文章目录

• 小波分解与小波包分解
• 小波包-小波包树与时频图
• 小波包分解系数
• 信号的能量
• python 实例
• • 小波包的使用
• 参考

小波分解与小波包分解

工程应用中经常需要对一些非平稳信号进行，小波分析和小波包分析适合对非平稳信号分析，相比较小波分析，利用小波包分析可以对信号分析更加精细，小波包分析可以将时频平面划分的更为细致，对信号的高频部分的分辨率要好于小波分析，可以根据信号的特征，自适应的选择最佳小波基函数，比便更好的对信号进行分析，所以小波包分析应用更加广泛。
小波包分解（Wavelet Packet Decomposition），又称为最优子带树结构（Optimal Subband Tree Structuring）正是对小波变换的进一步优化。其主要的算法思想是：在小波变换的基础上，在每一级信号分解时，除了对低频子带进行进一步分解，也对高频子带进行进一步分解。最后通过最小化一个代价函数，计算出最优的信号分解路径，并以此分解路径对原始信号进行分解。

①小波分解
小波变换只对信号的低频部分做进一步分解，而对高频部分也即信号的细节部分不再继续分解，所以小波变换能够很好地表征一大类以低频信息为主要成分的信号，不能很好地分解和表示包含大量细节信息（细小边缘或纹理）的信号，如非平稳机械振动信号、遥感图象、地震信号和生物医学信号等。

②小波包分解
小波包变换既可以对低频部分信号进行分解，也可以对高频部分进行分解，而且这种分解既无冗余，也无疏漏，所以对包含大量中、高频信息的信号能够进行更好的时频局部化分析。

小波包-小波包树与时频图

小波包树解读：

以上即是小波包树，其中节点的命名规则是从（1，0）开始，叫1号， （1，1）是2号………依此类推，（3，0）是7号，（3，7）是14号。 每个节点都有对应的小波包系数，这个系数决定了频率的大小，也就是说频率信息已经有了，但是时域信息在哪里呢？ 那就是 order。 这个order就是这些节点的顺序，也就是频率的顺序。

小波包分解系数

在数值分析中，我们学过内积，内积的物理含义：两个图形的相似性，若两个图形完全正交，则内积为0，若两个图形完全一样，则系数为1（相对值）。小波变换的实质是：原信号与小波基函数的相似性。小波系数就是小波基函数与原信号相似的系数。

连续小波变换：小波函数与原信号对应点相乘，再相加，得到对应点的小波变换系数，平移小波基函数，再计算小波函数与原信号对应点相乘，再相加，这样就得到一系列的小波系数。对于离散小波变换（由于很多小波函数不是正交函数，因此需要一个尺度函数）所以，原信号函数可以分解成尺度函数和小波函数的线性组合，在这个函数中，尺度函数产生低频部分，小波函数产生高频部分

信号的能量

python 实例

小波包的使用

2.1 导入相关的包
下面的导入的包中主要是pywt和matplotlib

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport osfrom sklearn import preprocessingimport pywtimport pywt.dataimport pandas as pd

2.2 小波包各节点按照频率由低到高

wp = pywt.WaveletPacket(data=tr, wavelet='db1',mode='symmetric',maxlevel=3)#根据频段频率（freq）进行排序print([node.path for node in wp.get_level(1, 'freq')])print([node.path for node in wp.get_level(2, 'freq')])print([node.path for node in wp.get_level(3, 'freq')])

代码中tr表示输入的一维数据，执行结果如下

[‘a’, ‘d’]
[‘aa’, ‘ad’, ‘dd’, ‘da’]
[‘aaa’, ‘aad’, ‘add’, ‘ada’, ‘dda’, ‘ddd’, ‘dad’, ‘daa’]
2.3 打印小波家族

pywt.families()#pywt.families(short=False)

执行结果如下：

[‘haar’, ‘db’, ‘sym’, ‘coif’, ‘bior’, ‘rbio’, ‘dmey’, ‘gaus’, ‘mexh’, ‘morl’, ‘cgau’, ‘shan’, ‘fbsp’, ‘cmor’]
2.4 小波包的分解
（1）小波包分解中关键方法：

wp = pywt.WaveletPacket(data=tr, wavelet='db1',mode='symmetric',maxlevel=3)

