相机标定笔记

  • 坐标系转换
  • 四个不同类型的坐标系
    • 1. 世界坐标系
    • 2. 相机坐标系
    • 3. 图像物理坐标系
    • 4. 图像像素坐标系
  • 坐标转换
    • 世界坐标 → 相机坐标(刚性变换)
      • XX X旋转θ\theta θ
      • YY Y轴旋转θ\theta θ
      • ZZ Z轴旋转θ\theta θ
    • 相机坐标 → 图像坐标系(中心投影)
    • 图像坐标系 → 像素坐标系(离散化)

坐标系转换

之前只是停留在会用的阶段,一直没去读懂计算的原理,今天通读了大佬的文章,写的言简意赅,感谢感谢~~特此记录一下,仅用作个人笔记

贴链接,十分感谢~
https://blog.csdn.net/weixin_44278406/article/details/112986651
https://blog.csdn.net/guyuealian/article/details/104184551

四个不同类型的坐标系

将三维物体转换成照片上的二维坐标,由四个坐标系进行转换。

1. 世界坐标系

世界坐标系是一个特殊坐标系,它建立了描述其他坐标系需要的参考框架。能够用世界坐标系描述其他坐标系的位置,而不能用更大的、外部的坐标系描述世界坐标系。从非技术意义上讲,世界坐标系建立的是我们所关心的最大坐标系,而不必真的是整个世界。
( Xw, Yw, Zw)(X_w,Y_w,Z_w)(XwYwZw)来表示,世界坐标系可通过旋转和平移得到相机坐标系。

2. 相机坐标系

以相机透镜的几何中心(光心)为原点,坐标系满足右手法则,用 ( Xc, Yc, Zc)(X_c,Y_c,Z_c)(XcYcZc)来表示;相机光轴为坐标系的Z轴,X轴水平,Y轴竖直。

3. 图像物理坐标系

以CCD图像的中心为原点,坐标由 ( x , y )(x, y)(x,y) 表示,图像坐标系的单位,一般是毫米,坐标原点为相机光轴与成像平面的交点(一般情况下,这个交点是接近于图像的正中心)

CCD,英文全称:Charge coupled Device,中文全称:电荷耦合元件,可以称为CCD图像传感器。CCD是一种半导体器件,能够把光学影像转化为数字信号。 CCD上植入的微小光敏物质称作像素(Pixel)。一块CCD上包含的像素数越多,其提供的画面分辨率也就越高。

4. 图像像素坐标系

其实,当我们提及一个图像时,通常指的是图像的像素坐标系。像素坐标系的原点在左上角,并且单位为像素。

将图像坐标系的原点 O1 O_1O1 ,转化到以 O0 O_0O0 为原点的坐标系中。使用的原因:

  • 如果使用图像坐标系,单位mm,其实不太好衡量具体的图像,如果按照统一的像素标准,比较容易衡量图像的质量
  • 如果使用图像坐标系,然后就有四个象限,这样会有正负数的问题,但是转换成像素坐标系后,都为整数。在后续的操作和运算中,都简化很多。

坐标转换

针孔模型(The basic pinhole model)。这种模型在数学上是三维空间到二维平面(image plane or focal plane)的中心投影,由一个 3 × 43 × 43×4 投影矩阵 P = K [ R ∣ t ]P = K [ R | t ]P=K[Rt]来描述, KKK 为相机内参(internal camera parameters), [ R ∣ t ][R|t][Rt]为外参(external parameters)。

世界坐标 → 相机坐标(刚性变换)

[ XcYcZc1 ]= [ R t 0 1 ∗ 31 ] [ XwYwZw1 ]\begin{bmatrix}X_c \\ Y_c \\ Z_c \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}R & t\\\\ 0_{1*3} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}X_w \\ Y_w \\ Z_w \\ 1 \end{bmatrix} XcYcZc1 = R013t1 XwYwZw1
Xc, Yc, Zc X_c,Y_c,Z_cXcYcZc代表相机坐标; Xw, Yw, Zw X_w,Y_w,Z_wXwYwZw代表世界坐标;R代表正交单位旋转矩阵,t代表三维平移矢量。
根据旋转角度可以分别得三个方向上的旋转矩阵,而旋转矩阵即为他们的乘积: R = Rx∗ Ry∗ Rz R = R_x * R_y * R_zR=RxRyRz
顺便记录一下三个旋转矩阵的公式,经常忘记。

