写在前面

一、牛顿法

1.看图理解牛顿法

2.公式推导-三角函数

3.公式推导-二阶泰勒展开

二、BFGS公式推导

三、L-BFGS

四、算法迭代过程

五、代码实现

1.torch.optim.LBFGS说明

2.使用LBFGS优化模型

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这篇文章是优化器系列的第三篇，主要介绍牛顿法、BFGS和L-BFGS，其中BFGS是拟牛顿法的一种，而L-BFGS是对BFGS的优化，那么事情还要从牛顿法开始说起。

一、牛顿法

函数最优化算法方法不唯一，其中耳熟能详的包括梯度下降法，梯度下降法是一种基于迭代的一阶优化方法，优点是计算简单；牛顿法也是一种很重要的优化方法，是基于迭代的二阶优化方法，优点是迭代次数少，收敛速度很快。下面我们简要介绍一下牛顿法。

1.看图理解牛顿法

最优化问题就是寻找能使函数最小化的x，所以目标函数应当是一个凸函数（起码是局部凸函数），假如一个函数如下图：

图1

他的一阶导数可能长下面这个样子：

图2

很显然函数在处取得最小值，同时这个点的导数等于0，如果使用梯度下降，经过多次迭代，x的取值会慢慢接近，我们都能想象这个过程。

如果使用牛顿法，x也会逼近，不过速度会快很多，示例图如下：

图3

这个过程可以这样描述：

a.在X轴上随机一点,经过做X轴的垂线,得到垂线与函数图像的交点.

b.通过做函数的切线,得到切线与X轴的交点.

c.迭代a/b两步，当前后两次求的x相同或者两个值的差小于一个阈值的时候，我们就认为找到了。

三个步骤的难点在于b，如何快速的找到切线与X轴的交点，下面有两种计算方式，思想不同但结果是一样的。

2.公式推导-三角函数

图4

如图4，蓝色的线是函数的的导数，则曲线在处的导数为，我们要求，根据三角函数有：

（1）

得出：

（2）

利用开始进行下一轮的迭代。迭代公式可以简化如下：

（3）

3.公式推导-二阶泰勒展开

任意一点在附近的二阶泰勒展开公式为：

（4）

对求导：

（5）

令:

（6）

写成迭代形式：

（7）

可以看到使用三角函数和二阶泰勒展开最终得到的结果是一样的。虽然牛顿法收敛速度很快，但是当x的维度特别多的时候，我们想求得是非常困难的，而牛顿法又是一个迭代算法,所以这个困难我们还要面临无限多次，导致了直接使用牛顿法最为优化算法很难实际落地。为了解决这个问题出现了拟牛顿法，下面介绍一种拟牛顿法BFGS，主要就是想办法一种方法代替二阶导数。

二、BFGS公式推导

函数在处的二阶泰勒展开式为：

（8）

当x为向量的时候，上式写成：

（9）

令，同时对求导：

（10）

接下来我们要想办法去掉，我们使用代替，是在迭代中一点点计算出来的而不使用二阶导数。

上式变为:

（11）

（12）

我们认为每次迭代与上次变化，形式如下：

（13）

令：

，（14）

将式（13）（14）带入式子（12）：

（15）

令：

（16）

其中均为的向量，带入（15）

（17）

（18）

已知：为实数，为向量。式（18）中，参数和解的可能性有很多，我们取特殊的情况，假设。带入（16）得：

（19）

将带入（18）得：

（20）

（21）

令，则：

（22）

令，则

（23）

将式（22）和（23）带入（19）：

（24）

将（24）带入（13）得到的迭代公式：

（24）

当x为向量的时候，式（7）写成：

（25）

加上学习率得到BFGS的迭代公式：

（26）

我们发现，还需要求的逆，这里可以引入sherman-morrism公式，求解的逆：

（27）

我们用代替，得到最终的BFGS迭代公式和的迭代公式：

（28）

（29）

其中是本轮x与上一轮x的差，是本轮梯度与上一轮梯度的差。

三、L-BFGS

在BFGS算法中，仍然有缺陷，每次迭代计算需要前次迭代得到的，的存储空间至少为N(N+1)/2（N为特征维数），对于高维的应用场景，需要的存储空间将是非常巨大的。为了解决这个问题，就有了L-BFGS算法。L-BFGS即Limited-memory BFGS。 L-BFGS的基本思想就是通过存储前m次迭代的少量数据来替代前一次的矩阵，从而大大减少数据的存储空间。

令，则式（29）可以表示为：

（30）

若在初始时，假定初始的矩阵，则我们可以得到：

（31）

（32）

假设当前迭代为n，只保存最近的m次迭代信息，按照上面的方式迭代m次，可以得到如下的公式：

由于这些变量都最终可以由s、y两个向量计算得到，因此，我们只需存储最后m次的s、y向量即可算出，加上对角阵，总共需要存储2*m+1个N维向量（实际应用中m一般取4到7之间的值，因此需要存储的数据远小于Hesse矩阵）。

