前言

Wassup guys，我是Edison

今天是C语言每日一练，第154天！

Let’s get it！

文章目录

• 1. 问题描述
• 2. 题目分析
• 3. 算法设计
• 4. 确定程序框架
• 5. 迭代法求方程根
• 6. 代码实现

1. 问题描述

编写用牛顿迭代法求方程根的函数。

方程为 a x2+ b x2+ c x + d = 0ax^2+bx^2+cx+d=0ax2+bx2+cx+d=0，系数a，b，c，d 由主函数输入。

求 $x$ 在 $1$ 附近的一个实根。求出根后，由主函数输出。

牛顿迭代法的公式是：− f( x 0) f ′( x 0) -\frac{f(x_0 )}{f'(x_0)} −f′(x0​)f(x0​)​ ，设迭代到 ∣x− x 0∣≤1 0 −5 |x-x_0|\leq10^{-5} ∣x−x0​∣≤10−5 时结束。

2. 题目分析

牛顿迭代法是取 x0 x_0x0​ 之后，在这个基础上，找到比 x0 x_0x0​ 更接近的方程的根，一步一步迭代，从而找到更接近方程根的近似根。

设 $r$ 是 $f(x)=0$ 的根，选取 x 0x_0 x0​ 作为 $r$ 初始近似值。

过点 ( x 0,f( x 0))(x_0, f(x_0)) (x0​,f(x0​)) 作为曲线 $y=f(x)$ 的切线 $L$，

$L$ 的方程为 y=f( x 0)+ f ′( x 0)∗(x− x 0)y=f(x_0)+f'(x_0)*(x-x_0) y=f(x0​)+f′(x0​)∗(x−x0​)，

求出 L 与 x 轴交点的横坐标 x 1= x 0−f( x 0)/ f ′( x 0)x_1=x_0-f(x_0)/f'(x_0) x1​=x0​−f(x0​)/f′(x0​)，称 $x$ 为 $r$ 的一次近似值，

过点 ( x 1,f( x 1))(x_1,f(x_1)) (x1​,f(x1​)) 作为曲线 $y=f(x)$ 的切线，并求该切线与 x 轴的横坐标 x 2= x 1−f( x 1)/ f ′( x 1)x_2=x_1-f(x_1)/f'(x_1) x2​=x1​−f(x1​)/f′(x1​)，称 x 2x_2 x2​ 为 $r$ 的二次近似值，

重复以上过程，得 $r$ 的近似值 x nx_n xn​。

上述过程即为牛顿迭代法的求解过程。

3. 算法设计

程序流程分析

(1) 在 $1$ 附近找任一实数作为 x 0x_0 x0​ 的初值，我们取 $1.5$，即 x 0=1.5x_0=1.5 x0​=1.5

(2) 用初值 x 0x_0 x0​ 代入方程中计算此时的 f( x 0)f(x_0) f(x0​) 及 f ′( x 0)f'(x_0) f′(x0​)；程序中用变量 $f$ 描述方程的值，用 $fd$ 描述方程求导之后的值。

(3) 计算增量 $h=f/fd$。

(4) 计算下一个 x:x= x 0−hx:x=x_0-h x:x=x0​−h。

(5) 用新产生的 $x$ 替换原来的 x ox_o xo​，为下一次迭代做好准备。

(6) 若 ∣x− x 0∣>=1e−5|x-x_0|>=1e-5 ∣x−x0​∣>=1e−5，则转到第 (3) 步继续执行，否则转到步骤 (7)。

(7) 所求 $x$ 就是方程 a x 3+b x 2+cx+d=0ax^3+bx^2+cx+d=0 ax3+bx2+cx+d=0 的根，将其输出。

本程序的编写既可用 while，也可用 do...while，二者得到的结果是一样的，只是在赋初值时稍有不同。

while 结构需要先判定条件，即先判断 ∣x− x 0∣>=1e−5|x-x_0|>=1e-5 ∣x−x0​∣>=1e−5 是否成立，这样对于 $x$， x 0x_0 x0​ 我们要在 $1$ 附近取两个不同的数值作为初值；

do...while 结构是先执行一次循环体，得到 $x$ 的新值后再进行判定，这样程序开始只需给 $x$ 赋初值。

这里我们采用 do...while 结构来实现。

4. 确定程序框架

程序的主体结构如下

由于程序中用到了绝对值函数 fabs() ， 所以在程序的开始要加上头文件#include 。

流程图如下所示

5. 迭代法求方程根

编写程序时要注意的一点是判定 ∣ x − x0∣ > = 1 e − 5|x-x_0|>=1e-5∣x−x0​∣>=1e−5。

从牛顿迭代法的原理可以看出：迭代的实质就是越来越接近方程根的精确值，最初给 x 0x_0 x0​ 所赋初值与根的精确值是相差很多了，正是因为这个我们才需要不断地进行迭代，也就是程序中循环体的功能。

在经过一番迭代之后所求得的值之间的差别也越来越小，直到求得的某两个值的差的绝对值在某个范围之内时，便可结束迭代。

若我们把判定条件改为 ∣x− x 0∣<1e−5|x-x_0|<1e-5 ∣x−x0​∣<1e−5，则第一次的判断结果必为假，这样就不能进入循环体再次执行。

定义 solution()函数求方程的根。solution()函数的代码如下

6. 代码实现

完整代码

#include #include float solution(float a, float b, float c, float d){float x0, f, fd, h; float x = 1.5;do{x0 = x; f = a * x0 * x0 * x0 + b * x0 * x0 + c * x0 + d;fd = 3 * a * x0 * x0 + 2 * b * x0 + c;h = f / fd;x = x0 - h; } while (fabs(x-x0) >= 1e-5);return x;}int main(){float a, b, c, d; float x; printf("请输入方程的系数：");scanf("%f %f %f %f", &a, &b, &c, &d);x = solution(a, b, c, d);printf("\n");printf("所求方程的根为：x=%f\n", x);return 0;}

运行结果

代码解释