激活函数

将输入信号的总和转换为输出信号，一般称为激活函数（activation function）。激活函数作用在于决定如何来激活输入信号的总和。
对激活函数，一般要求：

  1. 非线性：为提高模型的学习能力，如果是线性，那么再多层都相当于只有两层效果。
  2. 可微性：有时可以弱化，在一些点存在偏导即可。
  3. 单调性：保证模型简单。

激活函数在神经网络中的作用有很多，主要作用是给神经网络提供非线性建模能力。如果没有激活函数，那么再多层的神经网络也只能处理线性可分问题。

神经网络使用的激活函数：
（记住激活函数的表达式和对应的图形）

sigmoid函数
优点在于输出映射在(0，1)内，单调连续，适合用作输出层，求导容易；缺点是具有软饱和性，一旦输入数据落入饱和区，一阶导数变得接近0，就可能产生梯度消失问题。

公式

在python中实现sigmoid函数

def sigmoid(x):return 1 / (1+ np.exp(-x))

这里 np.exp(-x)对应exp(-x)，要注意的是参数x为NumPy数组，结果也能正确计算，sigmoid的运算会在NumPy数组的各个元素间进行

函数图形

阶跃函数
阶跃函数的定义当输人超过0时，输出1否则输出0。
实现如下：

def step_function(x):return np.array(x > 0, dtype=int)

tip: 对NumPy数组进行不等号运算后，数组的各个元素都会进行不等号原酸生成一个布尔型数组。然后将数组y的元素类型从布尔型转换为int型

函数图形

sigmoid函数和阶跃函数的比较

  1. “平滑性”的不同：阶跃函数只能返回0或1，sigmoid函数可以返回0.71、0.80等实数
  2. 两个函数具有相同的形状，两者的结构均是“输入小时，输出接近0(为0)，随着输人增大,输出向1靠近(变成1）。
  3. 两者均为非线性函数

要注意的是：神经网络的激活函数必须使用非线性函数。因为使用线性函数的话，加深神经网络的层数就没有意义了。也就是常说的断线性。
线性函数的问题在于，不管如何加深层数，总是存在与之等效的“无隐藏层的神经网络”。例如：这里我们考虑把线性函数h(z)=c作为激活函数，把y(z)=h(h(h(z)))的运算对应3层神经网络·。这个运算会进行y(z)=c x c x c x X的乘法运算，但是同样的处理可以由y(z)=az(注意a=c3)这一次乘法运算(即没有隐藏层的神经网络)来表示。换言之，用线性函数无法发挥叠加层的作用

ReLU函数
relu函数是目前最受欢迎的激活函数，在x＜0时，硬饱和，x＞0时，导数为1，所以在x＞0时保持梯度不衰减，从而可以缓解梯度消失问题，能更快收敛，并提供神经网络的稀疏表达能力。但随着训练的进行，部分输入会落入硬饱和区，导致对应的权重无法更新，称为“神经元死亡”
ReLU函数在输人大于0时，直接输出该值;在输入小于等于0时，输出0
ReLU函数的实现如下：

def relu(x):return np,maximum(0,x)

函数图形

tanh
tanh激活函数同样具有软饱和性，输出以0为中心，收敛速度比tanh激活函数同样具有软饱和性，输出以0为中心，收敛速度比sigmoid快，但是也存在梯度消失问题
tanh函数公式如下：

在python的实现如下：

def tanh(x):return np.tanh(x)

图形如下：

在搭建神经网络时，如何选择激活函数？
如果搭建的神经网络层数不多，选择sigmoid、tanh、relu、softmax都可以；
如果搭建的网络层次比较多，那就需要小心，选择不当就可导致梯度消失问题。此时一般不宜选择sigmoid、tanh激活函数，因它们的导数都小于1，尤其是sigmoid的导数在[0，1/4]之间，多层叠加后，根据微积分链式法则，随着层数增多，导数或偏导将指数级变小。所以层数较多的激活函数需要考虑其导数不宜小于1，当然导数也不能大于1，大于1将导致梯度爆炸，导数为1最好，激活函数relu正好满足这个条件。所以，搭建比较深的神经网络时，一般使用relu激活函数，虽然一般神经网络也可使用。此外，激活函数softmax由于Σσi(Z)=1，常用于多分类神经网络输出层。

补充
饱和，软饱和，硬饱和的概念

  1. 饱和
    当x趋近于正无穷，h(x)趋近于0，称之为右饱和。
    当n趋近于负无穷，h(x)趋近于0，称之为左饱和。
    当一个函数既满足左饱和又满足右饱和的时候就称之为饱和。
  2. 硬饱和
    对于任意的x，如果存在常数c，当x>c时，恒有h(x)=0，则称其为右硬饱和。
    如果对于任意的x，如果存在常数c，当x<c时，恒有h(x)=0,则称其为左硬饱和。
    既满足左硬饱和又满足右硬饱和的我们称这种函数为硬饱和。
  3. 软饱和
    对于任意的x，如果存在常数c，当x>c时，恒有h(x)趋近于0，则称其为右软饱和。
    如果对于任意的x，如果存在常数c，当x<c时，恒有h(x) 趋近于0，则称其为左软饱和。
    既满足左软饱和又满足右软饱和的我们称这种函数为软饱和。