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文章目录

  • 前言
  • 正文
    • 认识堆
    • 实现堆
      • 结构
      • 入堆
      • 出堆
      • 建堆算法
    • 使用堆
      • 堆排序
      • Top-K 问题
    • 源码
  • 总结

前言

堆(heap)是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称,通常是一个可以被看做一棵树的数组对象,因此常常是通过数组的形式来实现的,不过在实现时必须遵守两个原则

  • 要么是大根堆(大堆),要么是小根堆(小堆)
  • 总是一棵完全二叉树

在实现时的基本功能有 入堆、出堆、查看堆顶元素及大小、判空 等,不过通常不单独使用,常常是作为一种辅助结构来处理现实中的问题,比如堆排序Top-K问题

可以把进行理想化处理,就比如下图中的谷堆,就是一个非常标准的

关于堆的详细介绍还得接着往下看,相信你在看完后能学到很多干货!


正文

认识堆

想要认识,就要清楚的两条原则

原则一:必须是大根堆(大堆)或者小根堆(小堆)

  • 大根堆(大堆):即中所有元素的父亲都要比自己大(除了堆顶元素,堆顶元素没有父亲)
  • 小根堆(小堆):与大堆相反,中的所有元素的父亲都要比自己小(除了堆顶元素,堆顶元素没有父亲)

通俗来说,就是整个都要呈现出一种有序性,这种有序是 纵向的有序 ,可以通过现实中的实际例子举例,假设小明今年18岁,而他有一个16岁的亲弟弟小黑,以及一个24岁的堂姐小红,那么此时小明的家谱可以表示如下

显然,小明的爷爷是 >> 其父亲 >> 自己的,而同层间的兄弟姊妹关系不讲究,纵向是绝对有序的,这不符合了的第一条原则吗?事实上,将上图规范化,就能得到一个逻辑结构

原则二:总是一棵完全二叉树

  • 完全二叉树指二叉树的前n-1层是满的,最后一层可以不满,但是要求树的节点从左到右都是连续的(递增或相等),比如上图中的就是一棵完全二叉树,判断是否为完全二叉树的关键为节点是否连续

知道这两条原则后,就算是入门了,不过在计算机中并不是直接以完全二叉树的形式存储的,而是以这种形式[68, 40, 44, 18, 16, 24],没错,的真实物理结构是数组,逻辑结构(完全二叉树)只是为了让我们更好的理解,因此我们在实现堆时,需要借助顺序结构,画图理解时,可以画成完全二叉树的形式

Tips:堆为何必须是完全二叉树?

  • 因为完全二叉树是必然连续的,完美符合数组连续存储的特性
  • 可以避免不必要的索引浪费,这是提高效率的关键
  • 后续在取堆顶元素、入堆、出堆时也比较直观

实现堆

结构

底层是顺序表,因此在定义结构时,可以复用顺序表的代码(当然函数要改个名字)

typedef int HPDataType;//堆的元素类型typedef struct HeapInfo{HPDataType* data;//数据域int size;//堆的有效元素数int capacity;//堆的容量,方便后续进行扩容}HP;

初始化、销毁、打印,非常简单,这里就不再做过多介绍,忘记的同学可以去看看我以前写的关于顺序表的文章

入堆

入堆前首先要先对数组容量进行检查,判断是否需要扩容,这也是个老朋友了,确认空间够大后,将目标数据插到堆底(完全二叉树末尾处),然后向上调整即可

  • 检查容量可以判断 size 是否等于 capacity
  • 堆底(完全二叉树末尾处)就是数组中 size 为下标的地方,插入成功后,size 要+1
  • size 初始化时为0,因此 size 的值还表示当前堆中的有效元素数

的精髓在于向上调整和向下调整,学好了就能掌握了,因为 的核心思想在于不断调整 ,首先介绍比较简单的向上调整

堆的向上调整,调整分为如下几步

  1. 假设当前插入的元素处(节点)为孩子,那么需要找到他的父亲节点,计算公式为 parent = (child - 1) / 2
  2. 通过所得到的父亲与孩子(都是下标),判断二者所代表的值大小,假设当前要建大堆,如果孩子比父亲大,那么就需要交换孩子与父亲的值,孩子变成父亲,向上更新父亲;如果不满足条件,则不需要进行调整,直接结束循环即可
  3. 假设这个新插入的元素(节点)很大,甚至能直接取代堆顶元素(根节点),那么循环的条件就要设为 孩子 > 0