该方法输入原始信号tr， 小波函数’db1’，模式’symmetric’，以及最大的分解层数为3。返回wp是小波包树，根据小波包树我们可以提取分解系数。

（2）提取分解系数：

 下面aaa是小波包变换第三层第一个的分解系数

aaa = wp['aaa'].data 所以可以使用下面的方法提取每一层的每个节点的小波系数，当然这个方法不太方便，需要一个一个的写，后面有更好的方法：a = wp['a'].data #第1个节点d = wp['d'].data #第2个节点#第二层aa = wp['aa'].data ad = wp['ad'].data dd = wp['dd'].data da = wp['da'].data #第三层aaa = wp['aaa'].data aad = wp['aad'].data ada = wp['add'].data add = wp['ada'].data daa = wp['dda'].data dad = wp['ddd'].data dda = wp['dad'].data ddd = wp['daa'].data 

（3） 作小波树图，下面代码中没有优化，后面做了优化：

plt.figure(figsize=(15, 10)) plt.subplot(4,1,1)plt.plot(tr)#第一层plt.subplot(4,2,3)plt.plot(a)plt.subplot(4,2,4)plt.plot(d)#第二层plt.subplot(4,4,9)plt.plot(aa)plt.subplot(4,4,10)plt.plot(ad)plt.subplot(4,4,11)plt.plot(dd)plt.subplot(4,4,12)plt.plot(da)#第三层plt.subplot(4,8,25)plt.plot(aaa)plt.subplot(4,8,26)plt.plot(aad)plt.subplot(4,8,27)plt.plot(add)plt.subplot(4,8,28)plt.plot(ada)plt.subplot(4,8,29)plt.plot(dda)plt.subplot(4,8,30)plt.plot(ddd)plt.subplot(4,8,31)plt.plot(dad)plt.subplot(4,8,32)plt.plot(daa)

（4） 代码优化，使用的wpd_plt(signal,n)将上面的代码优化和封装了，signal代表输入信号，n代表分解层数：

def wpd_plt(signal,n):#wpd分解wp = pywt.WaveletPacket(data=signal, wavelet='db1',mode='symmetric',maxlevel=n) #计算每一个节点的系数，存在map中，key为'aa'等，value为列表map = {}map[1] = signalfor row in range(1,n+1):lev = []for i in [node.path for node in wp.get_level(row, 'freq')]:map[i] = wp[i].data #作图plt.figure(figsize=(15, 10))plt.subplot(n+1,1,1) #绘制第一个图plt.plot(map[1])for i in range(2,n+2):level_num = pow(2,i-1)#从第二行图开始，计算上一行图的2的幂次方#获取每一层分解的node：比如第三层['aaa', 'aad', 'add', 'ada', 'dda', 'ddd', 'dad', 'daa']re = [node.path for node in wp.get_level(i-1, 'freq')]for j in range(1,level_num+1):plt.subplot(n+1,level_num,level_num*(i-1)+j)plt.plot(map[re[j-1]]) #列表从0开始

2.5 小波包能量特征提取

n = 3re = []#第n层所有节点的分解系数for i in [node.path for node in wp.get_level(n, 'freq')]:re.append(wp[i].data)#第n层能量特征energy = []for i in re:energy.append(pow(np.linalg.norm(i,ord=None),2))#for i in energy:

 绘制小波能量特征柱形图，注意这里的节点顺序不是自然分解的顺序，而是频率由低到高的顺序：

# 创建一个点数为 8 x 6 的窗口, 并设置分辨率为 80像素/每英寸plt.figure(figsize=(10, 7), dpi=80)# 再创建一个规格为 1 x 1 的子图# plt.subplot(1, 1, 1)# 柱子总数N = 8values = energy# 包含每个柱子下标的序列index = np.arange(N)# 柱子的宽度width = 0.45# 绘制柱状图, 每根柱子的颜色为紫罗兰色p2 = plt.bar(index, values, width, label="num", color="#87CEFA")# 设置横轴标签plt.xlabel('clusters')# 设置纵轴标签plt.ylabel('number of reviews')# 添加标题plt.title('Cluster Distribution')# 添加纵横轴的刻度plt.xticks(index, ('7', '8', '9', '10', '11', '12', '13', '14'))# plt.yticks(np.arange(0, 10000, 10))# 添加图例plt.legend(loc="upper right")plt.show()

作图如下：

参考

小波与小波包、小波包分解与信号重构、小波包能量特征提取 暨 小波包分解后实现按频率大小分布重新排列(Matlab 程序详解）
小波包变换/能量特征提取/结果图绘制-python代码