一 、目的：

1.掌握最短路径算法的基本原理及编程实现；

二 、环境：

operating system version：Win11
CPU instruction set: x64
Integrated Development Environment：Viusal Studio 2022

三 、内容：

1)建立一张图，选择一种存储结构(邻接矩阵或邻接表)初始化该图；
2)用Dijkstra算法实现点与点之间的最短路径。

四 、要求：

1) 实现图的两种表示方法；
2) 实现Dijkstra算法；

五 、步骤：

1. 程序：

#include#define MVNum 100#define MaxInt 32767 //极大值，即∞using namespace std;typedef int ArcType;typedef char VerTextType[20];int* D = new int[MVNum];bool* S = new bool[MVNum]; int* Path = new int[MVNum]; typedef struct ArcNode //边结点{int adjver; //该边所指向的顶点位置struct ArcNode* nextarc; //指向下一条边的指针ArcType weight;} ArcNode;typedef struct VNode //顶点信息{VerTextType data;ArcNode* firstarc;} VNode, AdjList[MVNum];typedef struct node{AdjList vertices;int vexnum; //图的当前顶点数int arcnum; //图的当前边数} ALGraph;//临接表存储方式最短路径（dijkstra）,复杂度O(n^2)void ShortestPath_DIJ2(ALGraph G, int v0, ArcType D[], int Path[]){int ok[MVNum], i, j; // ok数组标记是否确定最短路径for (i = 0; i < G.vexnum; i++) {ok[i] = 0;Path[i] = -1;D[i] = MaxInt;}D[v0] = 0;for (i = 0; i < G.vexnum; i++) {int min_node = -1;for (j = 0; j < G.vexnum; j++) {if (ok[j] == 0 && (min_node == -1 || D[j] adjver] == 0 && D[cur->adjver] > D[min_node] + cur->weight) {D[cur->adjver] = D[min_node] + cur->weight;Path[cur->adjver] = min_node;}cur = cur->nextarc;}}}//图的邻接矩阵typedef struct{char vexs[MVNum];//顶点表 int arcs[MVNum][MVNum]; //邻接矩阵}Graph;void InitGraph(Graph& G, int vex){cout << "输入点的名称，如a" << endl;for (int i = 0; i < vex; ++i) {cout << "请输入第" << (i + 1) <> G.vexs[i]; }cout << endl;for (int i = 0; i < vex; ++i)//初始化邻接矩阵，边的权值均置为极大值MaxInt for (int j = 0; j < vex; ++j){if (j != i)G.arcs[i][j] = MaxInt;elseG.arcs[i][j] = 0;}}//确定点v在G中的位置int LocateVex(Graph G, char v, int vex) {for (int i = 0; i < vex; ++i)if (G.vexs[i] == v)return i;return -1;}//创建无向网Gvoid CreateUDN(Graph& G, int vex, int arc){int i, j, k;cout << "输入边依附的顶点(node1 node2 weight)" << endl;for (k = 0; k < arc; ++k) {//构造邻接矩阵 char v1, v2;int o;cout << "请输入第" << (k + 1) <> v1 >> v2 >> o; i = LocateVex(G, v1, vex);j = LocateVex(G, v2, vex);G.arcs[j][i] = G.arcs[i][j] = o;}}void DisplayGraph(Graph G, int vex){int i, j;for (i = 0; i < vex; ++i) {for (j = 0; j < vex; ++j) {if (G.arcs[i][j] != MaxInt)cout << G.arcs[i][j] << "\t";elsecout << "∞" << "\t";}cout << endl;}}//用Dijkstra算法求无向网G的v0顶点到其余顶点的最短路径 void ShortestPath_DIJ(Graph G, int v0, int vex) {int v, i, w, min;int n = vex; for (v = 0; v < n; ++v) {S[v] = false; D[v] = G.arcs[v0][v]; if (D[v] < MaxInt)Path[v] = v0;else Path[v] = -1;}S[v0] = true; D[v0] = 0;for (i = 1; i < n; ++i) {min = MaxInt;for (w = 0; w < n; ++w)if (!S[w] && D[w] < min) { v = w;min = D[w];}//if S[v] = true;for (w = 0; w < n; ++w)//更新从v0出发到集合V?S上所有顶点的最短路径长度 if (!S[w] && (D[v] + G.arcs[v][w] < D[w])) {D[w] = D[v] + G.arcs[v][w]; //更新D[w] Path[w] = v;//更改w的前驱}}for (int i = 0; i < vex; i++) {if (D[i] != 0)if (D[i] != MaxInt)cout << "到" << G.vexs[i] << "最短路径长度:" << D[i] << endl;else{cout << "到" << G.vexs[i] << "最短路径长度:" << "无法到达" << endl;}}}int main(){Graph G;int vexnum, arcnum; cout <> vexnum >> arcnum;cout << endl;InitGraph(G, vexnum);int v = 0;CreateUDN(G, vexnum, arcnum);cout << endl;cout << "已创建无向图G" << endl << endl;DisplayGraph(G, vexnum);int v0 = LocateVex(G, '0', vexnum);ShortestPath_DIJ(G, v0, vexnum);}

2.程序结果：

1）程序运行，我使用的测试数据如下所示：

2）我采用邻接矩阵的方式实现最短路径的存储。创建的无向图G如下：

3）最终通过Dijkstra算法输出源点0到其余节点的最短路径如下：

六 、小结：

此次是关于Dijkstra最短路径算法的编程与实现。我先分别尝试了采用邻接矩阵以及邻接表的存储结构，比较了他们的优缺点：其中图的邻接矩阵存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。从这个矩阵中，可以较容易知道图中的信息。1）可以判断任意两顶点是否有边无边；2）可以知道某个顶点的度，其实就是这个顶点vi在邻接矩阵中第i行或（第i列）的元素之和；3）求顶点vi的所有邻接点就是将矩阵中第i行元素扫描一遍，arc[i][j]为1就是邻接点；而邻接表则是将图中顶点用一个一维数组存储，当然，顶点也可以用单链表来存储。图中每个顶点vi的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不定，所以，用单链表存储，无向图称为顶点vi的边表，有向图则称为顶点vi作为弧尾的出边表。

最终我在构建图的时候选择了邻接矩阵的方式实现。通过邻接矩阵的Dijkstra时间复杂度是O(N2)。其中每次找到离1号顶点最近的顶点的时间复杂度是 O(N)。整个程序的基本思想是：设置两个顶点集S和T，集合S中存放已经找到最短路径的顶点，集合T中存放着当前还未找到最短路径的顶点；初始状态下，集合S中只包含源点V1，T中为除了源点以外的其他顶点，此时源点到各顶点的最短路径为两个顶点所连的边上的权值，若是源点V1到该顶点没有边，则最小路径为无穷大；从集合T中选取到源点V1的路径长度最短的顶点Vi加入到集合S中；修改源点V1到集合T中剩余顶点Vj的最短路径长度。新的最短路径长度值为Vj原来的最短路径长度值与顶点Vi的最短路径长度加上Vi到Vj的路径长度值中的较小者；不断重复步骤三、4，直至集合T的顶点所有加入到集合S中。