简言之,向上调整的关键在于为新插入的元素找到合适的位置,使得堆满足原则一,所有父亲大于孩子(大堆),有点像打擂台,有能力的人就向上走,这里准备了一个动图,可以很好的展示这个过程

入堆及向上调整的代码如下

//向上调整,根据孩子找父亲void AdjustUp(HPDataType* pa, int n, int child){assert(pa);//大堆:父亲比孩子都大//小堆:父亲比孩子都小int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){//大堆,孩子比父亲大,就调整//如果条件为假,说明此位置是合法的if (pa[child] > pa[parent]){Swap(&pa[child], &pa[parent]);child = parent;//孩子移动parent = (child - 1) / 2;//父亲更新}elsebreak;}}void HeapPush(HP* ph, HPDataType x)//入堆{assert(ph);//考虑扩容if (ph->size == ph->capacity){HPDataType newcapacity = ph->capacity == 0 " />4 : ph->capacity * 2;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(ph->data, sizeof(HPDataType) * newcapacity);if (!tmp){perror("realloc fail");exit(-1);}ph->capacity = newcapacity;ph->data = tmp;}//入堆,直接尾插,然后向上调整ph->data[ph->size++] = x;AdjustUp(ph->data, ph->size, ph->size - 1);}

注意:

  • 在进行向上调整时,正确的找到孩子及其对应父亲是关键
    • 无论是左孩子还是右孩子,都可以通过 parent = (child - 1) / 2 来计算父亲
  • 交换值时,需要传地址,因为形参只是实参的一份临时拷贝
    • 代码中的交换函数很简单,这里没有展示
  • 调整的核心是为元素找到合适的位置(这个思想很重要)
    • 所谓合适的位置就是必须满足原则一,成为大堆或小堆

出堆

出堆,出的是堆顶元素,即下标为0处的元素,因为对于数组来说,头删是十分不利的,因此我们这里学要借助一个小技巧:

  • 将堆顶元素与堆底元素交换,然后将 size - -,这样就间接删除了原堆顶元素
  • 元素交换后,的整体有序性将被打破,此时需要借助向下调整函数来矫正

显然,这里的关键在于向下调整函数,与向上调整找父亲不同,向下调整是找大孩子或小孩子(对应大堆或小堆),在找孩子时还需要特别注意越界问题

向下调整的步骤

  1. 确认向下调整的父亲,这里是删除堆顶元素,所以父亲是0
  2. 根据公式计算出目标孩子,假设左孩子为目标孩子,后续会进行判断验证
    • 左孩子的计算公式 leftChild = parent * 2 + 1
    • 右孩子的计算公式 rightChild = parent * 2 + 2
    • 左右孩子间隔为 1,判断验证起来也很容易
  3. 判断左孩子是否为目标孩子,如果不是, child + 1 修改为右孩子,是的话就用左孩子
    • 如果左孩子为最后一个孩子,那么此时进行判断验证是非法的,因为会涉及到越界问题,因此在判断验证前,需要先判断右孩子是否存在,即 child + 1 < n
  4. 判断当前孩子值与父亲值间的关系,假设建大堆,如果当前孩子值大于父亲值,那么就进行值交换,父亲变成孩子,重新假设目标孩子;如果不满足条件,跳出循环即可
  5. 循环结束条件为 child < n,当 child >= n 时,说明此时的父亲已经是当前堆中的最小父亲了(有孩子的才叫父亲)

向下调整向上调整还麻烦,不过这东西的效率是极高的,后面介绍的应用场景时就明白了,向下调整核心仍然是为当前元素找到合适位置,不过因为孩子有两个,且他们之间的大小关系不明确,因此在确定孩子时需要多判断一下,同样的准备了动图,给大家看看演示下这个过程

