1.树概念及结构

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
• 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1**、T2、……、**Tm，其中每一个集合Ti(1<= i
  <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
• 因此，树是递归定义的

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2树的相关概念

节点的度：个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林
概念很多，还是要我们一一了解的！

1.3树得表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间 的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

1.4树的实际应用 (表示文件系统的目录树结构,网上查找的图片）

2.二叉树概念及结构

2.1相关概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合:

1.或者为空

2.由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

• 二叉树不存在度大于2的结点
• 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2特殊的二叉树:

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是 说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对 应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

关看概念是不好理解的，上图

2.3二叉树的性质

若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点.

若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^(h-1)

对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2,则有n0 ＝n2 ＋1

若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=long(n+1) . (ps：是log以2为底，n+1为对数)

对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有 :

1.若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点

2.若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子

3.若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

了解二叉树的性质后，我们不妨上手几道题

1.某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199

答案：B。n0 = n2+1，既n0=199+1 = 200
2.下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（ ）
A 非完全二叉树
B 堆
C 队列
D 栈

答案：A。

3.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2

答案：A。总结点数n = n0+n1+n2;又n2 = n0-1,既n=n0+n1+n0-1,在完全二叉树中，n1只有0个或者1个，代入选A

4.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A 11
B 10
C 8
D 12

答案：B

5.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386

答案：B。类似于第3题，总结点n = n0+n1+n0-1;n1为0或者1,代入能整除的选B

2.4二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空 间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺 序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2.链式结构

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是 链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所 在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程 学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

3.二叉树的顺序结构及实现

3.1 二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结 构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统 虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

4.二叉树链式结构的实现

在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树。

这棵树的代码实现：

#include #include #include typedef int BTDataType;typedef struct BinaryTreeNode{BTDataType data;struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;}BTNode;BTNode* CreatTree(){BTNode* n1 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));assert(n1);BTNode* n2 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));assert(n2);BTNode* n3 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));assert(n3);BTNode* n4 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));assert(n4);BTNode* n5 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));assert(n5);BTNode* n6 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));assert(n6);n1->data = 1;n2->data = 2;n3->data = 3;n4->data = 4;n5->data = 5;n6->data = 6;n1->left = n2;n1->right = n4;n2->left = n3;n2->right = NULL;n3->left = NULL;n3->right = NULL;n4->left = n5;n4->right = n6;n5->left = NULL;n5->right = NULL;n6->left = NULL;n6->right = NULL;return n1;}

搭建好框架，我们进行下一步操作

4.1层序遍历

先序、中序、后序遍历递归操作:

//先序void PreOrder(BTNode* root){if (root == NULL){printf("NULL ");return;}printf("%d ", root->data);PreOrder(root->left);PreOrder(root->right);}//中序void InOrder(BTNode* root){if (root == NULL){printf("NULL ");return;}InOrder(root->left);printf("%d ", root->data);InOrder(root->right);}//后序void PostOrder(BTNode* root){if (root == NULL){printf("NULL ");return;}PostOrder(root->left);PostOrder(root->right);printf("%d ", root->data);}

我们发现二叉树的层序遍历好像也不难，但是深入理解我们会发现递归调用过程还是蛮复杂的，下面我们来试着理解递归调用展开图。

除了这三种遍历的方式，二叉树还有层序遍历：

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序

那么如何实现层序遍历呢？

我们可以借用一个队列，把结点代入队列， 不为空出队列，在把孩子带入队列，在出队列，在把孩子代入，如此往复，直到结点全部出队列，即队列为空层序遍历结束。简单来说：就是上一层结点出的时候带入下一层结点。这里用C语言实现：所以我们首先是要去手写一个队列。