XXX旋转 θ\thetaθ

[ XcYcZc]= [ 1 0 0 0 cosθsinθ0 −sinθcosθ] [ XwYwZw]= R x [ XwYwZw]\begin{bmatrix}X_c\\Y_c\\Z_c\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&0&0\\0&cos\theta&sin\theta\\0&-sin\theta&cos\theta\end{bmatrix} \begin{bmatrix}X_w\\Y_w\\Z_w\end{bmatrix}=R_x\begin{bmatrix}X_w\\Y_w\\Z_w\end{bmatrix} XcYcZc = 1000cosθsinθ0sinθcosθ XwYwZw =Rx XwYwZw

YYY轴旋转 θ\thetaθ

[ XcYcZc]= [ cosθ0 −sinθ0 1 0 sinθ0 cosθ] [ XwYwZw]= R y [ XwYwZw]\begin{bmatrix}X_c\\Y_c\\Z_c\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}cos\theta&0&-sin\theta\\0&1&0\\sin\theta&0&cos\theta\end{bmatrix} \begin{bmatrix}X_w\\Y_w\\Z_w\end{bmatrix}=R_y\begin{bmatrix}X_w\\Y_w\\Z_w\end{bmatrix} XcYcZc = cosθ0sinθ010sinθ0cosθ XwYwZw =Ry XwYwZw

ZZZ轴旋转 θ\thetaθ

[ XcYcZc]= [ cosθsinθ0 −sinθcosθ0 0 0 1 ] [ XwYwZw]= R z [ XwYwZw]\begin{bmatrix}X_c\\Y_c\\Z_c\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}cos\theta&sin\theta&0\\-sin\theta&cos\theta&0\\0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}X_w\\Y_w\\Z_w\end{bmatrix}=R_z\begin{bmatrix}X_w\\Y_w\\Z_w\end{bmatrix} XcYcZc = cosθsinθ0sinθcosθ0001 XwYwZw =Rz XwYwZw

相机坐标 → 图像坐标系(中心投影)

相机坐标系到图像坐标系是透视关系,利用相似三角形进行计算。

写成齐次坐标形式的矩阵相乘为
Zc [ x y 1 ]= [ f 0 0 0 0 f 0 0 0 0 1 0 ] [ XcYcZc1 ]= [ K∣0] [ XcYcZc1 ]Zc \begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}f&0&0&0\\0&f&0&0\\0&0&1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}X_c\\Y_c\\Z_c\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}K|0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}X_c\\Y_c\\Z_c\\1\end{bmatrix} Zc xy1 = f000f0001000 XcYcZc1 =[K∣0] XcYcZc1
其中f代表焦距,即相机坐标系和图像坐标系在Z轴上的差。此时投影点p的单位还是mm,并不是pixel,不方便进行后续运算。

图像坐标系 → 像素坐标系(离散化)

像素坐标系的原点在左上角,并且单位为像素。像素坐标系和图像坐标系都在成像平面上,只是各自的原点和度量单位不一样。图像坐标系的原点为相机光轴与成像平面的交点,通常情况下是成像平面的中点或者叫principal point。图像坐标系的单位是mm,属于物理单位,而像素坐标系的单位是pixel,我们平常描述一个像素点都是几行几列。所以这二者之间的转换如下:其中dx和dy表示每一列和每一行分别代表多少mm,即1pixel=dx mm


Zc [ u v 1 ]= [ 1 d x0 u00 1 d yv00 0 1 ] [ f 0 0 0 0 f 0 0 0 0 1 0 ] [ R t 0 1 ∗ 31 ] [ XwYwZw1 ]Zc \begin{bmatrix}u\\v\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{d_x}&0&u_0\\0&\frac{1}{d_y}&v_0\\0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}f&0&0&0\\0&f&0&0\\0&0&1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}R & t\\\\ 0_{1*3} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}X_w \\ Y_w \\ Z_w \\ 1 \end{bmatrix} Zc uv1 = dx1000dy10u0v01 f000f0001000 R013t1 XwYwZw1
其中 [ 1 dx 0 u 00 1 dyv 0001][f0000f000010] \begin{bmatrix}\frac{1}{d_x}&0&u_0\\0&\frac{1}{d_y}&v_0\\0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}f&0&0&0\\0&f&0&0\\0&0&1&0 \end{bmatrix} dx1000dy10u0v01 f000f0001000 为相机内参矩阵, [ R t 0 1 ∗ 31 ]\begin{bmatrix}R & t\\\\ 0_{1*3} & 1 \end{bmatrix} R013t1 为外参矩阵。相机标定就是为了求解这两个矩阵的参数。