向下调整逻辑是罗嗦了点,不过代码还是比较少的

void AdjustDown(HPDataType* pa, int n, int parent)//向下调整{assert(pa);//大堆,向下调整,需要找出大孩子,然后比较是否需要交换int child = parent * 2 + 1;//假设左孩子为大孩子while (child < n){//必须有右孩子才能进行判断if ((child + 1) < n && pa[child + 1] > pa[child])child++;if (pa[child] > pa[parent]){Swap(&pa[child], &pa[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;//循环}elsebreak;}}void HeapPop(HP* ph)//出堆{assert(ph);assert(!HeapEmpty(ph));//出的是堆顶的元素//先把堆顶和堆底元素交换,然后向下调整Swap(&ph->data[0], &ph->data[ph->size - 1]);//交换ph->size--;//有效元素-1AdjustDown(ph->data, ph->size - 1, 0);//向下调整}

注意:

  • 出堆的前提是有元素可出,因此多加了一个断言,调用了判空函数
    • 判空函数其实就是判断 size 是否为0
  • 交换是堆顶与堆底进行交换,然后 size- -
    • 堆顶元素在 0 处,堆底元素在 size - 1
  • 向下调整时,先是假设左孩子为目标孩子,之后再进行判断验证
    • 当然,判断验证的前提是右孩子必须存在,因此条件 child + 1 < n 是不能少的
  • 向下调整的核心思想也是为元素找到合适的位置
    • 原则一,不能少

建堆算法

建堆算法是指直接传入一个数组,通过这个数组生成对应的大堆(小堆),建堆的步骤如下:

  1. 开辟一块足够大的空间,作为空间
  2. 拷贝数组中的所有元素至新空间内
  3. 通过两种不同的方式进行调整
    • 向上调整(效率低)
    • 向下调整(效率高)
两种调整性能比对时间复杂度数据量:100万数据量:1亿(无序)数据量:1亿(有序)
向上调整建堆F(N) = N*logN耗时29毫秒耗时3036毫秒耗时2310毫秒
向下调整建堆F(N) = N – log(N + 1)耗时22毫秒耗时2372毫秒耗时1997毫秒

推荐使用向下建堆,因为后续的堆排序Top-K用的都是向下调整

向上调整建堆代码:

void HeapCreat(HP* ph, HPDataType* pa, int n)//构建堆{/** 2023.2.19 修正* 原向上调整建堆存在 bug* 1、数据拷贝时存在漏拷贝的情况* 2、对已存在堆(无序)进行向上调整,需每次确认较大值,依次放入堆中,比较麻烦且容易出问题** 解决方案:遵循向上调整的思路,将 pa 中的元素依次入堆,每次入堆都进行调整,这样可以确保始终为大堆,且运行稳定* 注:在堆进行操作前,先要确保堆已初始化*///新解决方案assert(ph && pa);//断言HeapInit(ph);//确保堆已被初始化int pos = 0;while (pos < n){//入堆,入堆本身自带向上调整HeapPush(ph, pa[pos]);pos++;}}

向下调整建堆算法:

void HeapCreat2(HP* ph, HPDataType* pa, int n)//构建堆{//建堆有两种方式//1.向上调整//2.向下调整assert(pa);//开辟一块空间HPDataType* ptmp = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * n);assert(ptmp);ph->data = ptmp;ph->size = ph->capacity = n;//将数据拷贝至开辟空间中memcpy(ph->data, pa, sizeof(HPDataType) * (n - 1));//向下调整,建堆算法int parent = (n - 1 - 1) / 2;for (int i = parent; i >= 0; i--)AdjustDown(ph->data, n - 1, i);}

关于的其他操作:取堆顶元素、当前堆的有效元素数、判断堆是否为空等,都是很简单的功能,基本逻辑和顺序表一样,忘记的可以去看看以前的博客

使用堆

有了我们可以干什么呢?

