克拉默法则证明(Cramer‘s Rule)

若 n 个方程 n 个未知量构成的非齐次线性方程组：

{ a11x1+ a12x2+ . . . + a 1 nxn= b1a21x1+ a22x2+ . . . + a 2 nxn= b2. . . . . . a n 1×1+ a n 2×2+ . . . + a n nxn= bn \begin{equation*} \begin{cases} a_{11}x_{1} + a_ {12}x_{2} + … + a_{1n}x_{n} = b_1 \\ a_{21}x_{1} + a_ {22}x_{2} + … + a_{2n}x_{n} = b_2 \\ … …\\ a_{n1}x_{1} + a_ {n2}x_{2} + … + a_{nn}x_{n} = b_n \end{cases} \end{equation*} ⎩ ⎨ ⎧​a11​x1​+a12​x2​+…+a1n​xn​=b1​a21​x1​+a22​x2​+…+a2n​xn​=b2​……an1​x1​+an2​x2​+…+ann​xn​=bn​​​

的系数行列式 $|A|\ne 0$，则方程组有唯一解，且

x i= ∣ A i∣∣A∣ ,i=1,2,…,nx_i = \frac{|A_i|}{|A|}, i = 1, 2, …, n xi​=∣A∣∣Ai​∣​,i=1,2,…,n

其中 ∣ Ai∣|A_i|∣Ai​∣ 是 $|A|$ 中的 $i$ 列元素（即 xi x_ixi​ 的系数）替换成方程组右端的常数项 b1, b 2 , . . . , bn b_1, b2, …, b_nb1​,b2,…,bn​ 所构成的行列式。

证明：

使用 a1, . . . , an a_1, …, a_na1​,…,an​ 表示 A 的列，用 e1, . . . , en e_1, … , e_ne1​,…,en​ 表示 $n\times n$的单位阵$I$的列。由于有 $Ax=b$，由矩阵乘法：
A⋅[ e 1,…,x,…, e n] =[A e 1,…,Ax,…,A e n] =[ a 1,…,b,…, a n] = A i\begin{align*} A\cdot [e_1, …, x, …, e_n] &= [Ae_1, …, Ax, …, Ae_n] \\ &= [\ \ a_1\ , …\ , \ b\ \ , …, a_n] \\ &= A_i \end{align*} A⋅[e1​,…,x,…,en​]​=[Ae1​,…,Ax,…,Aen​]=[a1​,…,b,…,an​]=Ai​​
记 [ e1, . . . , x , . . . , en][e_1, …, x, …, e_n][e1​,…,x,…,en​] 为 Ii( x )I_i(x)Ii​(x)，

两边求行列式：

∣A∣⋅∣ I i(x)∣=∣ A i∣|A|\cdot|I_i(x)| = |A_i | ∣A∣⋅∣Ii​(x)∣=∣Ai​∣
其中： ∣ Ii( x ) ∣ = xi |I_i(x)| = x_i∣Ii​(x)∣=xi​

所以有： xi=∣ Ai∣ ∣ A ∣, ∣ A ∣ ≠ 0x_i = \frac{|A_i|}{|A|},|A|\neq 0xi​=∣A∣∣Ai​∣​,∣A∣=0，得证。