四、算法迭代过程

1. 选初始点，最小梯度阈值，存储最近 m 次的选代数据；

2.初始化；

3.如果，则返回最优解 x，否则转入步骤4；

4.计算本次选代的可行方向；

5.计算步长，用下面的式子进行线搜索；

6.用下面的更新公式更新x；

7.如果 n大于 m，保留最近 m 次的向量对，删除；

8.计算并保存向量对

9.用 two-loop recursion算法求：

10.设置，转到步骤3

五、代码实现

1.torch.optim.LBFGS说明

该类实现 LBFGS优化方法。LBFGS是什么已经不用多说了。

Pytorch说明文档：LBFGS — PyTorch 1.13 documentation

'''lr (float): 学习率 (default: 1)max_iter (int): 每个优化步骤的最大迭代次数，就像图3那样迭代 (default: 20)max_eval (int): 每次优化函数计算的最大数量，使用了线搜索算法时，每次迭代计数器可能增加不止1，最好使用线搜索算法时再设置这个参数。计数器同时受max_iter 和max_eval约束，先到哪个值直接跳出迭代。(default: max_iter * 1.25).tolerance_grad (float): 一阶最优终止公差，就是指yn (default: 1e-5).tolerance_change (float): 函数值/参数变化的终止容差,就是指sn (default: 1e-9).history_size (int): 更新历史记录大小 (default: 100).line_search_fn (str): 使用线搜索算法，只能是'strong_wolfe' 或者None (default: None).'''class torch.optim.LBFGS(params, lr=1.0, rho=0.9, eps=1e-06, weight_decay=0)

2.使用LBFGS优化模型

我们用一个简单的全连接网络并使用LBFGS优化，下面是代码和运行结果，可以看到，损失下降的速度还是很快的。

# coding=utf-8#================================================================## File name : optim_duibi.py# Author: Faye# Created date: 2022/8/26 17:30# Description :##================================================================import torchimport torch.utils.data as Dataimport torch.nn.functional as Ffrom torch.autograd import Variableimport matplotlib.pyplot as plt# 超参数LR = 0.01BATCH_SIZE = 32EPOCH = 12# 生成假数据# torch.unsqueeze() 的作用是将一维变二维，torch只能处理二维的数据x = torch.unsqueeze(torch.linspace(-1, 1, 1000), dim=1)# x data (tensor), shape(100, 1)# 0.2 * torch.rand(x.size())增加噪点y = x.pow(2) + 0.1 * torch.normal(torch.zeros(*x.size()))# 定义数据库dataset = Data.TensorDataset(x, y)# 定义数据加载器loader = Data.DataLoader(dataset=dataset, batch_size=BATCH_SIZE, shuffle=True, num_workers=0)# 定义pytorch网络class Net(torch.nn.Module):def __init__(self, n_features, n_hidden, n_output):super(Net, self).__init__()self.hidden = torch.nn.Linear(n_features, n_hidden)self.predict = torch.nn.Linear(n_hidden, n_output)def forward(self, x):x = F.relu(self.hidden(x))y = self.predict(x)return y# 定义不同的优化器网络net_LBFGS = Net(1, 10, 1)# 选择不同的优化方法opt_LBFGS = torch.optim.LBFGS(net_LBFGS.parameters(), lr=LR, max_iter=20)nets = [net_LBFGS]optimizers = [opt_LBFGS]# 选择损失函数loss_func = torch.nn.MSELoss()# 不同方法的lossloss_LBFGS = []# 保存所有losslosses = [loss_LBFGS]# 执行训练for epoch in range(EPOCH):for step, (batch_x, batch_y) in enumerate(loader):var_x = Variable(batch_x)var_y = Variable(batch_y)for net, optimizer, loss_history in zip(nets, optimizers, losses):if isinstance(optimizer, torch.optim.LBFGS):def closure():y_pred = net(var_x)loss = loss_func(y_pred, var_y)optimizer.zero_grad()loss.backward()return lossloss = optimizer.step(closure)else:# 对x进行预测prediction = net(var_x)# 计算损失loss = loss_func(prediction, var_y)# 每次迭代清空上一次的梯度optimizer.zero_grad()# 反向传播loss.backward()# 更新梯度optimizer.step()# 保存loss记录loss_history.append(loss.data)# 画图labels = ['LBFGS']for i, loss_history in enumerate(losses):plt.plot(loss_history, label=labels[i])plt.legend(loc='best')plt.xlabel('Steps')plt.ylabel('Loss')plt.ylim((0, 0.2))plt.show()