  • 进行高效的排序和名次选拔

排序即堆排序,是一种效率极高的排序,与希尔、快排、归并等位于第一梯队,堆排序的核心在于向下调整,因为它的时间复杂度很低,因此整体排序效率就高;除了排序以外,堆还可以帮我们选出指定前 K 位数据,比如在10亿中找出最高的十个人,这就是Top-K问题


堆排序

堆排序,需要注意的是升序建大堆,降序建小堆,步骤如下:

  • 假设求升序,先通过建堆算法建立一个大堆
  • 因为大堆中的堆顶元素总是最大的数,将这个数换到堆底(沉底)
  • 向下调整堆,重新选出次大的数(此时调整的范围 – 1)
  • 重复上述步骤,直到遍历数组大小 - 1 次,最后一个数没必要比了

长话短说,堆排序运用了堆顶元素总是最大 或 最小值这一特点,将这个值沉到堆底,调整范围不断缩小,不断选出最大值 或 最小值,如此重复即可完成排序

void HeapSort(HPDataType* pa, int n)//堆排序{assert(pa);//升序,建大堆,降序,建小堆//注意:对数据进行排序,数组就是一个天然的堆,调整下就行了//均采用向下调整建堆int i = (n - 1 - 1) / 2;for (; i >= 0; i--)AdjustDown(pa, n, i);//大堆(升序),此时堆顶元素就是最大值,将其沉底,然后调整堆for (int i = 0; i < n - 1; i++){Swap(&pa[0], &pa[n - 1 - i]);//交换AdjustDown(pa, n - 1 - i, 0);//调整}}

注意

  • 什么场景下用什么堆,这是很关键的事,一定要考虑清楚

Top-K 问题

Top-K 问题就像是堆排序的变种,求最大的前K个数时,需要小堆,求最小的前K个数时,需要大堆。至于Top-K为何如此奇怪,还得先看看求解步骤:

  • 假设求前K个最小的值,根据传入的K值,创建大小为K
  • 将数组中的K个元素拷贝值堆中,然后调整建大堆
  • 从第K个元素开始(K是元素个数,对应下标 – 1),如果数组值小于此时的堆顶元素值的最大值),就将这个数组值换至堆顶处,向下重新调整
  • 如此重复,直到将数据中的 n-K 个数组值遍历比较完

长话短说,Top-K 也是通过堆的特性:大堆顶为最大值,小堆顶为最小值,巧妙解决了需求。

举个例子,存在数组[3,5,1],假设求最小的前两个数,建立大堆[5,3],此时的数组值 1 小于堆顶值 5,交换,调整,得到堆[3,1],此时通过排序优化,就可以得到最小的前两个数 1、3

  • 原理:将大堆中的最大值不断刷掉,剩下的自然就是最小的K个数了
  • 不过在求出目标数后,不一定有序,需要稍微排下序
void TopK(HPDataType* pa, int n, int k)//TopK问题{assert(pa);//最大,小堆//最小,大堆HP h;HeapInit(&h);int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * k);assert(tmp);h.data = tmp;h.size = h.capacity = k;memcpy(h.data, pa, sizeof(int) * k);int parent = (k - 1 - 1) / 2;for (int i = parent; i >= 0; i--)AdjustDown(h.data, k, i);int i = k;while (i < n){//现在是大堆,比较条件是数组元素小于堆顶元素,取的是最小的前k个数if (pa[i] < h.data[0]){Swap(&pa[i], &h.data[0]);AdjustDown(h.data, k - 1, 0);}i++;现在是小堆,比较条件是数组元素大于堆顶元素,取的是最大的前k个数//if (pa[i] > h.data[0])//{//Swap(&pa[i], &h.data[0]);//AdjustDown(h.data, k, 0);//}//i++;}//排序一下,显示效果更好HeapSort(h.data, k);HeapPrint(&h);HeapDestroy(&h);}

注意

  • 跟堆排序一样,需要注意适用场景,千万不能弄错,不然会陷入一个怪圈的

源码

源码放在码云(Gitee上了),感兴趣的同学可以点击这里跳转


总结

以上就是本篇文章的所有内容了,我们从什么是入手,探讨了的具体实现,最后还举例了运用的实际例子,相信你在看完后一定能收获到很多干货!

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