0,0,1];
x0=200;
y0=300; ——可以随便给定（Z方程里的值）

Xstation=[x0,y0];
v=sqrtm(R)*randn(1,N);
for t=2:N
X(:,t)=F*X(:,t-1)+G*sqrtm(Q)*randn(2,1);
end
for t=1:N
Z(t)=Dist(X(:,t),Xstation)+v(t);
end ——真实状态值和观测值

​​​​​​​

L=4;
alpha=1;
kalpha=0;
belta=2;
ramda=3-L;
for j=1:2*L+1
Wm(j)=1/(2*(L+ramda));
Wc(j)=1/(2*(L+ramda));
end
Wm(1)=ramda/(L+ramda); ——求第一次方差的权值
Wc(1)=ramda/(L+ramda)+1-alpha^2+belta; ——求第一次均值的权值

Wm​​​​​​​

Wc

Xukf=zeros(4,N);
Xukf(:,1)=X(:,1);
P0=eye(4);

for t=2:N ——（注：下面给出的数据是第一次循环）
xestimate=Xukf(:,t-1);

P=P0; ——初始协方差随便给定 (4行4列矩阵)
cho=(chol(P*(L+ramda)))’; ——半正定矩阵

for k=1:L
xgamaP1(:,k)=xestimate+cho(:,k);

xgamaP2(:,k)=xestimate-cho(:,k); —— xgamaP1的1列与xgamaP2的1列关于xestimate对称

xgamaP1的2列与xgamaP2的2列对称

xgamaP1的3列与xgamaP2的3列对称

​​​​​​​xgamaP1的4列与xgamaP2的4列对称

end
Xsigma=[xestimate,xgamaP1,xgamaP2]; ——求出第一步的9个sigma点

Xsigmapre=F*Xsigma;——9个sigma点带入非线性函数得到新的9个sigma点

Xpred=zeros(4,1);
for k=1:2*L+1
Xpred=Xpred+Wm(k)*Xsigmapre(:,k); ——新的状态值（先验值）4行1列

end

Ppred=zeros(4,4);
for k=1:2*L+1
Ppred=Ppred+Wc(k)*(Xsigmapre(:,k)-Xpred)*(Xsigmapre(:,k)-Xpred)’;
end
Ppred=Ppred+G*Q*G’; ——新的协方差

chor=(chol((L+ramda)*Ppred))’;
for k=1:L
XaugsigmaP1(:,k)=Xpred+chor(:,k);
XaugsigmaP2(:,k)=Xpred-chor(:,k);
end
Xaugsigma=[Xpred XaugsigmaP1 XaugsigmaP2];——先验值经UT变化得到新的9个sigma点 （用来算Z值）

for k=1:2*L+1;
Zsigmapre(1,k)=hfun(Xaugsigma(:,k),Xstation);——9个sigma点带入非线性函数得到新的9个 end sigma点，公式
Zpred=0;
for k=1:2*L+1
Zpred=Zpred+Wm(k)*Zsigmapre(1,k); ——新的Z值
end

Pzz=0;
for k=1:2*L+1
Pzz=Pzz+Wc(k)*(Zsigmapre(1,k)-Zpred)*(Zsigmapre(1,k)-Zpred)’;——用来求卡尔曼增益
end
Pzz=Pzz+R;

Pxz=zeros(4,1);
for k=1:2*L+1
Pxz=Pxz+Wc(k)*(Xaugsigma(:,k)-Xpred)*(Zsigmapre(1,k)-Zpred)’;——用来求卡尔曼增益
end

K=Pxz*inv(Pzz);

xestimate=Xpred+K*(Z(t)-Zpred); ——最终求得的值

P=Ppred-K*Pzz*K’; ——更新协方差值
P0=P;
Xukf(:,t)=xestimate;——迭代
end

for i=1:N
Err_KalmanFilter(i)=Dist(X(:,i),Xukf(:,i));
end
figure
hold on;box on;
plot(X(1,:),X(3,:),’-k.’);
plot(Xukf(1,:),Xukf(3,:),’-r+’);
legend(‘真实轨迹’,’UKF轨迹’)
figure
hold on;box on;
plot(Err_KalmanFilter,’-ks’,’MarkerFace’,’r’)

调用函数1：

function d=Dist(X1,X2)
if length(X2)<=2
d=sqrt((X1(1)-X2(1))^2+(X1(3)-X2(2))^2);
else
d=sqrt((X1(1)-X2(1))^2+(X1(3)-X2(3))^2);
end

调用函数2：
function[y]=hfun(x,xx)
y=sqrt((x(1)-xx(1))^2+(x(3)-xx(2))^2);

参考视频：

【卡尔曼滤波器】1_递归算法_Recursive Processing_哔哩哔哩_bilibili

参考书本：

卡尔曼滤波原理及应用——MATLAB仿真