//二叉树typedef int BTDataType;typedef struct BinaryTreeNode{BTDataType data;struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;}BTNode;//队列（用链表实现，data的类型是BTNode*）typedef BTNode* QDataType;typedef struct QueueNode{struct QueueNode* next;QDataType data;}QNode;typedef struct Queue{QNode* head;QNode* tail;}Queue;void QueueInit(Queue* pq);void QueueDestroy(Queue* pq);void QueuePush(Queue* pq, QDataType x);void QueuePop(Queue* pq);QDataType QueueFront(Queue* pq);QDataType QueueBack(Queue* pq);bool QueueEmpty(Queue* pq);int QueueSize(Queue* pq);void QueueInit(Queue* pq){assert(pq);pq->head = pq->tail = NULL;}void QueueDestroy(Queue* pq){assert(pq);QNode* cur = pq->head;while (cur){QNode* next = cur->next;free(cur);cur = next;}pq->head = pq->tail = NULL;}void QueuePush(Queue* pq, QDataType x){assert(pq);QNode* newnode = (QNode*)malloc(sizeof(QNode));if (newnode == NULL){printf("malloc fail\n");exit(-1);}newnode->data = x;newnode->next = NULL;if (pq->tail == NULL){pq->head = pq->tail = newnode;}else{pq->tail->next = newnode;pq->tail = newnode;}}void QueuePop(Queue* pq){assert(pq);assert(!QueueEmpty(pq));if (pq->head->next == NULL){free(pq->head);pq->head = pq->tail = NULL;}else{QNode* next = pq->head->next;free(pq->head);pq->head = next;}}QDataType QueueFront(Queue* pq){assert(pq);assert(!QueueEmpty(pq));return pq->head->data;}QDataType QueueBack(Queue* pq){assert(pq);assert(!QueueEmpty(pq));return pq->tail->data;}bool QueueEmpty(Queue* pq){assert(pq);return pq->head == NULL;}int QueueSize(Queue* pq){assert(pq);QNode* cur = pq->head;int size = 0;while (cur){++size;cur = cur->next;}return size;}//层序遍历void TreeLevelOrder(BTNode*root){Queue q;QueueInit(&q);if (root)QueuePush(&q, root);while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);printf("%d ",front->data);//下一层if (front->left)QueuePush(&q, front->left);if (front->right)QueuePush(&q, front->right);}printf("\n");QueueDestroy(&q);}

4.2其他操作

节点的个数

// 节点的个数int TreeSize(BTNode* root){return root == NULL " />// 叶子节点个数int TreeLeafSize(BTNode* root){if (root == NULL)return 0;if (root->left == NULL&& root->right == NULL)return 1;return TreeLeafSize(root->left)+ TreeLeafSize(root->right);}

二叉树的高度

int TreeHeight(BTNode* root){if (root == NULL)return 0;int lh = TreeHeight(root->left);int rh = TreeHeight(root->right);return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;}

第k层节点的个数

// 第K层节点个数int TreeKLevel(BTNode* root, int k){assert(k > 0);if (root == NULL)return 0;if (k == 1)return 1;// 转换成求子树第k-1层return TreeKLevel(root->left, k - 1)+ TreeKLevel(root->right, k - 1);}

返回x所在的节点

// 返回x所在的节点BTNode* TreeFind(BTNode* root, BTDataType x){if (root == NULL)return NULL;if (root->data == x)return root;// 先去左树找BinaryTreeNode*lret = TreeFind(root->left, x);if (lret)return lret;// 左树没有找到，再到右树找BinaryTreeNode*rret = TreeFind(root->right, x);if (rret)return rret;return NULL;}

二叉树的销毁

void BinaryTreeDestory(BTNode* root){if (root == NULL){return;}BinaryTreeDestory(root->left);BinaryTreeDestory(root->right);free(root);}

通过主函数测试上面的几个函数

int main(){BTNode* root = CreateTree();PreOrder(root);printf("\n");InOrder(root);printf("\n");printf("Tree size:%d\n", TreeSize(root));printf("Tree size:%d\n", TreeSize(root));printf("Tree size:%d\n", TreeSize(root));printf("Tree Leaf size:%d\n", TreeLeafSize(root));printf("Tree Height:%d\n", TreeHeight(root));printf("Tree K Level:%d\n", TreeKLevel(root, 3));printf("Tree Find:%p\n", TreeFind(root, 8));BTNode* ret = TreeFind(root, 7);ret->data *= 10;PreOrder(root);printf("\n");return 0;}

4.3判断完全二叉树

我们该怎么去判断是否为完全二叉树呢？这就可以用到我们上面说的层序遍历了：

我们一层一层地走，对于完全二叉树来说，一层一层地走，遇到空以后，后面就不会有非空了（因为完全二叉树是从左到右依次连续的），有非空的话那就不是完全二叉树了。

//判断是否为完全二叉树bool BinaryTreeComplete(BTNode* root){Queue q;QueueInit(&q);if (root)QueuePush(&q, root);while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (front == NULL){break;}QueuePush(&q, front->left);QueuePush(&q, front->right);}//遇到空以后，后面全是空——完全二叉树while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (front != NULL){QueueDestory(&q);return false;}}QueueDestroy(&q);return true;}

目录

1.树概念及结构

1.1树的概念

1.2树的相关概念

1.3树得表示

1.4树的实际应用 (表示文件系统的目录树结构,网上查找的图片）

2.二叉树概念及结构

2.1相关概念

2.2特殊的二叉树:

2.3二叉树的性质

2.4二叉树的存储结构

3.二叉树的顺序结构及实现

3.1 二叉树的顺序结构

4.二叉树链式结构的实现

4.1层序遍历

4.2其他操作

4.3判断完全二叉树